1、考研数学二-255 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：40，分数：100.00)1.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.50）2.设 y=y(x)由参数方 确定，则 = 1， （分数：2.50）3.设 y=y(x)由方程 y=sin(x+y)确定，则 （分数：2.50）4.作变量替换 x=e t ，方程 （分数：2.50）5.设 （分数：2.50）6.设 f(x)=x1 00 e x2 ，则 f (200) (0)= 1 （分数：2.50）7.设有界函数 f(x)在(c，+)内可导，且 （分数：2.50）8.设函数 f(x)在(a，+)内
2、可导，且任意 x(a，+)有|f“(x)|M(M 常数)，则 （分数：2.50）9.数列极限 （分数：2.50）10.函数 （分数：2.50）11.设(1，3)是曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+14 的拐点，则 a= 1，b= 2 （分数：2.50）12.设 f(x)=xe x ，则 f (n) (x)在 x= 1 处取极小值 2 （分数：2.50）13.设 y=y(x)是由方程 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 确定的，则 y=y(x)的极值点是 1 （分数：2.50）14.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，则 A 至少为 1 时，有 f(x)2
3、0(x0) （分数：2.50）15.函数 f(x)=|4x 3 -18x 2 +27|在0，23 上的最小值等于 1，最大值等于 （分数：2.50）16.设 （分数：2.50）17. （分数：2.50）18. （分数：2.50）19.已知 （分数：2.50）20. （分数：2.50）21. （分数：2.50）22. （分数：2.50）23. （分数：2.50）24.设 a0，则 （分数：2.50）25. （分数：2.50）26.设 （分数：2.50）27.设 （分数：2.50）28.设 f(x)是定义于 x1 的正值连续函数，则 （分数：2.50）29.设 f(x)有连续的一阶导数， （分数：
4、2.50）30.设 （分数：2.50）31. 则 （分数：2.50）32. （分数：2.50）33. （分数：2.50）34. （分数：2.50）35. （分数：2.50）36.设|y|1，则 （分数：2.50）37.设 f(x)的原函数 F(x)恒正，且 F(0)=1，当 x0 时有 f(x)F(x)=sin 2 2x，则 f(x) 1 （分数：2.50）38.设 f(x)有一阶导数且满足 （分数：2.50）39.设 f(x)=max1，x 2 )，则 （分数：2.50）40.设星形线方程为 ，则它所围成的面积 A 为 1，它的弧长 L 为 2，它绕 x 轴旋转而生成的旋转体体积 V 为 3
5、 （分数：2.50）考研数学二-255 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：40，分数：100.00)1.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.50）解析： 解析 由连续性， 于是 f(0)=0 曲线 y=f(x)在 x=0 处的法线斜率为 ，法线方程为 2.设 y=y(x)由参数方 确定，则 = 1， （分数：2.50）解析： 解析 y=y(x)的曲率 3.设 y=y(x)由方程 y=sin(x+y)确定，则 （分数：2.50）解析： 解析 将方程两边对 x 求导得 解出 再对 x 求导得 代入 1+y“的表达式得 4.作变量替换 x=e t
6、 ，方程 （分数：2.50）解析： 解析 由 x=e t ，得 t=lnx，于是 代入原方程得 即 5.设 （分数：2.50）解析：(-1) n-1 (n-1)!(-2) n -3 n 解析 f(x)=ln(1-2x)-ln(1+3x) f (n) (x)=(ln(1-2x) (n) -(ln(1+3x) (n) 由归纳法易得到 (ln(1+ax) (n) =(-1) n-1 a n (n-1)!(1+ax) -n 于是 f (n) (x)=(-1) n-1 (n-1)!(-2) n (1-2x) -n -3n(1+3x) -n f (n) (0)=(-1) n-1 (n-1)!(-2) n
7、-3 n 6.设 f(x)=x1 00 e x2 ，则 f (200) (0)= 1 （分数：2.50）解析： 解析 先写出 f(x)的麦克劳林公式 取 n=50，展开式中 x 200 项的系数是 7.设有界函数 f(x)在(c，+)内可导，且 （分数：2.50）解析：0 解析 本题可用反证法证明 b=0，不妨设 b0，取 a 满足 0ab，由 ，则存在 x 0 0，当 xx 0 时 f“(x)a，在x 0 ，x上用拉格朗日中值定理，f(x)=f(x 0 )=f“()(x-x0)a(x-x 0 )(x 0 ，x)，即 f(x)a(x-x 0 )+f(x 0 )，因 所以 ，从而 f(x)在(c
8、，+)上无界，这与 f(x)在(c，+)上是有界函数矛盾 因 f(x)在(c，+)可导，有界 又 8.设函数 f(x)在(a，+)内可导，且任意 x(a，+)有|f“(x)|M(M 常数)，则 （分数：2.50）解析：0 解析 任取定一点 x 0 (a，+)，对任意的 x 0 (a，+)，有 其中 在 x 与 x 0 之间 显然 由夹逼定理，有 用上题中评注结论，用洛必达法则立即得 9.数列极限 （分数：2.50）解析：2 解析 这是0 型的数列极限，转化为求 型的函数极限，然后用洛必达法则 这是0 型极限，为简化计算设法寻求 的等价无穷小，它是 f(x)=arctanx 的改变量 由拉格朗日
9、中值定理，它可改写成 其中 ，当 n时， 因此 10.函数 （分数：2.50）解析：(-，-1，3，+)是单调增区间-1，1)，(1，3是单调减区间；f(-1)=-2 是极大值，f(3)=0 是极小值；(1，+)是凹区间；(-，1)是凸区间 解析 ，x=-1，y“0，x=1 处 y 无定义现用 x=-1，x=3 将定义域分成如加下区间并列表 11.设(1，3)是曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+14 的拐点，则 a= 1，b= 2 （分数：2.50）解析：-3，-9 解析 求出 y“=6x+2a， (1，3)为该曲线拐点 y(1)=1+a+b+14=3 y“(1)=6+2a=0 a=-3，
10、b=-9又 12.设 f(x)=xe x ，则 f (n) (x)在 x= 1 处取极小值 2 （分数：2.50）解析：-(n+1)； 解析 先用归纳法求 f (n) (x) f“(x)=(x+1)e x ，f“(x)=(x+2)e x ， 易归纳证明 f (n) (x)=(x+n)e x 再求 f (n) (x)的驻点由(f (n) (x)“=(x+n+1)e x =0 解得 x=-(n+1) 13.设 y=y(x)是由方程 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 确定的，则 y=y(x)的极值点是 1 （分数：2.50）解析：x=1 解析 将方程 2y 3 -2y 2 +2xy-x
11、2 =1 两边对 x 求导，得 6y 2 y“-4yy“+2y+2xy“-2x=0 整理得 y“(3y 2 -2y+x)=x-y 令 y“=0，有 x=y，将其代人 2y 3 -2y 2 +2xy-x 3 =1 得 2x 3 -x 2 -1=(x 3 -1)+(x 3 -x 2 )=0，即(x-1)(2x 2 +x+1)=0 于是 x=1 是唯一的驻点此时，y=x=1 对求导 y“(3y 2 -2y+x)+y“(3y 2 -2y+x)“ x =1-y“ 把 x=1，y=1，y“(1)=0 代入上式，得 14.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，则 A 至少为 1 时，
12、有 f(x)20(x0) （分数：2.50）解析：64 解析 为使 f(x)20，只要 3x 5 +A20x 3 即 20x 3 -3x 5 A，设 g(x)=20x 3 -3x 5 ，则A 至少是 g(x)在(0，+)内的最大值 因 15.函数 f(x)=|4x 3 -18x 2 +27|在0，23 上的最小值等于 1，最大值等于 （分数：2.50）解析：0；27 解析 设 (x)=4x 3 -18x 2 +27，则 (x)在0，2单调下降 (0)=27，(2)=-13 唯-x 0 (0，2)，(x 0 )=0 由于 f(x)=|(x)| 16.设 （分数：2.50）解析： 解析 先考察 f
13、(x)的单调性 因此，f(x) 的值域是 17. （分数：2.50）解析：，C 为任意常数解析 18. （分数：2.50）解析： ，C 为任意常数 解析 令 ，解出 于是 19.已知 （分数：2.50）解析： ，C 为 常数 解析 将 两边求导得 f“(x 3 )=3x 2 令 ，则 因此， ，C 为 20. （分数：2.50）解析： ，C 为 常数 解析 将 sinx 作如下分解 sinx=(sinx+cosx)+(sinx+COSX)“=(-)sinx+(+)cosx 令 得 于是 21. （分数：2.50）解析： ，C 为 常数 解析 令 则 x=t 2 -1，dx=2tdt，于是 22
14、. （分数：2.50）解析： ，C 为 常数 解析 先用分部积分法 再作变量替换 令 ，则 x=ln(t 2 -1)， ，于是 因此， 23. （分数：2.50）解析： ，C 为 常数 解析 注意分解 1+x 6 =1+(x 2 ) 3 =(1+x 2 )(x 4 -x 2 +1) 24.设 a0，则 （分数：2.50）解析： 解析 由于 是奇函数，所以 由定积分的几何意义 (半径为 a 的半圆的面积) 所以 25. （分数：2.50）解析： 解析 而 因此， 26.设 （分数：2.50）解析：a=6， 解析 若 a0，则 I=+，所以 a0，I 为 型极限，由洛必达法则 因此，a=6， 27
15、.设 （分数：2.50）解析：0； 解析 由 f“(x)=e -x4 2x=0，得 x=0 当 x0 时，f“(x)0，当 x0 时，f“(x)0，所以， 极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0 由 f“(x)=2e -x4 (1-4x 4 =0，得 当 或 时，f“(x)0， 当 时，f“(x)0，因此，拐点坐标为 28.设 f(x)是定义于 x1 的正值连续函数，则 （分数：2.50）解析：2 解析 29.设 f(x)有连续的一阶导数， （分数：2.50）解析：1 解析 (对第一个积分令 2a-t=u) (对第一个积分作分部积分) 30.设 （分数：2.50）解析： 解析 设 则 f(
16、x)=x 2 -bx+2a 对上式两边分别在0，1和0，2上作定积分 即 即 由式和式得 于是 31. 则 （分数：2.50）解析： 解析 先对 换元，再计算设 x-2=t，dx=dt，当 x=1 时 t=-1；当 x=4 时 t=2 32. （分数：2.50）解析：解析 33. （分数：2.50）解析：F(x)+C，C 为 常数 解析 令 则 f(x)在0，上的全体原函数是 f(x)dx=F(x)+C，C 为 34. （分数：2.50）解析：1 解析 令 x=-t， 因此 35. （分数：2.50）解析： 解析 36.设|y|1，则 （分数：2.50）解析： 解析 被积函数分段表示 于是，以
17、 y 为分界点用分段积分法得 37.设 f(x)的原函数 F(x)恒正，且 F(0)=1，当 x0 时有 f(x)F(x)=sin 2 2x，则 f(x) 1 （分数：2.50）解析： 解析 已知 f(x)F(x)=sin 2 2x，F“(x)=f(x) 由 38.设 f(x)有一阶导数且满足 （分数：2.50）解析：xsinx-cosx+C，C 为任意常数 作变量替换 tx=s，改写方程为 f(x)=xf“(x)+f(x)+(x 2 sinx)“ 即 39.设 f(x)=max1，x 2 )，则 （分数：2.50）解析： 解析 因为 所以这是求分段函数的变限积分。 当 x-1 时， 当-1x1 时， 当 x1 时， 因此， 是 f(x)的一个原函数，满足 F(1)=0因而，也可用拼接法求得分段函数 f(x)的一个原函数，记为F 0 (x) 其中 C 1 ，C 2 满足 现定出 C 使得 因此 40.设星形线方程为 ，则它所围成的面积 A 为 1，它的弧长 L 为 2，它绕 x 轴旋转而生成的旋转体体积 V 为 3 （分数：2.50）解析： 解析
