1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 143及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A为 n(n2)阶可逆矩阵，变换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，则( )（分数：2.00）A.交换 A * 第 1列与第 2列得 B *B.交换 A * 第 1行与第 2行得 B *C.交换 A * 第 1列与第 2列得B *D.交换 A * 第 1行与第 2行得B *3.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关； 1 ， 2 ，
2、 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 1 必可由 2 ， 3 ， 4 线性表示B. 2 必不可由 1 ， 3 ， 4 线性表示C. 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表示D. 4 必不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示4.非齐次线性方程组 Ax=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m时，方程组 Ax=b有解B.r=n时，方程组 Ax=b有唯一解C.m=n时，方程组 Ax=b有唯一解D.rn 时，方程组 Ax=b有无穷多解二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6.设 A为 n阶方阵，
3、且|A|=a0，则|A * |= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 3阶方阵 A的特征值 1 ， 2 ， 3 互不相同， 1 ， 2 ， 3 依次为对应于 1 ， 2 ， 3 的特征向量，则向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关的充分必要条件是 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 n阶方阵 A的特征值为 2，4，2n，则行列式|3EA|= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_
4、11.证明(其中 ab)三对角行列式 （分数：2.00）_12.设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：2.00）_13.设矩阵 A= （分数：2.00）_14.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组 1 ， 2 ， n 线性无关（分数：2.00）_15.若 r(A mn )=n，则对任何 B np ，有 r(AB)=r(B)即用列满秩矩阵 A(A的秩等于 A的列数，则称 A为列满秩矩阵)左乘 B，不改变矩阵的秩（分数：2.00）_16.设 A为 mn矩阵证明：对任意 m维列向量 b，非齐次线性方程组 Ax=b恒有解的充分必要条件是 r(A)=m（分数：2
5、.00）_17.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0 l 2 ：bx+2cy+3a=0 l 3 ：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_18.设 为可逆方阵 A的一个特征值，证明： (1)1 为 A 1 的特征值； (2)|A| 为 A的伴随矩阵 A * 的特征值（分数：2.00）_设 3阶矩阵 A的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T ，又 =(1，1，3) T（分数：4.00）(1).将
6、向量 用 1 ， 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_(2).求 A * (n 为正整数)（分数：2.00）_19.设矩阵 A= （分数：2.00）_20.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +z 2 +2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换 （分数：2.00）_21.设 1 、 n 分别为 n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 、 n 的特征向量，记 f(X)=X T AXX T X，XR n ，X0 求二元函数 f(x，y)= （分数：2.00）_已知线性方程组 有非零解，而且矩阵 （分数：4.00）(1).求常数 a的值；（分数：2.00）_
7、(2).求当 x T x=2时，X T AX的最大值，其中 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为 3维实向量（分数：2.00）_22.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )经正交变换 （分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1a)x 1 2 +(1a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2（分数：6.00）(1).求 a的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；（分数：2.00）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0的解（分数：2.00）_
8、考研数学三（线性代数）模拟试卷 143答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A为 n(n2)阶可逆矩阵，变换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，则( )（分数：2.00）A.交换 A * 第 1列与第 2列得 B *B.交换 A * 第 1行与第 2行得 B *C.交换 A * 第 1列与第 2列得B * D.交换 A * 第 1行与第 2行得B *解析：解析：记交换 n阶单位矩阵的第 1行与第 2行所
9、得初等方阵为 P，则有 PA=B，|B|=|A|，P 1 =P且由 A可逆知 B可逆于是由 B * =|B|B 1 ，得 B * =|A|(PA) 1 =(|A|A 1 )P 1 =A * P，或 A * P=B * ，再由初等列变换与初等方阵的关系知，交换 A * 的第 1列与第 2列得B * ，因此选项 C正确3.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关； 1 ， 2 ， 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 1 必可由 2 ， 3 ， 4 线性表示B. 2 必不可由 1 ， 3 ， 4 线性表示C. 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表示 D. 4 必不可由 1 ， 2 ， 3
10、线性表示解析：解析：由部分组与整体组线性相关性的关系，知 1 ， 2 线性无关，而 1 ， 2 ， 4 ，线性相关， 4.非齐次线性方程组 Ax=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m时，方程组 Ax=b有解 B.r=n时，方程组 Ax=b有唯一解C.m=n时，方程组 Ax=b有唯一解D.rn 时，方程组 Ax=b有无穷多解解析：解析：当 r=m，即 mn矩阵 A的行向量组线性无关时，增广矩阵 A=A b的 m个行向量也线性无关，即知有 r(A)=r(二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_ （
11、正确答案：正确答案：1a+a 2 a 3 +a 4 a 5 ）解析：解析：先把第 2，3，4，5 行都加至第 1行，再按第 1行展开，得 D 5 =1aD 4 ，一般地有 D n =1aD n1 (n2)，并应用此递推公式6.设 A为 n阶方阵，且|A|=a0，则|A * |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a n1 ）解析：解析：由 AA * =|A|E两端取行列式，得 |A|A * |=|A| n ， 7.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A 2 A 4 =(A 2 ) 2 =E，A 2004 =(A 4 )
12、 501 =E 501 =E， 故 B 2004 2A 2 =p 1 A 2004 P2A 2 =E2A 2 8.设 3阶方阵 A的特征值 1 ， 2 ， 3 互不相同， 1 ， 2 ， 3 依次为对应于 1 ， 2 ， 3 的特征向量，则向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关的充分必要条件是 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 3 0）解析：解析：设 k 1 1 +k 2 A( 1 + 2 )+k 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )=0，由 A j = j j (j=1，2，3)，得 k 1 1
13、 +k 2 ( 1 1 + 2 2 )+k 3 ( 1 2 1 + 2 2 2 + 3 2 3 )=0，即(k 1 + 1 k 2 + 1 2 k 3 ) 1 +( 2 k 2 + 2 2 k 3 ) 2 +( 3 2 k 3 ) 3 =0，因属于不同特征值的特征向量线性无关，得齐次线性方程组 故向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关 方程组(*)只有零解 9.设 n阶方阵 A的特征值为 2，4，2n，则行列式|3EA|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1) n1 135(2n3)）解析：解析：由条件知存在可逆矩阵 P，使
14、P 1 AP=diag(2，4，2n)，故有 P 1 (3EA)P=3EP 1 AP=3Ediag(2，4，2n)=diag(1，1，32n)，两端取行列式，得|3EA|=1(1)(32n)=(1) n1 135(2n3)三、解答题(总题数：16，分数：38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.证明(其中 ab)三对角行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先按第 1行展开，并将(1，2)元素的余子式按第 1列展开，得递推关系式 D n =(a+b)D n1 abD n2 ， D n aD n1 =b(D n1 aD n2 )， D n aD n1
15、 =b n2 (D 2 aD 1 )=b n ，对称地有 D n bD n1 =a n ，再由方程组 )解析：12.设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|A * |=|A| n1 ，有|A| 3 =8，得|A|=2给题设方程两端右乘 A，得AB=B+3A，两端左乘 A * 并利用 A * A=|A|E=2E，得 2B=A * B+6E， (2EA * )B=6E， B=6(2EA * ) 1 )解析：13.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|A|=1，(A * ) 1 =1|A|A=A，故题设方程即 ABA * =BA * +8A，两端右乘
16、A并利用 A * A=|A|E=E，得 AB=B+8A 2 ， (AE)B=8A 2 ， B=8(AE) 1 A 2 )解析：14.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组 1 ， 2 ， n 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件有 k 1 1 +k 2 2 +k n n =必要性设表示唯一，若 1 1 + 2 2 + n n =0，与两端分别相加，得 (k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k n + n ) n =，由表示唯一，比较与，得 k j =k j + j (j=1，2，n) j =0(j=1，2，
17、n)， )解析：15.若 r(A mn )=n，则对任何 B np ，有 r(AB)=r(B)即用列满秩矩阵 A(A的秩等于 A的列数，则称 A为列满秩矩阵)左乘 B，不改变矩阵的秩（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 Bx=0，两端左乘 A，得 ABx=0，这说明方程组 Bx=0的解都是方程组 ABx=0的解；反之，若 ABx=0，即 A(Bx)=0，因 A的列向量组线性无关，故方程组 Ax=0只有零解，因此由 A(Bx)=0得Bx=0，这说明 ABx=0的解都是 Bx=0的解以上两方面说明方程组 Bx=0与方程组 ABx=0同解，由 r(A)=r(B)即得 r(AB)=r(B)解析
18、：16.设 A为 mn矩阵证明：对任意 m维列向量 b，非齐次线性方程组 Ax=b恒有解的充分必要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：由必要性假定，对 j =(0，0，10，0) T (第 j个分量为1，其余分量均为零)，方程组 Ax= j 有解 c j ，即 Ac j = j (j=1，2，m)，故有Ac 1 Ac 2 Ac m = 1 2 m =E m ，记矩阵 c=c 1 c 2 c m ，则有 Ac=E m ，故有 m=r(E m )=r(Ac)r(A)m， r(A)=m；充分性：若 r(A)=m，则 A的行向量组线性无关，故增广矩阵 b的行向量组也线
19、性无关， )解析：17.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0 l 2 ：bx+2cy+3a=0 l 3 ：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑由三直线方程联立所得线性方程组 则三直线交于一点 )=2，其中 必要性 由 r( |=3(a+b+c)(ab) 2 +(bc) 2 +(ca) 2 =0，又 a、b、c 不全相等(否则三直线重合，从而有无穷多交点，与必要性假定交于一点矛盾)， a+b+c=0 充分性 若a+b+c=0，由必要性证明知| )3又系数矩阵 A中有一个 2阶子
20、式 )解析：18.设 为可逆方阵 A的一个特征值，证明： (1)1 为 A 1 的特征值； (2)|A| 为 A的伴随矩阵 A * 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 为 A的特征值，知存在非零列向量 x，使 Ax=x，由此知 0，否则=0，则有 Ax=0， |A|=0，这与 A可逆矛盾，故 0用 A 1 左乘 Ax=x 两端，再用 1 两端，得 A 1 x=1x，由定义即知 1 为 A 1 的一个特征值且 x为对应的特征向量因 A 1 =1|A|A * ，故由 A 1 x=1x，即 1|x|A * =1x， )解析：设 3阶矩阵 A的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =
21、3，对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T ，又 =(1，1，3) T（分数：4.00）(1).将向量 用 1 ， 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=2 1 2 2 + 3 ；)解析：(2).求 A * (n 为正整数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A i = i i ， A n i = i n i (i=1，2，3) A n =A n (2 1 2 2 + 3 )=2A n 1 2A n 2 +A n 3 =2 1 n 1 2 2 n 2 + 3 n 3 )解析：19.设矩阵 A=
22、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A可逆知 A * 可逆， 0，|A|0由 A * = 两端左乘 A并利用AA * =|A|E，得|A|=A A=|A|，即 比较两端对应分量，得关于 a、b 和 的方程组 )解析：20.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +z 2 +2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 有 P 1 AP=P T AP=D， 1 =0， 2 =1， 3 =4， 对于 1 =0，由 0EAA 得属于 1 的特征向量(1，0，1) T ； 对于 2 =1，由 EA 得属于 2 的特征向量(1，1，1) T ； 对于
23、 3 =4，由 4EA 得属于 3 的特征向量(1，1，1) T 将以上特征向量再单位化，得所求的正交矩阵可取为 )解析：21.设 1 、 n 分别为 n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 、 n 的特征向量，记 f(X)=X T AXX T X，XR n ，X0 求二元函数 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：32，在 x=1，y=1 处取到)解析：已知线性方程组 有非零解，而且矩阵 （分数：4.00）(1).求常数 a的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程组的系数行列式=a(a+1)(a3)=0， )解析：(2).求当
24、x T x=2时，X T AX的最大值，其中 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为 3维实向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的最大特征值为 10，设对应的单位特征向量为髻(即 A=10，且 T =1)对二次型 X T AX，存在正交变换 X=PY化其为标准形：X T AX= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + 3 y 3 2 10(y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 )，当 X T X=Y T Y=y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 =2时，有 X T AX103=20，又 X 0 = 满足 X 0 T X 0 =2，则 X 0 T AX 0 =( )=2
25、T (A)=2 T (10)=20( T )=20，综上可知 )解析：22.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )经正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f=X T Ax(A为实对称矩阵)，所用正交变换的矩阵为 p 1 AP=P T AP=diag(4，1，2)， A=Pdiag(4，1，2)P T )解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1a)x 1 2 +(1a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2（分数：6.00）(1).求 a的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于二次型 f的秩为 2，即对应的矩阵 )解
26、析：(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=0时，A= 计算可得 A的特征值为 1 = 2 =2， 3 =0解齐次线性方程组(2EA)x=0，得 A的属于 1 =2的线性无关的特征向量为 1 =(1，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 解齐次线性方程组(0EA)x=0，得 A的属于 3 =0的线性无关的特征向量为 3 =(1，1，0) T 易见 1 ， 2 ， 3 两两正交将 1 ， 2 ， 3 单位化得 A的标准正交的特征向量为 e 1 = (1，1，0) T ，e 2 =(0，0，1) T ，e 3 = )解析：(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1 在正交变换 x=Qy下，f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0化成 2y 1 2 +2y 2 2 =0，解之得 y 1 =y 2 =0，从而 =y 3 e 3 =k(1，1，0) T ，其中 k为任意常数 2 由于 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +2x 3 2 =0，所以 )解析：
