1、考研数学二-183 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.微分方程 y“- 2y=ex =e-x (0)的特解形式为（分数：4.00）A.a(ex +e-x )B.ax(ex +e-x )C.x(aex +be-x )D.x2(aex +be-x )2.若 f“(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1，2)内（分数：4.00）A.有极值点，无零点B.无极值点，有零点C.有极值点，有零点D.无极值点，无零点3.设向量组： 1， 2， r可由向量组： 1， 2， s线性表示
2、，下列命题正确的是（分数：4.00）A.若向量组线性无关，则 rsB.若向量组线性相关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性相关，则 rs4.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)连续，则二重积分 等于（分数：4.00）A.B.C.D.6.设二阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 cx4是等价无穷小，则（分数：4.00）A.k=1，c=4B.k=1，c=-4C.k=3，c=4D.k=3，c=-48.若曲线 y=x2+
3、ax+b 和 2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中 a，b 为常数，则（分数：4.00）A.a=0，b=-2B.a=1，b=-3C.a=-3，b=1D.a=-1,b=-1二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.当 0 时，对数螺线 r=e 的弧长为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x-3z+2y 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.3 阶常系数线性齐次微分方程 y“-2y“+y-2y=0 的通解为 y
4、=_.（分数：4.00）填空项 1:_14.二次型 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知函数 （分数：10.00）_16.设 f(x)是区间 上的单调、可导函数，且满足（分数：10.00）_17.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：10.00）_18.设函数 u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 确定 a，b 的值，使等式在变换=z+ay，=x+by 下简化为 （分数：10.00）_19.有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆半径为 2m根据设计要求，当以 3m3/min
5、 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m 2/min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)（分数：10.00）_20.设 表示不超过 1+x2+y2的最大整数，计算二重积分 （分数：10.00）_21.()证明积分中值定理：若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得()若函数 (x)具有二阶导数，且满足 （分数：10.00）_22.设 （分数：10.00）_23.设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且（分数：14.00）_考研数学二-183 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.微分方
6、程 y“- 2y=ex =e-x (0)的特解形式为（分数：4.00）A.a(ex +e-x )B.ax(ex +e-x )C.x(aex +be-x ) D.x2(aex +be-x )解析：分析 y“- 2yy 一 0 的特征方程有单特征根 1= 与 2=-，于是y“- 2y=ex ，y“- 2y=e-x分别有特解 y 1=axex ，y 2=bxe-x ，其中 a，b 是二非零常数因此原非齐次方程有特解 y=x(aex +be-x )选(C)2.若 f“(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1，2)内（分数：4.00）A.有
7、极值点，无零点B.无极值点，有零点 C.有极值点，有零点D.无极值点，无零点解析：分析 由题设 x2+y2=2 是曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆可知，y=f(x)与 x2+y2=2 在点(1，1)处有相同的切线，且曲线 y=f(x)与 x2+y2=2 在点(1，1)处的曲率相同，由此即知它们在点(1，1)处的二阶导数也相同注意点(1，1)在曲率圆 x2+y2=2 的上半圆 y=*上，于是*又因 f“(x)不变号，故 f“(x)0，于是 f(x)单调减少，特别有当 1x2 时 f(x)f(1)=-1，从而f(x)在区间1，2上单调减少，即在1，2上无极值点因曲线 y=f(x)是凸弧，
8、故当 1x2 时f(x)f(1)+f(1)(x-1)=1-(x-1)=2-x，由此即得 f(1)=10，f(2)2-2=0，故 f(x)在区间(1，2)内必有零点综合知应选(B)3.设向量组： 1， 2， r可由向量组： 1， 2， s线性表示，下列命题正确的是（分数：4.00）A.若向量组线性无关，则 rs B.若向量组线性相关，则 rsC.若向量组线性无关，则 rsD.若向量组线性相关，则 rs解析：分析 因为可由线性表示，有r( 1， 2， r)r( 1， 2， 3)s如果线性无关，则有r( 1， 2， r)=r可见(A)正确关于(B)、(C)、(D)不妨构思几个反例(B)(1，0，0)
9、，(0，0，0)和(1，0，0)，(O，1，0)(C)(1，0，0)，(2，0，0)，(0，0，0)和(1，0，0)，(0，1，0)(D)(1，0，0)和(1，0，0)，(2，0，0)4.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 利用一阶全微分形式不变性，将方程*看成关于自变量 x 与 y 的恒等式，求全微分可得*(注意：F 1表示二元函数 F(u，v)对其第一个变量 u 的偏导数，F 2表示二元函数 F(u，v)对其第二个变量v 的偏导数)由此可解出*从而可得*即应选(B)分析二 利用复合函数求导法，将方程*
10、看成关于自变量 x 与 y 的恒等式，分列对 x 与 y 求偏导数可得*从而可得*即应选(B)5.设 f(x，y)连续，则二重积分 等于（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 根据题目画出二重积分的积分区域，如图所示阴影部分，然后交换积分次序*sin(-x)=sinx=y，因而 -x=arcsiny，即 x=-arcsiny*故选(B)6.设二阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由伴随矩阵 A*秩的公式*若 a=b 易见 r(A)1，故(A)(B)均不正确由于|A|=(a+2b)(a-b) 2当 ab，a+2b=0 时，一方面 A 中有 2 阶子式*而又有|A|=0
11、 故秩 r(A)=2故应选 C7.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 cx4是等价无穷小，则（分数：4.00）A.k=1，c=4B.k=1，c=-4C.k=3，c=4 D.k=3，c=-4解析：分析一 用洛必达法则，求含待定常数 k0 的极限*由此可见，当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 4x3是等价无穷小，故应选(C)分析二 用泰勒公式，由于当 x0 时*从而当 x0 时*即当 x0 时函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 4x3是等价无穷小，故应选(C)分析三 用三角公式可得3sinx-sin3x=3sinx-sin(x+2x)=3si
12、nx-sinxcos2x-cosxsin2x=3sinx-sinx(1-2sin2x)-2sinxcos2x=2sinx+2sin3x-2sinx(1-sin2x)=4sin3x。利用当 x0 时 sinxx 即知当 x0 时 f(x)4x 3，故应选(C)8.若曲线 y=x2+ax+b 和 2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中 a，b 为常数，则（分数：4.00）A.a=0，b=-2B.a=1，b=-3C.a=-3，b=1D.a=-1,b=-1 解析：分析 由于曲线 y=x2+ax+b 和 2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，则两曲线同时过点(1，-1)，且两曲线在点(1，-
13、1)处切线的斜率相等对两曲线方程分别关于 x 求导，并令 x=1，有y=2x+a，y| x=1=2+a，*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 本题是求 I 型未定式的极限记所求极限为 J，则*分析二 在求 lnJ 时也可用洛必达法则，于是*10.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *11.当 0 时，对数螺线 r=e 的弧长为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 直接利用极坐标系中弧长计算公式可得所求弧长*12.设函数 z=
14、z(x，y)由方程 z=e2x-3z+2y 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析一 将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性可得dz=e2x-3z(2dx-3dz)+2dy，由此可解出*从而*于是*分析二 用隐函数求导法，将方程两边分别对 x,y 求偏导数即得*于是*移项可得*13.3 阶常系数线性齐次微分方程 y“-2y“+y-2y=0 的通解为 y=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：C 1e2x+C2cosx+C3sinx，其中 C1，C 2，C 3为三个任意常数）解析：分析 微分方程 y“-2y“+y-2y=0 的特征方程是 3-2 2
15、+-2=0，即( 2+1)(-2)=0，从而特征根分别是 1=2， 2=i， 3=-i故所求的通解为 y=C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中 C1，C 2，C 3为三个任意常数14.二次型 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 二次型矩阵*因为秩 r(A)=1 有|E-A|= 3-9 2知矩阵 A 的特征值为 9，0，0三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知函数 （分数：10.00）_正确答案：(*若 0a1，由洛必达法则可得*所以 0a1 也不符合要求若 1，由洛必达法则可得*)解析：16.设 f(x)是区间 上的单调、可导函数，且满足（分数：
16、10.00）_正确答案：(*得*即*所以*有 f(0)=0在 f(x)=ln(sinx+cosx)+C 中，令 x=0，得 0=f(0)=ln1+C，因此 C=0，于是得f(x)=ln(sinx+cosx)解析：17.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：10.00）_正确答案：(分别求函数 y=y(x)的一、二阶导数，可得*因此曲线 y=y(x)的凸区间是*，凹区间是*，拐点是*)解析：18.设函数 u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 确定 a，b 的值，使等式在变换=z+ay，=x+by 下简化为 （分数：10.00）_正确答案：(求解本题的关键是用 u 对 ， 的一、二阶偏
17、导数来表示三个二阶偏导数*利用多元复合函数求偏导数的链式法则可得*注意在上面的计算中应用了连续的二阶混合偏导数*把以上结果代入原等式可得*选取 a 与 b 同时满足 5a2+12a+4=0 与 5b2+126+4=0 可得 a 与 b 均可取-2 或*由于当 a=b=-2 或*时，10ab+12(a+b)+8=0，而当 a=-2，*时 10ab+12(a+b)+80，可知当 a=-2 与*)解析：19.有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆半径为 2m根据设计要求，当以 3m3/min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m
18、2/min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)（分数：10.00）_正确答案：()设在时刻 t 液面的高度为 y，则此时液面的面积为 2(y)=4+t，所以t= 2(y)-4()方法：液面的高度为 y 时，液体体积为*上式两边对 y 求导，得*解此微分方程，得*由 (0)=2 得 C=2，因此，所求曲线方程为*方法：利用微分元法从时刻 t 到 t+t，相应液面的高度由 y 到 y+y在这段时间内，设液体体积的增加量 V，则V=注入容器内的液体体积=3tV 2(y)y，因而有 2(y)y3t，从而有*在方程 t= 2(y)-4 两边对 y 求导得*把此式代入*中并整理得*此方程与方法
19、同)解析：20.设 表示不超过 1+x2+y2的最大整数，计算二重积分 （分数：10.00）_解析：21.()证明积分中值定理：若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得()若函数 (x)具有二阶导数，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(证明 ()由函数 f(x)在闭区间a，b上连续知，存在 f(x)在a，b上的最大值 M 与最小值 m，即对*有 mf(x)M从而由定积分的性质可得*这表明*是 f(x)值域m，M上的一个值由闭区间上连续函数的性质知：*使得*()由()的结论知，*分别在区间1，2与2， 上对 (x)应用拉格朗日中值定理即得：* 1(1，2)与 2(
20、2，)分别使得*再在区间 1， 2上对导函数 (x)应用拉格朗日中值定理，就有 ( 1， 2)*(1，3)使得*)解析：22.设 （分数：10.00）_正确答案：()因为方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，故*于是 =1 或 =-1当 =1 时，r(A)=1，*方程组 Ax=b 无解，舍去当 =-1 时，对 Ax=b 的增广矩阵作初等行变换*可见 a=-2 时，*，方程组 Ax=b 有无穷多解故 =-1，a=-2()当 =-1，a=-2 时*所以方程组 Ax=b 的通解为*k 为任意常数)解析：23.设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且（分数：14.00）_正确答案：(因秩 r(A)=2，知|A|=0，所以 =0 是 A 的特征值又由分块矩阵乘法，有*按特征值定义，知 =-1 是 A 的特征值，*k 10 是 A 属于 =-1 的特征向量=1 是 A 的特征值，且属于 =1 的特征向量为*设*是 A 的属于 =0 的特征向量，由于 A 是实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，故*于是矩阵 A 属于 =0 的特征向量为*()令*于是*)解析：
