1、考研数学三（线性代数）-试卷 42 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似3.设 ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00)4.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )一 2x 1 2 +x 2 2 +x 2 3 +2x 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1
2、。（分数：2.00）填空项 1:_5.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的秩为 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3
3、，A 2 =2 1 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3（分数：6.00）(1).求矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_(3).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵。（分数：2.00）_8.问 取何值时，二次型 f=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2x 1 x 2 一 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型?（分数：2.00）_9.设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C= （分数：2.00）_10.设二次型 f=x 1 2 +x
4、 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 一 2x 2 x 3 +2x 1 x 3 经正交交换 X=PY 化成 f=y 2 2 +2y 3 2 ，其中 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 和 Y=(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T 是 3 维列向量，P 是 3 阶正交矩阵，试求常数 ，。（分数：2.00）_11.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 一 3x 3 2 +4x 1 x 2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 。 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。（分数：2.00）_12.设 A
5、 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。已知矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵。（分数：2.00）_13.设有 n 元实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=(x 1 + 1 x 2 ) 2 +(x 2 +x 2 x 3 ) 2 +(x n-1 +a n-1 x n ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ，其中 a i (i=1，2，n)为实数。试问：当 a 1 ，a 2 ，a n 满足何种条件时，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )为正定二次型。（分数：2.00）_设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(a ij
6、) nn 一中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：4.00）(1).记 X 一(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)的矩阵为 A -1 。（分数：2.00）_(2).二次型 g(x)=X T AX 与 f(X)的规范形是否相同?说明理由。（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=ax 1 2 +2 2 2 一 2 2 3 +2bx 1 x 3 (b0)，其中二次型的矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之积为一 12
7、（分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分数：2.00）_(2).利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。（分数：2.00）_14.设 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn 矩阵。 ()计算 P T DP，其中 （分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +(n 一 1)x 2 3 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.00）_(2).若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a
8、 的值。（分数：2.00）_已知 （分数：4.00）(1).求实数 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 ，a 2 x 2 ，a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 ，b 2 x 2 ，b 3 x 3 ) 2 ，记 （分数：4.00）(1).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T 。（分数：2.00）_(2).若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 。（分数：2.00）_15.设 A 是 n 阶正定阵，E 是
9、 n 阶单位阵，证明：A+E 的行列式大于 1（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 42 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似 C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似解析：解析：由 A 的特征方程 3.设 ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：记(D)中的矩阵为 D，则由 知 A 与 D 有相同的特征值 3 与一 1，它们又都是实对
10、称矩阵，因此存在正交矩阵 P 与 Q，使 P T AP= QTDQ， 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)4.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )一 2x 1 2 +x 2 2 +x 2 3 +2x 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f 的矩阵为 因为，f 正定 的顺序主子式全为正，显然 A 的 1 阶和 2 阶顺序主子式都大于零，故 f 正定5.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 一 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2
11、 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：f 的矩阵6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的秩为 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3y 1 2）解析：解析：由 f 的秩为 1，知 f 的矩阵 A 只有一个不为零的特征值，A 的另外两个特征值均为零。再由A 的各行元素之和都等于 3，即 三、解答题(总题数：15，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3
12、 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 1 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3（分数：6.00）(1).求矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件并利用矩阵乘法，可得 A( 1 2 3 )=(A 1 A 2 A 3 )一( 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 ) )解析：(2).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，可知矩阵 C=( 1 ， 2 ， 3 )可逆，且由
13、AC=CB 可得 C -1 AC=B，即矩阵 A 与 B 相似。由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值。 由 )解析：(3).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应于 1 = 2 =1，解齐次线性方程组(E 一 B)x=0，得基础解系 1 =(一1，1，0) T ， 2 =(一 2，0，1) T 对应于 3 =4，解齐次线性方程组(4E 一 B)x=0，得基础解系 3 =(0，1，1) T 令矩阵 因 Q -1 BQ=Q -1 C -1 ACQ=(GQ) -1 A(CQ)，记矩阵 P=CQ=( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：8.问
14、取何值时，二次型 f=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2x 1 x 2 一 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f 的矩阵为 二次型 f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正。而A 的顺序主子式为： )解析：解析：本题主要考查二次型正定性的判别。注意，对于 n 元二次型 f(x 1 ，x n )=X T AX(其中 A 为实对 称矩阵，X=(x 1 ，x n ) T )，下列条件都是，正定(实对称矩阵 A 正定)的充要条件： (1)(正定的定义)对于 R n 中任意非零向量 X，恒有 f(x)=X T AX0； (
15、2)f 的标准形中的 n 个系数都是正数； (3)A 的特征值全都为正数； (4)存在可逆矩阵 M，使得 A=M T M； (5)A 的顺序主子式全为正。 其中，对于给定的二次型(或实对称矩阵)，通常应用条件(5)来判别正定性比较方便，而其它条件在理论讨论中用得较多。9.设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 m+n 维列向量 其中 X、Y 分别为 m、n 维列向量。若 Z0，则 X、Y 不同时为 0，不妨设 X0，因为 A 正定，所以 X T AX0；因为 B 正定，故对任意 n 维向量 Y，有 Y T BY0 于是，当 Z
16、0 时，有 )解析：10.设二次型 f=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 一 2x 2 x 3 +2x 1 x 3 经正交交换 X=PY 化成 f=y 2 2 +2y 3 2 ，其中 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 和 Y=(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T 是 3 维列向量，P 是 3 阶正交矩阵，试求常数 ，。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：变换前后二次型的矩阵分别为 由题设条件有 P -1 AP=P T AP=B 因此 |E一 A|=|E 一 B| 即 )解析：解析：本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的概念及相似矩阵的性质。注意，用正交
17、变换X=PY(P 为正交矩阵)化二次型 f=X T AX(A 为实对称矩阵)为标准形 f=Y T BY(B 为对角矩阵)，其实质就是用正交矩阵 P 化实对称矩阵 A 为对角矩阵 B，即 P 为满足 P -1 AP=P T AP=B 的正交矩阵，进一步求出本题所用正交矩阵 P。11.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 一 3x 3 2 +4x 1 x 2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 。 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f 的矩阵表达式为 得 A
18、 的全部特征值为 1 =1， 2 =6， 3 =一6计算可得，对应的特征向量分别可取为 1 =(2，0，一 1) T ， 2 =(1，5，2) T ， 3 =(1，一1，2) T 对应的单位特征向量为 )解析：解析：本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的运算，其一般步骤是： (1)正确写出二次型 f的矩阵 A； (2)求一个正交矩阵 P，使 P -1 AP= 为对角阵； (3)写出正交变换： 12.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。已知矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 B T =(E+A T A)
19、 T =E+A T A=B 所以 B 为 n 阶对称矩阵。对于任意的实n 维向量 x，有 x T Bx=x T (E+A T A)x=x T x+x T A T Ax=x T x+(Ax) T (Ax) 当 x0 时，有 x T x0，(Ax) T (Ax)0因此，当 0 时，对任意的 x0，有 x T Bx=x T x+(Ax) T (Ax)0 即 B 为正定矩阵。)解析：13.设有 n 元实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=(x 1 + 1 x 2 ) 2 +(x 2 +x 2 x 3 ) 2 +(x n-1 +a n-1 x n ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ，
20、其中 a i (i=1，2，n)为实数。试问：当 a 1 ，a 2 ，a n 满足何种条件时，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )为正定二次型。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知，对任意的 x 1 ，x 2 ，x n ，有 f(x 1 ，x 2 ，x n )0 其中等号成立当且仅当 方程组(*)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即 )解析：解析：本题综合考查二次型的正定性、齐次方程组仅有零解的条件、行列式的展开法则等知识及其灵活应用。注意，本题将 f 正定归结为齐次方程组(*)仅有零解，是求解的关键。本题 f 是平方和，所以也可以考虑用标准形来作：若矩阵 设
21、 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(a ij ) nn 一中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：4.00）(1).记 X 一(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)的矩阵为 A -1 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为对称矩阵，所以 A ij =A ij (i，j=1，2，n)。因此 f(X)的矩阵形式为 从而 (A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 故 A -1 也是实对称矩阵。因此，二次
22、型 f(X)的矩阵为 )解析：(2).二次型 g(x)=X T AX 与 f(X)的规范形是否相同?说明理由。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 (A -1 ) T AA -1 =(A T ) -1 E=A -1 所以 A 与 A -1 合同，于是 g(X)=X T AX与 f(X)有相同的规范形。)解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=ax 1 2 +2 2 2 一 2 2 3 +2bx 1 x 3 (b0)，其中二次型的矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之积为一 12（分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
23、：二次型 f 的矩阵为 设 A 的特征值为 1 ， 2 ， 3 ，则由题设，有 )解析：(2).利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 的特征多项式 得 A 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =一 3 对于 1 = 2 =2，解齐次线性方程组(2EA)x=0，由 得基础解系 1 =(0，1，0) T ， 2 =(2，0，1) T 。 对于 3 =一 3，解齐次线性方程组(一 3E 一 A)x=0，由 得基础解系 3 =(1，0，一 2) T 。 1 ， 2 ， 3 已是正交向量组，将它们单位化，得 )解析：
24、解析：对于 n 阶实对称矩阵 A，求正交矩阵 P，使 P -1 AP=P T AP 为对角矩阵，就是求 A 的 n 个标准正交的特征向量(它们组成正交矩阵 P 的列向量组)。如果 A 的特征值都是单特征值，则由 A 的 n 个特征值求到的 n 个特征向量已经两两正交。如果 A 有量 k i 特征值 i 。则要求出属于 i 的 k i 个两两正交的特征向量，当方阵 A 的阶数 n 较小时，如果能由方程组( i E 一 A)x=0 直接求出正交化的基础解系即对应于特征值 i 的正交化的特征向量，这样就可免去施密特正交化过程。14.设 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为
25、 mn 矩阵。 ()计算 P T DP，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()矩阵 B 一 C T A -1 C 是正定矩阵。证明如下： 由()的结果可知，矩阵 D 合同于矩阵 又 D 为正定矩阵，可知矩阵 M 为正定矩阵。 因矩阵 M 为对称矩阵，故 B 一 C T A -1 C 为对称矩阵。对 及任意的 Y=(y 1 ，y 2 ，y n ) T 0，由 M 正定，有 )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +(n 一 1)x 2 3 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 。（分数：4.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值
26、；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f 的矩阵为 由特征方程 )解析：(2).若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f 的规范形知 f 的秩为 2，正惯性指数为 2(负惯性指数为 0)，因此，A 的特征值 2 个为正，1 个为 0。 若 1 =a=0，则 2 =一 20， 3 =1，不合题意；若 3 =a 一 2=0，则a=2， 1 =2， 3 =3，符合题意；若 3 =a+1=0，则 a=一 1， 1 =一 10， 2 =一 30，不合题意。故 a=2。)解析：已知 （分数：4.00）(1).求实数 a 的值
27、；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A T A)=r(A)，对 A 施以初等行变换 )解析：(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 于是得 A T A 的特征值为 1 =2， 2 =6， 3 =0 对于 1 =2，由求方程组(2EA T A)x=0 的一个非零解，可得属于 1 =2 的一个单位特征向量 (1，一 1，0) T ；对于 2 =6，由求方程组(6EA T A)x=0 的一个非零解， )解析：解析：用正交变换化二次型成标准形，从矩阵角度讲，就是用正交矩阵化实对称矩阵成对角矩阵。r(A T A)=r(A)可由齐次线
28、性方程组(A T A)x=0 与 Ax=0 同解、从而两个方程组的系数矩阵的秩相等而得到(这样的题目本章前面有)。求矩阵 A T A 的秩，是利用初等变换将 A T A 化成阶梯形来求其秩的，如果由A T A 的秩为 2，A T A 的前 2 行线性无关，就认为 AT T A 的第 3 行就应该为零行，则是错误的，正确的做法是化成阶梯形。设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 ，a 2 x 2 ，a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 ，b 2 x 2 ，b 3 x 3 ) 2 ，记 （分数：4.00）(1).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T 。（分数
29、：2.00）_正确答案：(正确答案： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 )解析：(2).若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记矩阵 A=2 T + T 。由于 ， 正交且为单位向量，即 T =1， T =1， T = T =0，所以 A=(2 T + T )=2， A=(2 T + T )=， 于是 1 =2， 2 =1 是矩阵 A 的特征值。又 r(A)=r(2 T
30、+ T )r(2 T )+r( T )2，所以 3 =0 是矩阵 A 的特征值。由于 f 在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为 A 的特征值，故 f 在正交变换下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 。)解析：解析：本题综合考查向量的内积和正交等概念、二次型的矩阵和在正交变换下的标准形等概念、特征值与特征向量的概念、矩阵的秩的有关性质。本题证明中多次用到了向量内积的。可交换性(对称性)，例如()中 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 既可写成(x 1 ，x 2 ，x 3 ) ，也可写成(x 1 ，x 2 ，x 3 ) 15.设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明：A+E 的行列式大于 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 正定，有正交阵 P，使 )解析：
