1、考研数学二-242 及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 3a 2 -5b0，则方程 x 5 +2ax 3 +3bx+4c=0_（分数：4.00）A.有唯一实根B.有两个不同实根C.有三个不同实根D.有五个不同实根2.设 （分数：4.00）A.2e(1-e)B.-2e2C.1-eD.03.曲线 y=f(x)=|x|-x+e -|x| ln|x|的渐近线共有_（分数：4.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条4.设函数 （分数：4.00）A.5B.4C.5 和 4D.25.设 f(x)是二阶可导的奇函数，y(x)=f(co
2、sx)cosf(x)，且当 （分数：4.00）A.1B.2C.-1D.-26.设 f(x)，g(x)在(-，)内连续，且当 x0 时，f(x)和 g(x)都是 x 2 的等价无穷小若 （分数：4.00）A.(x)是 (x)的低阶无穷小B.(x)是 (x)的高阶无穷小C.(x)是 (x)同阶，但不等价的无穷小D.(x)与 (x)是等价无穷小7.设 是三阶可逆矩阵，B 是三阶矩阵，且 ，则 B 相似于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 （分数：4.00）A.A1y=0B.A2y=0C.A3y=0D.A4y=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设二元函数 f(x
3、，y)二阶连续可导，且 若 u(x，y，z)=f(x+y+z，x 2 +y 2 +z 2 )，则 （分数：4.00）10.若二阶常系数线性齐次微分方程 2y“+ay“=0 和 y“-by=0 有同一解 y=e 2x ，则非齐次方程 y“+ay“+by=e 2x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）11.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，则在点 P 0 (1，1)处 （分数：4.00）12.f(t)为连续函数，D 是由 y=x 3 ，y=1，x=-1 围成的区域，则 （分数：4.00）13.微分方程 y“-2y“-3y=x(1+e -x )的一个特解形式为 1 （分数：4.00）14.若二
4、次型 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_16.求微分方程(y+x 3 )dx-2xdy=0 满足 （分数：10.00）_设函数 （分数：9.99）(1).讨论 f(x)的单调性，考察 f(x)的极值问题；（分数：3.33）_(2).讨论 f(x)的凹凸性，并求其拐点；（分数：3.33）_(3).求 f(x)的渐进线，并作示意图(注：已知 （分数：3.33）_设函数 （分数：10.00）(1).求 f(t)的初
5、等函数表达式；（分数：5.00）_(2).证明存在 t 0 (0，1)，使得 f(t 0 )是 f(t)在0，1内唯一的最小值（分数：5.00）_若 u 1 =b， （分数：10.00）(1).若u n 收敛，求 （分数：5.00）_(2).常数 a，b 满足什么条件时，数列u n 收敛（分数：5.00）_设 y=y(x)在(-，+)内二阶可导，且 y“(x)0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：11.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：5.50）_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：5.50）_若数列x n 由如下条件确定，x 1
6、=1，x n+1 =sin(arctanx n )，n=1，2，（分数：11.00）(1).证明数列x n 收敛，并求极限 （分数：5.50）_(2).求极限 （分数：5.50）_设 n 阶矩阵 A 的元素为 a ij (i，j=1，2，n)，A ij 是 a ij 的代数余子式（分数：11.00）(1).若 ，求 （分数：5.50）_(2).已知|A|=3，a 11 =2， （分数：5.50）_设 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX，且|A|0，（分数：11.00）(1).证明存在 n 维向量 0 ，使得 （分数：5.50）_(2).设 ，求 0 ，使得 （分数：5.50）_考
7、研数学二-242 答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 3a 2 -5b0，则方程 x 5 +2ax 3 +3bx+4c=0_（分数：4.00）A.有唯一实根 B.有两个不同实根C.有三个不同实根D.有五个不同实根解析：解析 设 f(x)=x 5 +2ax 3 +3bx+4c，f“(x)=5x 4 +6ax 2 +3b 因为 =(6a) 2 -45(3b)=12(3a 2 -5b)0，所以 f“(x)0，因此 f(x)=0 至多有一个根 又 f(x)是五次多项式，它至少有一个零点，所以 f(x)=0 有唯一实根2.设 （分数：4.
8、00）A.2e(1-e) B.-2e2C.1-eD.0解析：解析 区域 D：0xt 2 ，xyt 2 ，交换次序为 D：0yt 2 ，0xy，则 3.曲线 y=f(x)=|x|-x+e -|x| ln|x|的渐近线共有_（分数：4.00）A.1 条B.2 条C.3 条 D.4 条解析：解析 当 x=0 时， ，所以 x=0 是其垂直渐近线 当 x0 时，f(x)=e -x lnx， ，所以 y=0 是其水平渐近线 当 x0 时，f(x)=-2x+e x ln(-x)，得 4.设函数 （分数：4.00）A.5B.4C.5 和 4D.2 解析：解析 5.设 f(x)是二阶可导的奇函数，y(x)=f
9、(cosx)cosf(x)，且当 （分数：4.00）A.1B.2 C.-1D.-2解析：解析 f(x)是二阶可导的奇函数，所以有 f(0)=0 记 g(x)=f(cosx)，h(x)=cosf(x)，则 g“(x)=-sinxf“(cosx)， g“(x)=-cosxf“(cosx)+sin 2 xf“(cosx) g(x 0 )=f(0)=0，g“(x 0 )=-f“(0)，g“(x 0 )=f“(0) h“(x)=-sinf(x)f“(x)， h“(x)=-cosf(x)f“(x) 2 -sinf(x)f“(x) h(x 0 )=0， h“(x 0 )=-sinf(x 0 )f“(x 0
10、)=-f“(x 0 )，h“(x 0 )=-f“(x 0 ) y“(x 0 )=g(x)h(x)“| x=x0 =g“(x 0 )h(x 0 )+2g“(x 0 )h“(x 0 )+g(x 0 )h“(x 0 ) =f“(0)0+2f“(0)f“(x 0 )-f(0)f“(x 0 )=26.设 f(x)，g(x)在(-，)内连续，且当 x0 时，f(x)和 g(x)都是 x 2 的等价无穷小若 （分数：4.00）A.(x)是 (x)的低阶无穷小B.(x)是 (x)的高阶无穷小C.(x)是 (x)同阶，但不等价的无穷小 D.(x)与 (x)是等价无穷小解析：解析 7.设 是三阶可逆矩阵，B 是三
11、阶矩阵，且 ，则 B 相似于_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 观察 ，可由 作初等行变换得到，将 A 的 1、2 行互换(左乘 E 12 )，再将 E 12 A 的第 2 行乘以 2，第 3 行乘以-1(左乘 E 2 (2)，再左乘 E 3 (-1)，即得 AB，即 A 是可逆矩阵，上式两边右乘 A -1 ，得 ，即 8.设 （分数：4.00）A.A1y=0B.A2y=0C.A3y=0 D.A4y=0解析：解析 由 AX=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )X=0 有通解 k(2，-3，0，1) T 知，r(A)=3，且 2 1 -3 2 +0 3 + 4 =2
12、 1 -3 2 + 4 =0， 即 有非零解2，-3，1 T ，故应选 C选项 A、B、D 均不成立 若 A 1 y=0 有非零解，设为(y 2 ，y 3 ，y 4 ) T (0)，则 y 2 2 +y 3 3 +y 4 4 =0不失一般性，设 y 2 0，则 ，又 AX=0 有解(2，-3，0，1) T ，得 2 1 -3 2 + 4 =0， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设二元函数 f(x，y)二阶连续可导，且 若 u(x，y，z)=f(x+y+z，x 2 +y 2 +z 2 )，则 （分数：4.00）解析：-12 解析 利用函数结构的对称性，可得 最后得 10.若二阶常系
13、数线性齐次微分方程 2y“+ay“=0 和 y“-by=0 有同一解 y=e 2x ，则非齐次方程 y“+ay“+by=e 2x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）解析： (C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 由题设条件可知二次方程 2 2 +a=0 与 2 -b=0 有共同的一个解 =2， 所以 b=4，a=-4齐次微分方程为 y“-4y“+4y=0，其通解是 y=(C 1 +C 2 x)e 2x (C 1 ，C 2 为任意常数) 求非齐次微分方程 y“-4y“+4y=e 2x 的一个特解： 由非齐次项设特解 Y=Ax 2 e 2x ，代入微分方程 y“-4y“+4y=e 2x ，得
14、A(2e 2x +8xe 2x +4x 2 e 2x )-4A(2xe 2x +2x 2 e 2x )+4Ax 2 e 2x =e 2x 比较系数，得 ，故其特解为 ，通解为 11.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，则在点 P 0 (1，1)处 （分数：4.00）解析：1 解析 由方程 z+lnz-lnx-y=0，得 所以有 又 z(1，1)=1，所以在点 P 0 (1，1)处 12.f(t)为连续函数，D 是由 y=x 3 ，y=1，x=-1 围成的区域，则 （分数：4.00）解析：2 解析 如图，由区域的对称性可得 因此 13.微分方程 y“-2y“-3y=x(1+e -x )的一个特
15、解形式为 1 （分数：4.00）解析：y * =Ax+B+x(Cx+D)e -x (A，B，C，D 为任意常数) 解析 原方程对应的齐次方程的两个特征根分别为-1，3，所以 方程 y“-2y“-3y=x 的一个特解形式为 y 1 =Ax+B； 方程 y“-2y“-3y=xe -x 的一个特解形式为 y 2 =x(Cx+D)e -x 根据线性非齐次微分方程解的叠加原理，原微分方程的一个特解形式为 y * =y 1 +y 2 =Ax+B+x(Cx+D)e -x (A，B，C，D 为任意常数)14.若二次型 （分数：4.00）解析：-1t1 解析 二次型 f 的矩阵 因为 f 正定 A 的顺序主子式
16、全大于零 又 故 1-t 2 0 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 方程 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 两边对 x 和 y 求导，得 令 ，得 故得驻点坐标关系 将上式代入 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0，可得两个驻点 由于式对 x 求导得 式对 x 求导得 式对 y 求导得 联立式、，解得 故 ，从而点(9，3)是 z(x，y)的极小值点，极
17、小值为 z(9，3)=3 类似地，由 可知 16.求微分方程(y+x 3 )dx-2xdy=0 满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 原方程变形为 ，由一阶线性方程通解公式得 再由 解得 C=1，所以原方程特解为 设函数 （分数：9.99）(1).讨论 f(x)的单调性，考察 f(x)的极值问题；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解析 (2).讨论 f(x)的凹凸性，并求其拐点；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解析 f“(x)=(2xe -x4 )“=2e -x4 (1-4x 4 )，由 f“(x)=0，得二阶导数的两个零点： 所以 f(x)的下凸区间为 ，上凸区
18、间为 (3).求 f(x)的渐进线，并作示意图(注：已知 （分数：3.33）_正确答案：()解析：解析 因有 ，又有 所以 f(x)有水平渐进线 ，如图 设函数 （分数：10.00）(1).求 f(t)的初等函数表达式；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 如图将积分区域划分如下： D + =D(x，y)|xy-t0， D - =D(x，y)|xy-t0 (2).证明存在 t 0 (0，1)，使得 f(t 0 )是 f(t)在0，1内唯一的最小值（分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 由驻点方程 f“(t)=0，难以求得驻点的值，但可以通过分析函数 f(t)在区间(0，1内的性质
19、，断言：f(t)在区间(0，1)内有唯一驻点，这一点就是 f(t)在区间0，1上的最小值点因为 f“(t)=-2lnt0，t(0，1)，函数在区间(0，1)内是下凸的 又 ，且 补充定义 若 u 1 =b， （分数：10.00）(1).若u n 收敛，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 若 存在，则由条件 ，得 A=A 2 +(1-2a)A+a 2 A 2 -2aA+a 2 =0 (2).常数 a，b 满足什么条件时，数列u n 收敛（分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 由 可见，u n 是单调增数列 因此，如果数列u n 收敛，必须满足 ，即要满足条件 u n +(u
20、n -a) 2 a， u n -a+(u n -a)2=(u n -a)u n -(a-1)0， 则 a-1u n a，n=1，2，当然应有 a-1u 1 =ba 若条件 a-1u 1 =ba 成立，用数学归纳法证明： a-1u n a，n=1，2， 假设当，n=k 时，a-1u k a 成立，则 同时 u k+1 u k a-1，即 a-1u k+1 a 从而证明了 设 y=y(x)在(-，+)内二阶可导，且 y“(x)0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：11.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 因为 ，所以 ，等式两边
21、对 x 求导，得 故 (2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 现在变为初值问题 对应的齐次方程 y“-y=0 的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e -x 设方程 y“-y=sinx 的特解为 Y=Acosx+Bsinx， 代入得 A=0， ，故 ，从而 y“-y=sinx 的通解为 由 y(0)=0， ，得 C 1 =1，C 2 =-1，故所求初值问题的解为 若数列x n 由如下条件确定，x 1 =1，x n+1 =sin(arctanx n )，n=1，2，（分数：11.00）(1).证明数列x n 收敛，并求极限 （分数：
22、5.50）_正确答案：()解析：解析 首先证明，x n 单调递减趋于零 由 x 1 =1，及 0x n+1 =sin(arctanx n )arctanx n x n ，得x n 单调递减，且x n 0，1，则x n 单调递减且有下界从而其极限存在，设 ，则由 ，得方程 a=sin(arctana)，a0，1， 显然 a=0，即 (2).求极限 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 思路一： 当 t0 时， ，则 思路二：令 u n =arctanx n ，则 x n =tanu n ，因此 设 n 阶矩阵 A 的元素为 a ij (i，j=1，2，n)，A ij 是 a ij 的代数
23、余子式（分数：11.00）(1).若 ，求 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 思路一： ，求得 A * 即可求得 A 的全部代数余子式之和，由 ，得|A|=1，则 故 思路二： 故 (2).已知|A|=3，a 11 =2， （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 则有 设 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX，且|A|0，（分数：11.00）(1).证明存在 n 维向量 0 ，使得 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 ，故 A 有奇数个特征值小于零设 0 0，其对应的特征向量设为 0 ，则有A 0 = 0 0 ；两边左乘 ，则 ，其中 ，故得证存在 0 ，使得 (2).设 ，求 0 ，使得 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 思路一：先求 A 的特征值 得 0 =-40 当 0 =-4 时，由 ，且 解得 0 =(1，0，-1) T ，故存在 0 =(1，0，-1) T ，使得 思路二：由已知可得二次型为
