1、考研数学二-222 及答案解析(总分：216.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.数列极限 =_ A0 B1 C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)= 在区间(0，4)内某点 a 处的导数 f(a)不存在，则必有 A （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在(-，+)上有定义，在(-，0)(0，+)内可导，且 x=0 为 f(x)的可去间断点，则 Ax=0 为 f(x)的可去间断点 Bx=0 为 f(x)的跳跃间断点 Cx=0 为 (t)dt 的可去间断点 Dx=0 为 （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知函数
2、f(x)在区间0，2上可积，且满足 ，则函数 f(x)的解析式是 A B CD （分数：4.00）A.B.C.D.5.函数 在区间0，+)上 A单调减少，最大值为 1 B单调增加，最小值为 1 C从单调增加变为单调减少，最大值为 （分数：4.00）A.B.C.D.6.下列二元函数在点(0，0)处可微的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是 A.A+E B.A-E C.A+2E D.2A+E（分数：4.00）A.B.C.D.8.n 维向量组()： 1， 2， s和向量组()： 1， 2， t等价的
3、充分必要条件是 A.秩 r()=r()且 s=t B.r()=r()=n C.向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价 D.向量组()线性无关，向量组()线性无关且 s=t（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=f(x)在(1，1)邻域有连续二阶导数，曲线 y=f(x)在点 P(1，1)处的曲率圆方程为 x2+y2=2，则 f“(1)=_（分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 yy“-(y)2=0 满足 y(0)=1 与 y(0)=1 的特解是_（分数：4.00）填空项 1:_11.已知 ，则 （分数：4.00）填空项 1
4、:_12.设动点 P(x，y)在曲线 9y=4x2上运动，且坐标轴的单位长是 1cm如果 P 点横坐标的速率是 30cm/s，则当 P 点经过点(3，4)时，从原点到 P 点间距离 r 的变化率是_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 D 是由直线 x=0，y=0，x+y=1 在第一象限所围成的平面区域，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知三元二次型 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：6，分数：160.00)设 （分数：20.00）(1).函数 f(a)的定义域；（分数：10.00）_(2).函数 f(a)的值域（分数：10.00）_(1).求积分 （分数
5、：10.00）_(2).证明 f(t)在(-，+)连续，在 t=0 不可导（分数：10.00）_(3).作自变量替换 ，把方程 （分数：10.00）_(1).设 f(x)=4x3+3x2-6x 求 f(x)的极值点；（分数：10.00）_(2).设有 （分数：10.00）_设 u=u(x，y)在全平面上有连续偏导数，（分数：40.00）(1).作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，求 与 （分数：10.00）_(2).若 （分数：10.00）_(3).若 (x2+y2R 20)，求证： （分数：10.00）_(4).计算二重积分 ，其中积分区域 D 是由曲线 （分数：10.00）_(1).
6、设 f(x)在a，b上有三阶连续导数，写出 f(x)在a，b上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式（分数：10.00）_(2).设函数 f(x)在区间a，b上具有三阶连续导数，求证：存在 (a，b)使得 （分数：10.00）_(3).已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解（分数：10.00）_已知矩阵（分数：20.00）(1).求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵；（分数：10.00）_(2
7、).若 A+kE 正定，求 k 的取值（分数：10.00）_考研数学二-222 答案解析(总分：216.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.数列极限 =_ A0 B1 C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 转化为函数极限后用洛必达法则 * 设 xX 时 f(x),g(x)均可导,且 g(x)0,又*=A(有限数或)，则*(不必要求*) 分析二 先作恒等变形，即 * 于是* 其中* *2.设 f(x)= 在区间(0，4)内某点 a 处的导数 f(a)不存在，则必有 A （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*于是 *可导， *故
8、 f(2)不存在，即 a=2选(C)3.设 f(x)在(-，+)上有定义，在(-，0)(0，+)内可导，且 x=0 为 f(x)的可去间断点，则 Ax=0 为 f(x)的可去间断点 Bx=0 为 f(x)的跳跃间断点 Cx=0 为 (t)dt 的可去间断点 Dx=0 为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一 因 f(x)在(-，0)(0，+)内可导，从而 f(x)分别在(-，0)与(0，+)上连续，又因 x=0 是 f(x)的可去间断点，从而补充定义 f(0)=*，补充定义后的函数*(x)就在区间(-，+)上连续于是*在(-，+)内可导特别在 x=0 处连续由于改变函数在个别点的函
9、数值不影响函数的可积性与定积分的值(这是定积分的性质之一)，所以*也在 x=0 处连续即应选(D) 分析二 用排除法 对于(A)：取*则*从而可知 x=0 为 f(x)的跳跃间断点故(A)不对 对于(B)：取*则对任何x0 都有 f(x)=0，从而可知 x=0 为 f(x)的可去间断点故(B)不对 对于(C)：同样取*则不仅有*而且对任何 x0 都有*可见 x=0 不是*的可去间断点故(C)也不对 由排除法可知，应选(D)4.已知函数 f(x)在区间0，2上可积，且满足 ，则函数 f(x)的解析式是 A B CD （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由题设可令*代入即知 f(x)满足关系
10、式 f(x)=6x2-2Ax+3B，于是又有*从而 A，B 满足方程组*解之可得 A=5，*从而函数 f(x)的解析式是*故应选(B)5.函数 在区间0，+)上 A单调减少，最大值为 1 B单调增加，最小值为 1 C从单调增加变为单调减少，最大值为 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：由题设有 f(0)=1，且* *f(x)在0，+)单调减少*f(x)f(0)=0(x0)*f(x)在0，+)单调减少，f(x)f(0)=1(x0)因此选(A) 显然*f(x)=-*f(x)在0，+)不可能单调增加*(B)一定不对显然 f(x)在0，+)无最小值因此，由四选一原则，(C)也一定不对(因为若(C
11、)正确，则(D)也一定正确)6.下列二元函数在点(0，0)处可微的是 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题中的这 4 个函数均有 f(0，0)=0按可微定义，若 f(0，0)=0，则 f(x，y)在点(0，0)处可微，且* * f(x，y)=o()(0) * *，即无穷小量(0)，其中* (B)中的 f(x，y)满足：* 因此，(B)中的 f(x，y)在点(0，0)处可微故应选(B) (A)、(C)、(D)中的 f(x，y)在点(0，0)处均不可微 对于(A)中的 f(x,y)，由 *不存在 *f(x，y)在点(0，0)处不可微 对于(C)中的f(x，y)，由 *f(
12、x，y)在点(0，0)处不连续*f(x,y)在点(0,0)处不可微 对于(D)中的 f(x,y)，由 * 同理* 考察 * (当y=x(x0)时它的值为*) *f(x，y)在点(0，0)处不可微 作为复习，希望考生证明：(B)中的 f(x,y)的两个偏导数都存在，但在点(0，0)处的任何邻域内两个偏导数都是无界的，且在(0,0)处不连续，而在点(0,0)处的全微分存在.7.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是 A.A+E B.A-E C.A+2E D.2A+E（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于|A|= i，故 A 可逆*A 的特征值不为
13、0由 A 的特征值为 1，-1，-2，可知 2A+E 的特征值为 3，-1，-3所以 2A+E 可逆故选(D)8.n 维向量组()： 1， 2， s和向量组()： 1， 2， t等价的充分必要条件是 A.秩 r()=r()且 s=t B.r()=r()=n C.向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价 D.向量组()线性无关，向量组()线性无关且 s=t（分数：4.00）A.B.C. D.解析：向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关例如： 向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(0，1，0)，(0，2，0)的秩相等，但它们不等价； 向量组(1，0，0)，(2，0，0
14、)与向量组(3，0，0)等价，但向量个数不同， 故(A)不正确 r()=r()=n 是向量组()与向量组()等价的充分条件，不必要例如，向量组(1，0，0)，(0，1，0)与向量组(2，0，0)，(0，2，0)等价，但秩不为n故(B)不正确 向量组()与向量组()的极大无关组等价，向量组()与向量组()的极大无关组等价如果向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价，由等价的传递性自然有向量组()与向量组()等价，反之亦对故(C)正确应选(C) 注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故(D)不正确二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=f(x)在(1，1)邻域
15、有连续二阶导数，曲线 y=f(x)在点 P(1，1)处的曲率圆方程为 x2+y2=2，则 f“(1)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：分析一 y=f(x)在点 P 处的切线与*垂直，*斜率为 1*f(1)=-1点 P 处 y=f(x)的曲率半径为*，故曲线 y=f(x)在点 P 处的曲率为*，于是按曲率计算公式*由于曲率中心在曲线 y=f(x)凹的一侧*f“(1)0(y=f(x)在(1，1)邻域是凸的)因此 f“(1)=-2分析二 曲率圆 x2+y2=2 在(1，1)邻域确定 y=y(x)(y(1)=1)，y=f(x)与 y=y(x)在 x=1 有相同的二阶导数现由
16、x2+y2=2*2x+2yy=0，即 x+yy=0令 x=1，y=1*y(1)=-1，又1+y2+yy“=0令 x=1，y=1，y=-1*y“(1)=-2因此 f“(1)=y“(1)=-210.微分方程 yy“-(y)2=0 满足 y(0)=1 与 y(0)=1 的特解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e x）解析：分析一 该二阶方程不显含 x，令 P=y，并以 y 为自变量可降阶为 P 的一阶方程将*代入方程得*(P=0 不合题意)分离变量得*积分得 lnP=lny+C1，由初值得 C1=0于是*，即*再积分并由初值得 x=lny即 y=ex分析二 因为要求方程满足 y(0)
17、=1 的特解，无妨设 y0，因而由商的求导法则，将方程两边同除 y2方程可改写为*=0积分即得*，利用 y(0)=1 与 y(0)=1 可确定常数 C1=1于是方程可化为(lny)=1，再积分即得 lny=x+C2，利用 y(0)=1 又可确定常数 C2=0故所求特解为 lny=x，即 y=ex11.已知 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*12.设动点 P(x，y)在曲线 9y=4x2上运动，且坐标轴的单位长是 1cm如果 P 点横坐标的速率是 30cm/s，则当 P 点经过点(3，4)时，从原点到 P 点间距离 r 的变化率是_（分数：4.00）填空项 1:_
18、（正确答案：82(cm/s)）解析：这是相关变化率的问题x，y 以及原点到 P 点的距离*都是时间 t 的函数，在等式 9y=4x2和*两边对 t 求导，得*用 x=3，y=4，*代入以上两式，即可解出*13.设 D 是由直线 x=0，y=0，x+y=1 在第一象限所围成的平面区域，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：区域 D 如图 * 分析一 选用极坐标变换 D 的极坐标表示： * 于是 * 分析二 D：0x1，0y1-x * 对内层积分作变量替换：x+y=t(对 y 积分，x 为常数) * * 分析三 化为*后，用分部积分法 * *14.已知三元二次型 （分数：4.
19、00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：二次型矩阵*因为|A|=(a+2)(a-1) 2，由秩 r(A)=2，易见 a=-2由*可知矩阵 A 的特征值为 3，-3，0从而正交变换下二次型标准形为*，故其规范形为*-*三、B解答题/B(总题数：6，分数：160.00)设 （分数：20.00）(1).函数 f(a)的定义域；（分数：10.00）_正确答案：(即求 a 的取值范围，使得该无穷积分收敛 当 a1 时， * 当 a=1 时, * 因此，仅当a1 时原积分收敛，即函数 f(a)的定义域是(1，+)解析：(2).函数 f(a)的值域（分数：10.00）_正确答案：(为求*在(1，+)上的
20、值域，先考察*求值域归结为求 f(a)的最小值求 f(a)在(1，+)的最小值等价于求 g(a)=(a-1)lna-12 在(1,+)的最大值,由g(a)=lna-12+(a-1)lna-12lnln2=lna-121+(a-1)lnln2*g(a)在 a=a0处取最大值*f(a)的最小值为*因此 f(a)的值域是a *，+)解析：(1).求积分 （分数：10.00）_正确答案：(* 因此*)解析：(2).证明 f(t)在(-，+)连续，在 t=0 不可导（分数：10.00）_正确答案：(t0 时 f(t)与初等函数相同，故连续又 * 故 f(t)在 t=0 也连续因此 f(t)在(-，+)连
21、续 现考察* *)解析：(3).作自变量替换 ，把方程 （分数：10.00）_正确答案：(解一 ()先求*即* 再将求导，得*即*将代入* 将，代入原方程得* ()求解二阶常系数线性方程相应的特征方程 2+2+1=0，有重根 =-1非齐次方程可设特解 y*=Asint+Bcost，代入得-(Asint+Bcost)+2(Acost-Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint，即 Acost-Bsint=sint比较系数得 A=0，B=-1即 y*(t)=-cost，因此的通解为y=(C1+C2t)e-t-cost()原方程的通解为*其中 sin2(arcsinx)+cos2(arcs
22、inx)=1，*解二 先求* * 再将求导得*即* 将，式代入原方程得*余下步骤同前)解析：(1).设 f(x)=4x3+3x2-6x 求 f(x)的极值点；（分数：10.00）_正确答案：(先求 f(x)=12x2+6x-6=6(2x-1)(x+1)方法 1由*可知 x=1 为 f(x)的极大值点，*为 f(x)的极小值点方法 2令 f(x)=0，得驻点 x=-1，*由于*故知 x=-1 为 f(x)的极大值点，*为 f(x)的极小值点)解析：(2).设有 （分数：10.00）_正确答案：(由变限积分求导法得*，又由反函数求导法得*，再由复合函数求导法得 * 方法 1在定义域中考察 y=y(
23、x)： * 即* 再求* *只有拐点(0，0) 方法 2由* 其中，x定义域 同样得到只有(0，0)是拐点)解析：设 u=u(x，y)在全平面上有连续偏导数，（分数：40.00）(1).作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，求 与 （分数：10.00）_正确答案：(由复合函数求导法* *)解析：(2).若 （分数：10.00）_正确答案：(由题()，*(r0)又 u(rcos，rsin)对 r 在0，+)上连续*(x，y)，有u(x，y)=u(rcos，rsin)=u(rcos，rsin)| r=0=u(0，0)解析：(3).若 (x2+y2R 20)，求证： （分数：10.00）_正确答
24、案：(由题()，有*对 r 从 R 到 r 积分得 * 注意，u(Rcos，Rsin)对 在0，2上连续，故有界 又由* 因此*)解析：(4).计算二重积分 ，其中积分区域 D 是由曲线 （分数：10.00）_正确答案：(解一 积分区域 D 可表示为(x，y)|0x2，*，如图，则有*而*代人即得所求二重积分*解二 为简化计算将积分区域 D 表示为 D=D1D 2，其中 Dl 是上半圆域(x-2) 2+y24 且 y0 中横坐标满足 0x2 的四分之一圆域，即 D1=(x，y)|0x2，0y*，D 2是上半圆域(x-1) 2+y21 且y0，即 D2=(x，y)|0x2，0y*，从而*为了计算
25、二重积分 I1，I 2简便起见，可分别在 D1与 D2上作适当的平移变换，而后再作极坐标变换对于 I1，令 u=x-2，=y*x=u+2，y=，则 D1变成D1=(u，)|u 2+ 24，0，-2u0令 u=rcos，=rsin，在极坐标系(r，)中*，d=rdrd，故*对于 I2，令 u=x-1，=y*x=u+1，y=，则 D2变成D2=(u，)|u 2+ 21，0，令 u=rcos，=rsin，在极坐标系(r，)中 D2=(r，)|0，0r1，d=rdrd，故*由此可得*)解析：(1).设 f(x)在a，b上有三阶连续导数，写出 f(x)在a，b上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式（分数：10.
26、00）_正确答案：(任意给定 x0(a，b)，对*a,b，*其中 在 0，x 之间)解析：(2).设函数 f(x)在区间a，b上具有三阶连续导数，求证：存在 (a，b)使得 （分数：10.00）_正确答案：(把 f(b)与 f(a)分别在点*处展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式即得分别存在*与*使得*将上面两式相减可得*由 f“(1)在a，b连续及连续函数的中间值定理知存在 1， 2*(a，b)使得*代入即得到了要证明的结论：存在 (a，b)使得*)解析：(3).已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，
27、1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解（分数：10.00）_正确答案：(由方程组 Ax= 的解的结构，可知r(A)=r( 1， 2， 3， 4)=3，且 1+2 2+2 3+ 4=， 1-2 2+4 3=0因为 B=( 3， 2， 1，- 4)=( 3， 2， 1， 1+2 2+2 3)，且 1， 2， 3线性相关，而知秩r(B)=2由*,知(0,-1,1,0) T是方程组 Bx= 1- 2的一个解又由*可知(4，-2，1，0) T，(2，-4，0，1) T是 Bx=0 的两个线性无关的解故 Bx= 1- 2的通解是：(0，
28、-1，1，0) T+k1(4，-2，1，0) T+k2(2，-4，0，1) T要会正反两个方面用好方程组解的结构；要会用观察法米分析方程组的解)解析：已知矩阵（分数：20.00）(1).求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵；（分数：10.00）_正确答案：(因为 AT=A，则(AP) T(AP)=PTATAP=pTA2P，又*构造二次型*经配方，有*那么，令*即*则二次型化为标准形*于是，二次型合同。故*其中*)解析：(2).若 A+kE 正定，求 k 的取值（分数：10.00）_正确答案：(由|E-A|=( 2-1)(-5)，知矩阵 A 的特征值为：1，5，0，-1，进而可知 A+kE 的特征值为 k+1，k+5，k，k-1于是由 A+kE 正定可知，k1)解析：
