1、考研数学二-199 及答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 r=aeb (a0，b0)，从 =0 到 =(0)的一段弧长为_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)，g(x)在点 x=0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数，满足 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_A当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数
2、D当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 ，其中 f(t)是连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 0 是矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A，B 均为 n 阶方阵，且 A 为可逆矩阵，B 为不可逆矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，则_AA *+B*必为可逆矩阵 BA *+B*必为不可逆矩阵CA *B*必为可逆矩阵 DA *B*必为不可逆矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10
3、.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)为可导的以 4 为周期的周期函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.已知 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 ，则积分 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：100.00)设 u=f(x，y，z)，且x=rcossin，y=rsinsin，z=rcos，证明：（分数：10.00）(1).若*，则 u 仅是 与 的函数；（分数：5.00）_(2).若*，则 u 仅是 r 的函数（分数：5.00）_15.设 f(x)为在a，b上连续的非负函数，且在(a，b
4、)内可导，试证：至少存在一点 (a，b)，使得（分数：10.00）_16.设 ，当 r0 时有连续的二阶偏导数，且满足（分数：10.00）_17.设参数方程（分数：10.00）_18.求证函数 在区间(0，+)内的极大值不超过 （分数：10.00）_19.设二阶可微函数满足方程（分数：10.00）_20.设由 x=0，x=/2，y=sinx(0x/2)，y=t(0t1)所围区域的面积为 S(t)，求 S(t)的最大值与最小值（分数：10.00）_设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n是 n 维列向量，其中 n0，若 A 1= 2，A 2= 3，A n-1= n，A n=0（分数：20.00）
5、(1).证明 1， 2， 3线性无关；（分数：10.00）_(2).求 A 的特征值、特征向量（分数：10.00）_21.已知 A= 1， 2， 3， 4T是四阶矩阵， 1， 2， 3， 4是四维列向量若方程组 Ax= 的通解是1，2，2，1 T+k1，-2，4，0 T，又 B= 3， 2， 1，- 4，求方程组Bx= 1- 2的通解（分数：10.00）_考研数学二-199 答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 归结为求极限 用等价无穷小代换和洛必达法则求之解一因分母为 x 的(2+
6、1)2=6 阶无穷小量，而分子为 x 的 4 阶无穷小量，因而 f(x)是 g(x)的低阶无穷小仅(B)入选解二2.曲线 r=aeb (a0，b0)，从 =0 到 =(0)的一段弧长为_ABCD （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用弧长的计算公式计算解一仅(A)入选解二 令 则其弧长公式为3.设 f(x)，g(x)在点 x=0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数，满足 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设易知 f(0)=0为判断 x=0 的性质，只好考察 x=0 的附近 f“(x)是否改变符号，如改变符号，(0，f(0)为拐点由有于是4.设 f(x)
7、是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_A当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用 f(x)的所有原函数的性质判别f(x)的所有原函数可写为(c 为任意常数)它有下述常用的性质：(1)若 f(x)是奇函数，则 必为偶函数(2)若 f(x)为偶函数，则只有当 c=0 时， 才为奇函数；(3)若 f(x)为周期函数，则存在常数 T，使得对任意 x，有 f(x+T)=f(x)，而即只有 时，F(x)
8、才是周期函数(4)若 f(x)为单调增函数，对任意 x1，x 2，不妨设 x1x 2，有 f(x1)f(x 2)，而要想 F(x)是单调增函数则应有 ，而由 x1，x 2的任意性知，必须有 f(x)0 才行解一 设 (c 为任意常数)，若 f(x)为奇函数，则f(x)=-f(x)，故 F(x)为偶函数仅(A)入选解二 令 f(x)=x2， ，则可排除(B)；令 f(x)=1，F(x)=x，则可排除(C)；令 f(x)=x，5.设 ，其中 f(t)是连续函数，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 先求出 F(x)中因子 x2的极限，再用洛必达法则去掉积分号，求出极限6.设 （分数：
9、4.00）A.B.C.D. 解析：解析 注意到被积函数含有导函数，应先利用分部积分法求出定积分有人可能认为 算不出来，但不要急，在计算过程中也可能产生 这一项，因而它会自动消失7.设 0 是矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设知，|A|=0，由此确定 a因 0 是 A 的特征值，则|A|=0，而|A|=2a+0+0-2-72-0=2a-74故 2a-74=0，所以 a=37仅(D)入选8.设 A，B 均为 n 阶方阵，且 A 为可逆矩阵，B 为不可逆矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，则_AA *+B*必为可逆矩阵 BA *+B*必为不可逆矩阵CA *B*必
10、为可逆矩阵 DA *B*必为不可逆矩阵（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 可利用 A*的秩与 A 的秩的关系判别当 A 为满秩矩阵(或为列满秩矩阵)时，还可利用秩(AB)=秩(B)，简易判别解一 因 A 为可逆矩阵，故秩(A)=n，因而秩(A *)=n，而 B 为不可逆矩阵，故秩(B)n-1，从而秩(B *)1于是秩(A *B*)=秩(B *)1，故 A*B*必为不可逆矩阵仅(D)入选解二 用友证法证之如 A*B*可逆，由题设又知 A 可逆，则 A*=|A|A-1可逆(A *)-1存在，则(A *)-1(A*B*)为两个可逆矩阵的乘积，故也可逆，即(A*)-1A*B=(A*)-1A
11、*B*=B*可逆，进而 B 可逆这与题设矛盾，故 A*B*不可逆仅(D)入选。解三 用排错法确定选项设则 A 可逆，B 不可逆，易求得则 不可逆，且 也不可逆因而(A)、(C)都不对如令 ，则 如令 ，则因二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 分子为两同底指数函数差，先提公因式，再用等价无穷小代换求之原式10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 注意到 为常数，由此可先将 求出，再求 f(x)在式两边同乘 cosx，再在0，上积分得到故从而 11.设 f(x)为可导的以 4 为周期的周期函数，
12、且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 首先要了解导数的几何意义在几何上，函数 y=f(x)在点 x0处的导数 f(x0)是曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线斜率，因而 y=f(x)过其上一点(x 0，f(x 0)的切线方程和法线方程分别为因 f(x)为导数的以 4 为周期的周期函数，则 f(x)也是以 4 为周期的可导函数，即 f(-4)=f(0)而故 f(-4)=3，所以法线方程为12.已知 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先求出 k，将其代入所求极限，用等价无穷小代换求之k 可用公式求之由得到13.已知 ，则
13、积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 所求积分既是无穷限的反常积分，又是带瑕点 x=0 的无界函数的反常积分使用其定义，利用已知结果及分部积分法求之由分部积分公式得注意 14.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 因 B 为三阶非零矩阵，故秩(B)1下面只证秩(B)1这就需要利用条件 BA=O 去证明由题设知秩(B)1，又由 BA=O 知，秩(A)+秩(B)3， 即 秩(B)3-秩(A)当 -2 时，秩(A)=2，于是有秩(B)3-2=1，从而秩(B)=1三、解答题(总题数：9，分数：100.00)设 u=f(x，y，z)，且x=rc
14、ossin，y=rsinsin，z=rcos，证明：（分数：10.00）(1).若*，则 u 仅是 与 的函数；（分数：5.00）_正确答案：(仅需证明 )解析：(2).若*，则 u 仅是 r 的函数（分数：5.00）_正确答案：(仅需证明 )解析：(1)所谓 u 仅是 与 的函数，就意味着 u 与 r 无关由于所以 u 不依赖于 r(2)同(1)相类似，由题设得则15.设 f(x)为在a，b上连续的非负函数，且在(a，b)内可导，试证：至少存在一点 (a，b)，使得（分数：10.00）_正确答案：(对 F(x)=lnf(x)在a，b上使用拉格朗日中值定理证令 F(x)=lnf(x)，则 F(
15、x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且由拉格朗日中值定理知，存在 (a，b)，使得，即 )解析：16.设 ，当 r0 时有连续的二阶偏导数，且满足（分数：10.00）_正确答案：(由复合函数求导法建立 u 对 x，y 的偏导数，以及 u 对 r 的导数的关系将题设中的方程转化为 u(r)的常微分方程，然后求出 u(r)由于 u(x，y)是 u(r)与 的复合函数，有将它们相加得于是题设中所给方程变成令 p=u(r)，降阶得 ，改写成两边乘 得 ，积分得，即再积分得)解析：17.设参数方程（分数：10.00）_正确答案：(1)证明 x=(t)在0，2存在连续的反函数；(2)证明(3)证明证
16、()(t)=1-cost0(t(0，2)，(0)=(2)=0，又 (t)在0，2上连续，故 (t)在0，2上单调上升，值域为(0)，(2)=0，2，得 x=(t)在0，2上存在连续的反函数 t=t(x)，定义域为0，2因此， 在0，2上连续()由反函数的可导性及复合函数的可导性知，y=y(x)在(0，2)内可导，由参数式求导法，有由于 t0，有 x0，；t，2，x，2，于是因此，y=y(x)在0 上单调上升，在，2上单调下降()由于 y(x)在0，2上连续，则由 x(0，2)时，有)解析：18.求证函数 在区间(0，+)内的极大值不超过 （分数：10.00）_正确答案：(先求出 f(x)，求出
17、在(0，+)内最大值点，再利用 sin2ntt 2n放大极(最)大值例得证证 因 f(x)=(x-x2)sin2nx，当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0故 f(x)在(0，+)内的最大值为又当 0t1 时，t-t 20；当 时，sintt，有 sin2ntt 2n于是)解析：19.设二阶可微函数满足方程（分数：10.00）_正确答案：(在所给方程两边分别对 x 求一阶、二阶导数以建立关于 f(x)的微分方程初值问题，然后再求解，得到 f(x)的表示式在所给方程两边关于 x 分别求一阶和二阶导数，得到且f(0)=1/2，f“(x)+f(x)=ex+2-f“(x)故得微分方程的初
18、值问题则对应齐次方程的特征方程为 2+/2=0，解得 1=0， 2=-1/2对应齐次方程的通解为y=c1+c2e-x/2令非齐次方程的一个特解为=Ax+Bex，是因为 1=1e0x，而 0 为特征根，故代入方程得到 A=2，B=1/3，故因而，原方程的通解为由 y(0)=1，f(0)=1/2，得到c1+c2+1/3=1，-c 2/2+2+1/3=1/2，解得 c1=-3，c 2=11/3，故)解析：20.设由 x=0，x=/2，y=sinx(0x/2)，y=t(0t1)所围区域的面积为 S(t)，求 S(t)的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：(先根据定积分的几何意义求出 S(t)
19、的表示式，再求出其极值点如图所示，y=t 将 S(t)分为两部分，且令 S(t)=0 得唯一驻点 又 ，故 为极小值点又 S(0)=1，S(1)=/2-1，所以 S(t)的最大值为 1，最小值为 )解析：设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n是 n 维列向量，其中 n0，若 A 1= 2，A 2= 3，A n-1= n，A n=0（分数：20.00）(1).证明 1， 2， 3线性无关；（分数：10.00）_正确答案：(利用线性无关的定义证之；)解析：(2).求 A 的特征值、特征向量（分数：10.00）_正确答案：(利用相关矩阵的性质求之)解析：(1)令k1 1+k2 2+kn n=0由题
20、设A 1= 2，A 2= 3，A n-1= n，有An 1=An-1 2=A n=0将 An-1左乘式，得 k1 n=0由于 n0，故 k1=0再依次用 An-2，A n-3，乘式，可得k2=k3=kn=0，所以 1， 2， n线性无关(2)由于A 1， 2， n= 2， 3， n，0因为 1， 2， n线性无关，矩阵 1， 2， n可逆，从而21.已知 A= 1， 2， 3， 4T是四阶矩阵， 1， 2， 3， 4是四维列向量若方程组 Ax= 的通解是1，2，2，1 T+k1，-2，4，0 T，又 B= 3， 2， 1，- 4，求方程组Bx= 1- 2的通解（分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 已知方程组的通解要能由解的结构找出基础系及特解，还要能用线性方程组的向量形式求出齐次方程组与非齐次线性方程组的解由方程组 Ax= 的解的结构，可知秩(A)=秩( 1， 2， 3， 4)=3，且 1+2 2+2 3+ 4=， 1-2 2+4 3=0因为B= 3， 2， 1，- 4= 3， 2， 1， 1+2 2+2 3，且 1， 2， 3线性相关，故秩(B)=2由 知，0，-1，1，0 T是方程组 Bx= 1- 2的一个解又由
