1、考研数学三（概率统计）-试卷 15 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：16，分数：32.00)1.随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_2.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_3.设随机变量 xB(n，p)，且 E(X)=5，E(X 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_4.随机变量 X 的密度函数为 f(x)=ke 一|x| (一x+)，则 E(X 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_5.设 X 表
2、示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 Px （分数：2.00）填空项 1:_7.设随机变量 X 在一 1，2上服从均匀分布，随机变量 Y= （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，22)，X 3 P(3)，记 Y=X 1 一 2X 2 +3X 3 ，则 D(y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)
3、= 1，D(Y)= 2（分数：2.00）填空项 1:_10.若随机变量 XN(2， 2 ，且 P(2X4)=03，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，YB(10， （分数：2.00）填空项 1:_12.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=|X 一 a|，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则 UV = 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3
4、，则 X，Y 的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 X，Y 为两个随机变量，D(X)一 49D(Y)=9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 X，Y 为两个随机变量，E(x)=E(y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY = （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：8，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求 X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；（分数：2.00）_(3).求 f X|Y (X|Y)
5、（分数：2.00）_18.设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布（分数：2.00）_设(X，Y)F(x，y)= （分数：6.00）(1).判断 X，Y 是否独立，说明理由；（分数：2.00）_(2).判断 X，Y 是否不相关，说明理由；（分数：2.00）_(3).求 Z=X+Y 的密度（分数：2.00）_设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X 2 +Y 2 求：（分数：4.00）(1).f U (u)；（分数：2.00）
6、_(2).PUD(U)|UE(U)（分数：2.00）_19.设 X，Y 相互独立，且 XB(3， （分数：2.00）_20.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度（分数：2.00）_21.设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，(X 1 ，X 2 ，X m )与(Y 1 ，Y 2 ，Y n )分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明：S 2 = （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 15 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：16，分数：32.00)1.随机变量 X 的密度函数
7、为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(x)= 一 + xf(x)dx= 一 1 0 x(1+x)dx+ 0 1 x(1 一 x)dx=0， E(X 2 )= 一 1 1 x 2 (1 一|x|)dx=2 0 1 x 2 (1 一 x)dx= ，则 D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 = 2.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然 XB(3， )，则 E(x)=33.设随机变量 xB(n，p)，且
8、E(X)=5，E(X 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：15）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：因为 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =np(1 一 p)+n 2 p 2 ，所以np=5，np(1 一 p)+n 2 p 2 = ，解得 n=15，p= 4.随机变量 X 的密度函数为 f(x)=ke 一|x| (一x+)，则 E(X 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 一 + f(x)dx=1，所以 一 + ke 一|x| dx 一 2k 0 + e
9、 一 x dx=2k=1，解得 k= ， 于是 E(X 2 )= 一 + x 2 f(x)dx= 5.设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：39.）解析：解析：XB(12，0.5)，E(X)=6,D(X)=3,E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =3+36=396.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 Px （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 一 1 ）解析：解析：因为 XE()，所以 F X (x)= 则 7.设随机变量 X 在一 1，2上
10、服从均匀分布，随机变量 Y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：随机变量 X 的密度函数为 随机变量 Y 的可能取值为一 1，0，1， P(Y=一 1)=P(X0)= 一 1 0 ，P(Y=0)=P(X=0)=0， P(Y=1)=P(X0)= Y 的分布律为 则 D(y)=E(P)一E(Y) 2 = 8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，22)，X 3 P(3)，记 Y=X 1 一 2X 2 +3X 3 ，则 D(y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析：解析：由 D
11、(X 1 )= 9.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)= 1，D(Y)= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：32）解析：解析：因为 XP(2)，所以 E(X)=D(X)=2，于是 E(Y)=4E(X)一 3=5，D(Y)=16D(X)=3210.若随机变量 XN(2， 2 ，且 P(2X4)=03，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：由 P(2X4)=03 得 =08则 P(X0)=11.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，YB(10， （分数：2.0
12、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 XU一 1，3，Y ，ZNN(1，3 2 )得 于是 D(U)=D(X)+4D(y)+9D(Z)= 12.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=|X 一 a|，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(XY)=EX|X 一 a)= 0 1 x|x 一 a|f(x)dx= 0 1 x|x 一 a|dx= 13.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则 UV = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）
13、解析：解析：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X 一 2Y) =9Cov(X，X)一 4Cov(Y，Y)=9D(X)一 4D(Y)=32D(Y) 由X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， D(V)=D(3X 一 2Y)一 9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， 所以14.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：D(Y)=4D(X)=36， Cov(X，Y)=Cov(X，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(
14、X)+Cov(X，3) 因为Cov(X，3)=E(3X)一 E(3)E(X)=3E(X)一 3E(X)=0，所以 Cov(X，Y)=2D(X)=18，于是15.设 X，Y 为两个随机变量，D(X)一 49D(Y)=9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：36）解析：解析：Cov(X，Y)=PXY16.设 X，Y 为两个随机变量，E(x)=E(y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：25）解析：解析：E(X 一 2Y+3)=E(X)一 2E(Y)+3=2， D(X 一 2Y+3)=D(X 一 2Y
15、)=D(X)+4D(Y)一 4Cov(X，Y)， 由 Cov(X，Y)= XY 二、解答题(总题数：8，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 一 + dx 一 + f(x，y)dy=a 0 + xdx 0 + e 一 y dy=a 一 + xe 一 x dx=1，得 a=1)解析：(2).求 X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f X (x)=0； 当 x0 时，f X (x
16、)= 一 + f(x，y)dy= x + xe 一 y dy=xe 一 x 于是 f X (x)= 当 y0 时，f Y (y)=0；当 y0 时，f Y (y)= 一 + f(x，y)dx= 0 y xe 一 y dx= y 2 e 一 y 于是 f Y (y)= )解析：(3).求 f X|Y (X|Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X|Y (x|y)= )解析：18.设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布（分数：2.00
17、）_正确答案：(正确答案：因为 XE()，所以 E(X)= =5，从而 = ，根据题意有Y=min(X，2) 当 y0 时，F(y)=0；当 y2 时，F(y)=1； 当 0y2 时，F(y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y=P(Xy)=1 一 ， 故 y 服从的分布为 F(y)= )解析：设(X，Y)F(x，y)= （分数：6.00）(1).判断 X，Y 是否独立，说明理由；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：0x1 时，f X (x)= 一 + f(x，y)dy= 0 x 12y 2 dy=4x 3 ，则 f X (x)= )解析：(2).判断 X，Y 是否不相关，说明理由；（分数
18、：2.00）_正确答案：(正确答案：E(x)= 一 + xf X (x)dx= 0 1 4x 4 dx= ， E(Y)= 一 + yf Y (y)dy= 0 1 12y 3 (1 一 y)dy= E(XY)= 一 + dx 一 + xf(x，y)dy= 0 1 dx 0 1 12xy 3 dy= ， 因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)= )解析：(3).求 Z=X+Y 的密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f Z (z)= 一 + f(x，z 一 x)dx， 当 z0 或 z2 时，f Z (z)=0； 当0z1 时，f Z (z)= 当 1z2 时，f Z (z
19、)= 一 4(z 一 1) 3 所以有 f 1 (z)= )解析：设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X 2 +Y 2 求：（分数：4.00）(1).f U (u)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= (一x，y+) F U (u)=P(Uu)当 u0 时，F U (u)=0； 当 u0 时，F U (u)=P(Uu)=P(X 2 +Y 2 u)= 所以 f U (u)= ，即 U 服从参数 = )解析：(2).PUD(U)|UE(U)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
20、：E(U)=2，D(U)=4， PUD(U)|UE(U)=P(U4|U2)= )解析：19.设 X，Y 相互独立，且 XB(3， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(Uu)=Pmax(X，Y)u=PXu，Yu=P(Xu)P(Yu)， P(U1.96)=P(X1.96)P(y1.96)=P(X=0)+P(X=1)P(Y1.96) P(U1)=P(X1)P(Y1)= )解析：20.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：XU(0，1)，YNE(1) f X (x)= 因为 X，Y 相互独立，
21、所以 f(x，y)=f X (x)f Y (y)= 于是 F Z (z)=PZz)=PX+Yz= 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 0z1时F Z (z)= f(x，y)dxdy= 0 z dx 0 z 一 x e 一 y dy=z+e 一 z 一 1； 当 z1 时，F Z (z)= f(x，y)dxdy= 0 1 dx 0 z 一 x e 一 ydy=e 一 z 一 e 1 一 z +1 所以 F Z (z)= )解析：21.设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，(X 1 ，X 2 ，X m )与(Y 1 ，Y 2 ，Y n )分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明：S 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
