1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 127 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵3.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征
2、向量D.A 一定为 n 阶实对称矩阵4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A -1 +B -1C.A * +B *D.AB二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 ， 为三维非零列向量，(，
3、)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 是矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：44.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设矩阵 （分数：4.00）(1).求 y；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：2.00）_设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=0，设(1，1，一 1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量（分数：4.00）(1).求 A 的特征值；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_11.设三阶实
4、对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 （分数：2.00）_12.设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_13.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).证明 A 可对角化；（分数：2.00）_(2).求 A m （分数：2.00）_14.设 （分数：2.00）_15.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =0证明：A 不可以对角化（
5、分数：2.00）_16.设 A 为三阶矩阵，A 1 =i i (i=1，2，3)， （分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.设 |A|=-1, （分数：2.00）_设 AB， （分数：4.00）(1).求 a，b；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：2.00）_设 （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求 A 的特征向量；（分数：2.00）_(3).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对
6、角阵（分数：2.00）_19.(1)设 A，B 为 n 阶矩阵，|EA|=|E 一 B|且 A，B 都可相似对角化，证明：AB (2)设 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 127 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP -1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T
7、AQ 为对角阵解析：解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)，(C)，(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选(A)3.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量 D.A 一定为 n 阶实对称矩阵解析：解析：矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(
8、C)4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：因为 ， 为非零向量，所以 A= T 0，则 r(A)1， 又因为 r(A)=r( T )r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=X，由 A 2 X= T T X=0= 2 X 得 =0， 因为 r(0E 一 A)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，选(C)5.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A -1 +B -1C.A * +B *D.AB 解析：
9、解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A -1 ，B -1 及 A * ，B * 都是正定的，对任意 X0，X T (C T AC)X=(CX) T A(CX)0(因为 C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 C T AC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A -1 +B -1 与 A * +B * 都是正定矩阵，选(D)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 AB，所以 即 ）解析：7.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的
10、特征向量为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 = 3 =5 对应的特征向量为 由 得 2 = 3 =5 对应的线性无关的特征向量为 ）解析：8.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 A 2 =3A，令 AX=X，因为 A 2 X= 2 X，所以有( 2 一 3)X=0，而 X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1 + 2 + 3 =tr(A)=(，)，所以 1 =3， 2 = 3 =0）解析：9.设 是矩阵 （分数：2
11、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 A= 得 即 ）解析：三、解答题(总题数：16，分数：44.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设矩阵 （分数：4.00）(1).求 y；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 为 A 的特征值，所以|3EA|=0，解得 y=2)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P， |EA 1 =0|得 1 =1， 2 =9， 当 =1 时，由(E 一 A 1 )X=0 得 =9 时
12、，由(9EA 1 )X=0 得 单位化得 则 )解析：设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=0，设(1，1，一 1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量（分数：4.00）(1).求 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 一 3A=O |A|3EA|=0 )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设特征值 0 对应的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 +x 2 一 x 3 =0，则0 对应的特征向量为 2 =(一 1，1，0) T ， 3 =(1，0，1) T ，令 )解析：11.设三阶实对称矩
13、阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 1 T 2 =一1+k=0 k 一 1 1 =8 对应的特征向量为 令 2 = 3 =2 对应的另一个特征向量为 由不同特征值对应的特征向量正交，得 )解析：12.设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(aEA)(bEA)=0，得|aEA|bEA|=0，则|aEA|=0 或者|b
14、EA|=0又由(aEA)(bEA)=0，得 r(aEA)+r(bEA)n. 同时 r(aEA)+r(bEA)r(aEA)一(bEA)=r(a一 b)E=n 所以 r(aEA)+r(bEA)=n (1)若|aEA|0，则 r(aEA)=n，所以 r(bEA)=0，故A=bE (2)若|bEA|0，则 r(bEA)=n，所以 r(aEA)=0，故 A=aE (3)若|aEA|=0 且|bEA|=0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值 方程组(aEA)X=0 的基础解系含有 nr(aEA)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(aEA)个； 方程组(bEA)X=
15、0 的基础解系含有 n 一r(bEA)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(bEA)个 因为 n一 r(aEA)+n 一 r(bEA)=n所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：13.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则 AX=X，显然 A 2 X= 2 X，因为 ， 正交，所以 A 2 = T T =O，于是 2 X=0，而 X0，故矩阵 A 的特征值为 1 = 2 = n =0 又由 ，
16、 都是非零向量得 AO， 因为 r(0EA)=r(A)1，所以 n 一r(OEA)n 一 1 )解析：设 （分数：4.00）(1).证明 A 可对角化；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|EA|=( 一 1) 2 (+2)=0 得 1 = 2 =1， 3 =一 2 当 =1 时，由(EA)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 当 =一 2 时，由(一 2EA)X=0 得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为 )解析：(2).求 A m （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 于是 )解析：14.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 1 =一 1， 2 =
17、3 =1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(E 一 A)=1， 由 )解析：15.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =0证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 令 AX=X(x0)，则有 A k X= k X，因为 A k =O，所以 k X=0，注意到 X0，故 k =0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0 因为 r(0EA)=r(A)1，所以方程组(0E一 A)X=0 的基础解系至多含 n 一 1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化 方法二 设矩阵 A 可以对角化，即存在可逆阵 P，使
18、得 两边 k 次幂得 )解析：16.设 A 为三阶矩阵，A 1 =i i (i=1，2，3)， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 于是 )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= 0 ，即 解得 0 =4，x=10，y=一 9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 )解析：18.设 |A|=-1, （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A * 的特征向量也是 A 的特征向量，由 得 解得 因为|A|=一 1，所以 a=2，于是 a=2，b=一 3，c=2， )解析：设 AB， （分数：4.00）(1).求 a，b；（分数：2.00）_正确答
19、案：(正确答案：方法一 因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1 = 2 =2，因为 A 相似于对角阵，所以 r(2E-A)=1，而 )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2EA)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 由(6EA)X=0 得 =6对应的线性无关的特征向量为 令 )解析：设 （分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(一 1)+2，于是 a=0)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：2
20、.00）_正确答案：(正确答案：由 得 A，B 的特征值为 1 =一 1， 2 =1， 3 =2 当 =一 1 时，由(一 EA)X=0 即(E+A)X=0 得 1 =(0，一 1，1) T ； 当 =1 时，由(E 一 A)X=0 得 2 =(0，1，1) T ； 当 =2 时，由(2EA)X=0 得 3 =(1，0，0) T ，取 则 当 =一 1 时，由(一 EB)X=0即(E+B)X=0 得 1 =(0，1，2) T ； 当 =1 时，由(EB)X=0 得 2 =(1，0，0) T ； 当 =2 时，由(2EB)X=0 得 3 =(0，0，1) T ，取 则 由 P 1 -1 AP 1
21、 =P 2 -1 BP 2 得(P 1 P 2 -1 ) -1 A(P 1 P 2 -1 )=B， 取 )解析：设 （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得矩阵 A 的特征值为 1 =一 2， 2 = 3 =1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(EA)=1， 由 )解析：(2).求 A 的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 =一 2 代入(E 一 A)X=0，即(2E+A)X=0， 由 得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为 将 =1 代入(EA)X=0，即(EA)X=0， 由 得 =1 对
22、应的线性无关的特征向量为 )解析：(3).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 )解析：19.(1)设 A，B 为 n 阶矩阵，|EA|=|E 一 B|且 A，B 都可相似对角化，证明：AB (2)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为|EA|=|EB|，所以 A，B 有相同的特征值，设为 1 ， 2 ， n ， 因为 A，B 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 由 P 1 -1 AP 1 =P 2 -1 BP 2 得(P 1 P 2 -1 ) -1 A(P 1 P 2 -1 )=B， 取 P 1 P 2 -1 =P，则 P -1 AP=B，即 AB (2)由 得 A 的特征值为 1 =2， 2 = 3 =1； 由 得 B 的特征值为 1 =2， 2 = 3 =1； 由 得 r(EA)=1，即 A 可相似对角化； 再由 得 r(E 一 B)=1，即 B 可相似对角化， 故AB 由 得 A 的属于 1 =2 的线性无关特征向量为 由 得 A 的属于 2 = 3 =1的线性无关的特征向量为 令 由 得 B 的属于 1 =2 的线性无关特征向量为 由 得 B 的属于 2 = 3 =1 的线性无关的特征向量为 令 再令 )解析：
