1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 42及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)一 P(B)C.P(AB)=P(A)P(BA)D.P(AB)P(A)3.已知随机变量 X与 Y均服从 0-1分布，且 EXY= ，则 PX+Y1= （分数：2.00）A.B.C.D.4.已知随机变量 X与 Y有相同的不为零的方差，则 X与 Y相关系数 =1
2、的充要条件是（分数：2.00）A.Cov(X+Y，X)=0B.Cov(X+Y，Y)=0C.Cov(X+Y，XY)=0D.Cov(XY，X)=05.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，记 Y=n(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 4X 4 ) 2 ，其中 a，b 为常数，已知 Y 2 (n)，则（分数：2.00）A.n必为 2B.n必为 4C.n为 1或 2D.n为 2或 4二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设随机事件 A与 B互不相容，且 A=B，则 P(A)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设随机变量 X
3、与一 X服从同一均匀分布 Ua，b，已知 X的概率密度 f(x)的平方 f 2 (x)也是概率密度，则 b= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.随机从数集1，2，3，4，5中有返回的取出 n个数 X 1 ，X 2 ，X n ，对任何 0， （分数：2.00）填空项 1:_10.设总体 XE()，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的联合概率密度 f(x 1 ，x 2 ，x n )= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 X 1 ，X 2 ，X 9 是来自总体 XN(，4)的简单随机样本，而
4、 是样本均值，则满足P （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.已知 P(A)=05，P(B)=06，P(BA)=08，求 P(AB)和 P(B （分数：2.00）_每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收，由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10试求：（分数：4.00）(1).随机检验一箱产品，它能通过验收的概率 P；（分数：2.00）_(2).检验 10箱产品通过率不低于
5、90的概率 q（分数：2.00）_14.设随机变量 X的分布律为 （分数：2.00）_15.设随机变量 X服从参数 = （分数：2.00）_16.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为 （分数：2.00）_17.设随机变量 XB(1， （分数：2.00）_将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒，记 X为 1号邮筒内信的数口，Y 为有信的邮筒数目，求：（分数：6.00）(1).(X，Y)的联合概率分布；（分数：2.00）_(2).Y的边缘分布；（分数：2.00）_(3).在 X=0条件下，关于 Y的条件分布（分数：2.00）_18.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=
6、(x，y)0yx3 一 y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 f Y (x)及在 X=x条件下，关于 Y的条件概率密度（分数：2.00）_19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且都服从数学期望为 1的指数分布，求 Z=minX 1 ，X 2 ，X n 的数学期望和方差（分数：2.00）_已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：6.00）(1).求未知参数 a，b，c；（分数：2.00）_(2).事件 A=X=1与 B=max(X，Y)=1是否独立，为什么?（分数：2.00）_(3).随机变量 X+Y与 XY是否相关，是否独立?（分数：2.00）_20.设 X 1 ，X
7、2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知总体 X服从参数为 (0)的指数分布，试求总体 X的数学期望 E(X)的矩估计量和最大似然估计量（分数：2.00）_设总体 X在区间0，上服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本， （分数：4.00）(1).求 的矩估计量和最大似然估计量；（分数：2.00）_(2).求常数 a，b，使 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 42答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00
8、）_解析：2.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)一 P(B)C.P(AB)=P(A)P(BA)D.P(AB)P(A) 解析：解析：由于 ，则 AB=B，AB=A当 P(A)0 时，选项(A)不成立；当 P(A)=0时，条件概率P(BA)不存在，选项(C)不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B)，故选项(B)不成立对于选项(D)，依题设条件 0P(A)P(B)1，可知条件概率 P(AB)存在，并且 P(AB)=3.已知随机变量 X与 Y均服从 0-1分布，且 EXY= ，则 PX+Y1= （分数
9、：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由 X与 Y均服从 0-1分布，可以列出(X，Y)的联合分布如下： 由二维离散型随机变量(X，Y)的函数的数学期望的定义式(45)可知，随机变量 Z=g(X，Y)= XY 的数学期望为 E(XY)=00PX=0，Y=0+01PX=0，Y=1+10PX=1，Y=0+11PX=1，Y=1=PX=1，Y=1 即 P 22 = ，从而 PX+Y1=PX=0，Y=0+PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=P 11 +P 12 +P 21 =1一 P 22 = 4.已知随机变量 X与 Y有相同的不为零的方差，则 X与 Y相关系数 =1 的充要条件是（分数：2.00）
10、A.Cov(X+Y，X)=0B.Cov(X+Y，Y)=0C.Cov(X+Y，XY)=0D.Cov(XY，X)=0 解析：解析：直接用定义通过计算确定正确选项，已知 DX=DY= 2 0，则 故选(D)，其余选项均不正确，这是因为当 DX=DY时， 5.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，记 Y=n(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 4X 4 ) 2 ，其中 a，b 为常数，已知 Y 2 (n)，则（分数：2.00）A.n必为 2B.n必为 4C.n为 1或 2 D.n为 2或 4解析：解析：依题意 X i N(0，2 2 )且
11、相互独立，所以 X 1 一 2X 2 N(0，20)，3X 3 4X 4 N(0，100)，故 N(0，1)且它们相互独立，由 2 分布的典型模式及性质知 (1)当 时，Y 2 (2)； (2)当 a= ，b=0，或 a=0，b= 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设随机事件 A与 B互不相容，且 A=B，则 P(A)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于 A=B，于是有 AB=A=B，又由于 A与 B互不相容，因此7.设随机变量 X与一 X服从同一均匀分布 Ua，b，已知 X的概率密度 f(x)的平方 f 2 (x)也是概率密度，则 b
12、= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若 XUa，b，则一 XU一 b，一 a，由 X与一 X同分布可知 a=一 b，即 XUb，b，于是有 由题设 f 2 (x)也是概率密度，则由 1= f 2 (x)dx= b b 8.设随机变量 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 1= f(x)dx= 1 2 Axdx 2 3 Bdx= AB，又 P1X2=P2X3， 即 1 2 Axdx= 2 3 Bdx， ，且 P2X4= 2 4 f(x)dx= 3 3 F(x)= x )f(t)dt= 9.
13、随机从数集1，2，3，4，5中有返回的取出 n个数 X 1 ，X 2 ，X n ，对任何 0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=3；b=11；）解析：解析：依题意 X 1 ，X n 相互独立且有相同的概率分布：PX i =k= (k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望：EX i = (1+2+3+4+5)=3，根据辛钦大数定律，当 n时， X i 依概率收敛于 3，即 a=3 同理，X 1 2 ，X n 2 相互独立且 PX i 2 =k 2 = (1+4+9+16+25)=11，当n时 10.设总体 XE()，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，
14、X n 的联合概率密度 f(x 1 ，x 2 ，x n )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：总体 X的概率密度 f(x)= 由于 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且与总体 X服从同一指数分布，因此 f(x 1 ，x 2 ，x n )= 11.设 X 1 ，X 2 ，X 9 是来自总体 XN(，4)的简单随机样本，而 是样本均值，则满足P （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：13067）解析：解析：三、解答题(总题数：13，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.已知 P(A)=05
15、，P(B)=06，P(BA)=08，求 P(AB)和 P(B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设及乘法公式有 P(AB)=P(A)P(BA)=0508=04， 从而依题设及加法公式有 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=05+06 一 04=07 由条件概率的定义有 )解析：每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收，由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10试求：（分数：4.00）(1).随机检验一箱产品，它能通过验收的概率 P；（分数：2.00）_
16、正确答案：(正确答案：记 B=“任取一件产品为正品”， ，由题设知 P(AB)=1002=098， =01，所以 P=P(A)=P(BA)+ =098P(B)+1 一 P(B)01=01+088P(B) 显然 P(B)与该箱产品中有几件次品有关，为计算 P(B)，我们再次应用全概率公式，若记 C i =“每箱产品含 i件次品”(i=0，1，2)，则 C 0 ，C 1 ，C 2 是一完备事件组，P(C i )= ，故 B=C 0 BC 1 BC 2 B，且 P(B)=P(C 0 )P(BC 0 )+P(C 1 )P(BC 1 )+P(C 2 )P(BC 2 ) = )解析：解析：如果记 A=“一
17、箱产品能通过验收”，则 P=P(A)，事件 A等价于“在 10件产品中任取一件检验结果为正品”，A 的发生与其前提条件“取出产品是正品还是次品”有关，因此我们用全概率公式计算P(A)(2).检验 10箱产品通过率不低于 90的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果用 X表示检验 10箱被接收的箱数，则通过率为 )解析：14.设随机变量 X的分布律为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 为离散型随机变量，其分布函数为 F(x)= ，这里和式是对所有满足 x i x 的 i求和，仅当 x i =1，4，6，10 时概率 PX=x i 0，故有 当 x1 时，F(x)=PX
18、x=0； 当1x4 时，F(x)=PXx=PX=1=26； 当 4x6 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4=36； 当6x10 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4+PX=6=56； 当 x10 时，F(x)=PX=1+PX=4+PX=6+PX=10=1 于是 )解析：15.设随机变量 X服从参数 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 X2 时，Y=X2；当 X2 时，Y=2，因此随机变量 Y的取值一定不小于 0且不大于 2，即 P0Y2=1，由于 X服从参数 = 的指数分布，因此当 x0 时，PXx=1 当 0y2 时，PYy=Pmin(X，2)y =PXy =1 一
19、于是，Y 的分布函数为F(y)= )解析：16.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由于边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以 假如随机变量 X与 Y相互独立，就应该对任意的 i，j，都有 p ij =p i p j ，而本题中，p 14 =0，但是 p 1 与 P 4 均不为零，所以 P 14 P 1 P 4 ，故 X与 Y不是相互独立的 ()PX=Y= )解析：17.设随机变量 XB(1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X ，YE(1)， 记 Y的分布函数为 F Y (y)，密度函数为 f Y (y)，
20、则 f Y (y)= 由于 Z=(2X一 1)Y是离散型与连续型的结合，故有分布函数 F Z (z)=PZz=P(2X 一 1)Yz =P(2X 一 1)Yz，X=0+P(2X 一 1)Yz，X=1 =P一 Yz，X=0+Yz，X=1 =P一 YzPX=0+PYzPX=1 = 或者用全概率公式： F Z (z)=PZz=P(2X 一 1)Yz =PX=0P(2X一 1)YzX=0+PX=1P(2X 一 1)YzX=1 ()F(2，一 1)=PY2，Z一 1=PY2，(2X 一 1)Y一 1 =PX=0PY2，(2X 一 1)Y一 1X=0+PX=1PY2，(2X 一 1)Y一1X=1 )解析：
21、将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒，记 X为 1号邮筒内信的数口，Y 为有信的邮筒数目，求：（分数：6.00）(1).(X，Y)的联合概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的全部可能取值为(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，再分别计算相应概率 事件X=0，Y=1表示“三封信均投入后 3个邮筒中的某一个邮筒内”依古典概型公式，样本空间所含样本点数为 4 3 =64，有利于事件X=0，Y=1的样本点数为 C 3 1 =3，于是 PX=0，Y=1= 另一种计算事件X=0，Y=1的概率的方法是用乘法公式： PX=
22、0，Y=1=PX=0PY=1X=0= 类似地可以计算出各有关概率值，列表如下： )解析：(2).Y的边缘分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从表中看出 Y只取 1，2，3 j 个可能值，相应概率分别是对表中 P ij 的各列求和，于是 Y的边缘分布为表中最后一行的值)解析：(3).在 X=0条件下，关于 Y的条件分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PX=0= (j=1，2，3) 在 X=0条件下，关于 Y的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下： )解析：18.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0yx3 一 y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 f
23、Y (x)及在 X=x条件下，关于 Y的条件概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 34 所示，区域 D是一个底边平行于 x轴的等腰梯形，其面积 S D = (1+3)1=2，因此(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= f X (x)= f(x，y)dy= 当 0x1 时，f YX (yx)= 当 1x2 时，f YX (yx)= 当 2x3 时，f YX (yx)= )解析：解析：如果已知(X，Y)的联合密度，求其中一个随机变量的边缘密度及条件概率密度，可直接根据公式(37)与(38)计算，为此我们应先计算(X，Y)的联合概率密度19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X
24、n 相互独立，且都服从数学期望为 1的指数分布，求 Z=minX 1 ，X 2 ，X n 的数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X i (i=1，2，n)的分布函数为 F(x)= 由于诸 X i (i=1，2，n)相互独立，则 Z=minX 1 ，X 2 ，X n 的分布函数与概率密度分别为 F Z (z)=1一1 一 F(z) n = 由于 E(Z)= 0 zne nz dz= ， E(Z 2 )= 0 z 2 ne nz dz= ， 于是 D(Z)=E(Z 2 )一E(Z) 2 = )解析：已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：6.00）(1).求未知参数 a
25、，b，c；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用联合分布、边缘分布关系及 X与 Y不相关求参数 a、b、c 由于 PX=1=05，故 PX=一 1=05，a=050101=03 又 X与 Y不相关 E(XY)=EXEY，其中EX=(一 1)05+105=0 XY 可能取值为一 1，0，1，且 PXY=一 1=PX=一 1，Y=1+PX=1，Y=一 1=01+b， PXY=1=PX=1，Y=1+PX=一 1，Y=一 1=01+c， PXY=0=PX=一 1，Y=0+PX=1，Y=0=a+01， 所以 E(XY)=一 01 一 b+01+c=cb，由 E(XY)=EXEY=0= )解析：(
26、2).事件 A=X=1与 B=max(X，Y)=1是否独立，为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A=X=1 )解析：(3).随机变量 X+Y与 XY是否相关，是否独立?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 Cov(X+Y，XY)=Cov(X，X)一 Cov(X，Y)+Cov(Y，X)一 Cov(Y，Y)=DXDY，DX=EX 2 一(EX) 2 =1，EY=0，DY=EY 2 一(EY) 2 =06， 所以 Cov(X+Y，XY)=1 一06=040，X+Y 与 XY相关 )解析：20.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，已知总体 X服从
27、参数为 (0)的指数分布，试求总体 X的数学期望 E(X)的矩估计量和最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，总体 X的概率密度为 f(x)= 而 E(X)= 进行矩估计和最大似然估计 首先求矩估计量 ：只有一个参数，用总体矩等于样本矩来解总体一阶矩为 E(X)，样本一阶矩为 再求最大似然估计量 ：似然函数为 )解析：设总体 X在区间0，上服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本， （分数：4.00）(1).求 的矩估计量和最大似然估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意总体 X的密度函数、分布函数分别为 令 =EX= ，解得=2，于是 的矩估计量为 又样本 X 1 ，X n 的似然函数为 L(x 1 ，x n ；)= L()为 的单调减函数，且 0x i ，即 要取大于 x i 的一切值，因此 的最小取值为max(x 1 ，x n )， 的最大似然估计量 )解析：(2).求常数 a，b，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 为求得 b，必须求 X(n)的分布函数 F (n) (x)及密度函数 f (n) (x)，由 X(n)=max(X 1 ，X n )得 )解析：
