1、考研数学三（概率统计）-试卷 4 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X 和 y 独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U 与 V 必然（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零3.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.14.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 y 不相关，f X
2、 (x)，f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度，f X|Y (x|y)为（分数：2.00）A.f X (x)B.f Y (y)C.f X (x)f Y (y)D.5.设随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY=1，则（分数：2.00）A.PY=一 2X 一 1)=1B.PY=2X 一 1)=1C.PY=一 2X+1=1D.PY=2X5-1=1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设随机变量 X ij (i，j=1，2，n；n2)独立同分布，EX ij =2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_7.设随机变量 X
3、在区间一 1，2上服从均匀分布，随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=X-04，则 y 与 Z 的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=EX 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、
4、证明过程或演算步骤。_13.设随机变量(X，Y)在圆域 x 2 +y 2 r 2 上服从联合均匀分布。 (1)求(X，Y)的相关系数 ； (2)问 X 和 Y 是否独立?（分数：2.00）_14.某设备由三大部件构成。在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 010，020 和 030设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 E(X)和 D(X)。（分数：2.00）_15.设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的概率密度为 (1)已知事件 A=Xa和 B=ya独立，且 PAB= 求常数 a；(2)求 （分数：2.00）_16.设由自动线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态
5、分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： （分数：2.00）_17.设一部机器在一天内发生故障的概率为 02，机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元，若发生两次故障，获利润 0 元；若发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内的利润期望。（分数：2.00）_18.游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光。电梯于每个整点的第 5 分钟、第 25 分钟和第 55 分钟从底层起行。设一游客在早
6、上八点的第 X 分钟到达底层候梯处，且 X 在0，60上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。（分数：2.00）_19.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布。先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动。试求两台自动记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 f(t)、数学期望和方差。（分数：2.00）_20.一商店经销某种商品，每周的进货量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货量，可以其他商店调剂供应，这时每单位商品的售出获利润为
7、500 元。试求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。（分数：2.00）_21.假设二维随机变量(X，Y)在矩形 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：2.00）_22.设 A，B 是二随机事件，随机变量 （分数：2.00）_假设随机变量 U 在区间一 2，2上服从均匀分布，随机变量 （分数：4.00）(1).X 和 Y 的联合概率分布；（分数：2.00）_(2).D(X+Y)。（分数：2.00）_23.设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为 5 小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机。试求
8、该设备每次开机无故障工作的时间 y 的分布函数 F(y)。（分数：2.00）_24.设随机变量 x 服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.00）_25.设 A，B 为两个随机事件，且 （分数：2.00）_26.设随机变量 X 的概率密度为 令 Y=X 2 ，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数。求 ()Y的概率密度 F Y (y)； ()cov(X，Y)； （分数：2.00）_箱中装有 6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 1，2，3 个。现从箱中随机地取出 2 个球，记 X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数。（分数：4.00）(1).求随机变量(X，Y)的概率分布；（分数
9、：2.00）_(2).求 cov(X，Y)。（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 4 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X 和 y 独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U 与 V 必然（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析：解析：X 与 Y 同分布，DX=DY 得 cov(U，V)=cov(XY，X+Y)=cov(X，X)+cov(X，Y)一cov(Y，X)一 cov(Y
10、，Y) =DXDY=0 相关系数 =03.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：4.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 y 不相关，f X (x)，f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度，f X|Y (x|y)为（分数：2.00）A.f X (x) B.f Y (y)C.f X (x)f Y (y)D.解析：解析：由(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 y 独立，(X，y)的概率密度
11、f(x，y)=5.设随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY=1，则（分数：2.00）A.PY=一 2X 一 1)=1B.PY=2X 一 1)=1C.PY=一 2X+1=1D.PY=2X5-1=1 解析：解析：如果(A)或(C)成立，则应 XY=1，矛盾；如果(B)成立，那么 EY=2EX 一 1=一 1，与本题中EY=1 矛盾。只有(D)成立时，XY=1，EY=2EX+1=1，DY=4DX=4，符合题意，故选(D)。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设随机变量 X ij (i，j=1，2，n；n2)独立同分布，EX ij =2，则行列式 （分数：2.00）填空项
12、 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 n 阶行列式的定义知 ，p 1 ，p n 为(1，n)的排列，r(p 1 p 2 p n )为排列 p 1 p 2 p n 的逆序数。 而 X ij (i，j=1，2，n)独立同分布且 EX ij =2，故 7.设随机变量 X 在区间一 1，2上服从均匀分布，随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意，X 的概率密度为：8.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 002）解析：解析：E(X 2 Y 2 )=0 2 (一 1) 2 007
13、+0 2 0 2 018+0 2 1 2 015+1 2 (一 1) 2 008+1 2 0 2 032+1 2 1 2 020=028 而关于 X 的边缘分布律为： 关于 Y 的边缘分布律为： 9.设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=X-04，则 y 与 Z 的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09）解析：解析：因为 D(Z)=D(X 一 04)=DX， 且 cov(Y，Z)=cov(Y，X 一 04)=cov(Y，X)=cov(X，Y)10.设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=EX 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1
14、:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 EX 2 =DX+(EX) 2 =1+1 2 =2，故 PX=EX 2 =PX=2)= 11.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 + 2）解析：解析：由题意知 X 与 Y 独立同分布，且 XN(， 2 )， 故 EX=，E(Y 2 )=DY+(EY) 2 = 2 + 2 E(XY 2 )=EXE(Y 2 )=( 2 + 2 )= 3 + 2三、解答题(总题数：17，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
15、算步骤。_解析：13.设随机变量(X，Y)在圆域 x 2 +y 2 r 2 上服从联合均匀分布。 (1)求(X，Y)的相关系数 ； (2)问 X 和 Y 是否独立?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，(X，Y)的联合概率密度为 )解析：14.某设备由三大部件构成。在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 010，020 和 030设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 E(X)和 D(X)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设这三个部件依次为第 1、2、3 个部件，记 A i =(第个部件需调整)，i=1，2，3则 A 1 ，A 2 ，A 3 相互独
16、立。 显然，X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立 则 E(X i )=1P(A i )= ，i=1，2，3且 X=X 1 +X 2 +X 3 )解析：15.设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的概率密度为 (1)已知事件 A=Xa和 B=ya独立，且 PAB= 求常数 a；(2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，P(A)=P(B)= 0 + f(x)dx )解析：16.设由自动线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内
17、径 X 有如下关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设一部机器在一天内发生故障的概率为 02，机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元，若发生两次故障，获利润 0 元；若发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内的利润期望。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设这部机器一周内有 X 天发生故障，这一周的利润为 y 万元。由题意可知XB(5，02) )解析：18.游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光。电梯于每个整点的第 5 分钟、第 25 分钟和第 55 分钟从底层起行。设一游客在早上八点
18、的第 X 分钟到达底层候梯处，且 X 在0，60上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 y(分钟)为该游客的等候时间，由题意知： )解析：19.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布。先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动。试求两台自动记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 f(t)、数学期望和方差。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设第 i 台自动记录仪无故障工作的时间为 X i ，(i=1，2)，由题意，X 1 与 X 2 独立同分布，概率密度为 下面求 f(t)。 解 T 的分布函数 F
19、(t)=P(Tt)=P(X 1 +X 2 t) )解析：20.一商店经销某种商品，每周的进货量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货量，可以其他商店调剂供应，这时每单位商品的售出获利润为 500 元。试求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设此商店经销该种商品每周所得利润为 元，则由题意得： 而 X 和 Y 的概率密度均为： 故(X，Y)的联合密度为 G 2 、G 2 见图 46 )解析：21.假设二维随机变量(X，Y)在矩形
20、G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：G 的面积为 SG 一 2如图 47 分得 G=D 1 D 2 D 3 于是写出(U，V)的分布列(附带写出边缘分布列)如下： )解析：22.设 A，B 是二随机事件，随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知得： )解析：假设随机变量 U 在区间一 2，2上服从均匀分布，随机变量 （分数：4.00）(1).X 和 Y 的联合概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二维随机变量可能取的值为(一 1，一 1)，(一 1，1)，(1，一 1)，(1，1)。 由题意，可设 U 的概
21、率密度为 )解析：(2).D(X+Y)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)可得关于 X 和 Y 的边缘分布律分别为： )解析：23.设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为 5 小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间 y 的分布函数 F(y)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X 的分布参数为 ，由已知， 即知 X 的概率密度为 )解析：24.设随机变量 x 服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：25.设
22、 A，B 为两个随机事件，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设随机变量 X 的概率密度为 令 Y=X 2 ，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数。求 ()Y的概率密度 F Y (y)； ()cov(X，Y)； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()Y 的分布函数为 F y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) y0 时，F y (y)=0，f Y (y)=F“ Y (y)=0； )解析：箱中装有 6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 1，2，3 个。现从箱中随机地取出 2 个球，记 X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数。（分数：4.00）(1).求随机变量(X，Y)的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的概率分布为： )解析：(2).求 cov(X，Y)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可求得关于 X，Y 的边缘分布列分别为： )解析：
