1、考研数学二-259 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：40，分数：100.00)1.四元齐次线性方程组 （分数：2.50）2.已知齐次线性方程组 （分数：2.50）3.已知方程组 （分数：2.50）4.已知方程组 （分数：2.50）5.设 1 =(6，-1，1) T 与 2 =(-7，4，2) T 是线性方程组 （分数：2.50）6.设 A nn x=0，其中|A|=0，余子式 M 1n 0，则 Ax=0 的通解是 1 （分数：2.50）7.设线性方程组 A 34 x=b，即 有通解 k1，2，-1，1 T +1，-1，0，2 T ，其中 k 是任意常数
2、，则方程组 B 33 x=b 即 （分数：2.50）8.设线性方程组 A 33 =b，即 有唯一解 =1，2，3 T 方程组 B 34 y=b 即 （分数：2.50）9.设 r(A 33 )=2，方程组 Ax=b 有解 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 + 2 =(4，2，3) T ， 2 + 3 =(5，7，-3) T ，则 Ax=b 的通解是 1 （分数：2.50）10.设 A=a ij 是三阶正交矩阵，其中 a 33 =-1，b=(0，0，5) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1 （分数：2.50）11.已知齐次线性方程组 有通解，k 1 (2，-1，0，1) T +k 2 (3，2
3、，1，0) T ，则方程组 （分数：2.50）12.已知方程组 （分数：2.50）13.已知非齐次线性方程组()与()同解，其中 （分数：2.50）14.已知 （分数：2.50）15.已知三阶矩阵 A 的特征值是 （分数：2.50）16.设 A 是主对角线元素之和为-5 的三阶矩阵，且满足 A 2 +2A-3E=0，那么矩阵 A 的三个特征值是 1 （分数：2.50）17.已知 =(a，1，1) T 是矩阵 （分数：2.50）18.设 =(1，-1，a) T 是 （分数：2.50）19.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维线性无关的列向量，且 A 1 = 1 ，A 2 =-
4、 3 ，A 3 = 2 +2 3 则矩阵 A 的三个特征值是 1 （分数：2.50）20.已知 是 3 维列向量，T 是 的转置，若矩阵 T 相似于 （分数：2.50）21.已知 A 是三阶方阵，其特征值分别为 1，2，-3，则行列式|A|中主对角线元素的代数余子式之和 A 11 +A 22 +A 33 = 1 （分数：2.50）22.设 （分数：2.50）23.设 A 是三阶实对称矩阵，存在正交阵 Q= 1 ， 2 ， 3 ，使得 Q -1 AQ=Q T AQ= ，则矩阵 （分数：2.50）24.设 =(1，-1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特
5、征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是 1 （分数：2.50）25.已知矩阵 A= （分数：2.50）26.已知 A 是四阶实对称矩阵，秩 r(A)=3，矩阵 A 满足 A 4 -A 3 -A 2 -2A=0 则与 A 相似的对角矩阵是 1 （分数：2.50）27.已知矩阵 （分数：2.50）28.已知 （分数：2.50）29.A 是三阶矩阵， 是三个三维线性无关的列向量，其中 Ax=0 有解 ，Ax= 有解 ，Ax=有解 ，则 A 1 （分数：2.50）30.已知 （分数：2.50）31.设 （分数：2.50）32.已知三元二次型 （分数：2.50）33.二次型 （分数：2.50）
6、34.已知二次型 经正交变换 x=Py 可化成标准形 （分数：2.50）35.若二次型 （分数：2.50）36.设 =(1，0，1) T ，A= T 、，若 B=(kE+A)*是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1 （分数：2.50）37.已知矩阵 与二次型 （分数：2.50）38.已知 （分数：2.50）39.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A-6E，保证 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1 （分数：2.50）40.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=-aE+A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1 （分数：2.50）考研数学二-25
7、9 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：40，分数：100.00)1.四元齐次线性方程组 （分数：2.50）解析：(0，1，0，0) T ，(-2，0，3，1) T 解析 由齐次方程组的系数矩阵 易见秩 r(A)=2，那么 n-r(A)=4-2=2，故基础解系由两个线性无关的解向量所构成，且每个解中有两个自由变量由于 1、3 两列所构成的二阶子式 2.已知齐次线性方程组 （分数：2.50）解析：-5 或-6 解析 齐次方程组 Ax=0 有无穷多解的充分必要条件是 r(A)n现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式|A|=0 3.已知方程组 （
8、分数：2.50）解析：3 解析 线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充要条件是 对增广矩阵作初等行变换，有 由于 r(A)=2，而 4.已知方程组 （分数：2.50）解析：-1 解析 非齐次线性方程组 Ax=b 无解的充分必要条件是 对增广矩阵作初等行变换有 可见 a=-1 时，r(A)=2， 5.设 1 =(6，-1，1) T 与 2 =(-7，4，2) T 是线性方程组 （分数：2.50）解析：(6，-1，1) T +k(13，-5，-1) T (k 为任意常数) (或(-7，4，2) T +k(13，-5，-1) T ，k 为任意常数) 解析 一方面因为 1 ， 2 是非齐次线性方程组 A
9、x=b 的两个不同的解，故必有 另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式 又必有 r(A)2，因此，必有 6.设 A nn x=0，其中|A|=0，余子式 M 1n 0，则 Ax=0 的通解是 1 （分数：2.50）解析：kM 11 ，-M 12 ，(-1) n+1 M 1n T ，其中 k 是任意常数 解析 |A|=0，AA * =|A|E=0，A * 的任一列都是 Ax=0 的解 因|A|=0，M 1n 0，故 r(A)=n-1故通解为 k(A 11 ，A 12 ，A 1n ) T =k(M 11 ，-M 12 ，(-1) n+1 M 1n ) T ，k 是任意常数7.设线性方程组 A
10、34 x=b，即 有通解 k1，2，-1，1 T +1，-1，0，2 T ，其中 k 是任意常数，则方程组 B 33 x=b 即 （分数：2.50）解析：(-3，1，1) T 解析 由观察，方程组(2)比方程组(1)减少了一个未知量若方程组(2)有解=(a，b，c) T ，则 =(0，a，b，c) T 必是方程组(1)的解，现已知方程组(1)有无穷多解 k(1，2，-1，1) T +(1，-1，0，2) T ，其中 k 是任意常数，选择任意常数 k，使(1)的解的第一个分量为 0，即选k=-1，得(1)的一个特解为(0，-3，1，1) T ，则向量(-3，1，1) T 满足方程组(2)，是方程
11、组(2)的一个特解故向量(-3，1，1) T 即为所求8.设线性方程组 A 33 =b，即 有唯一解 =1，2，3 T 方程组 B 34 y=b 即 （分数：2.50）解析：k(-3，-1，1，2) T +(-2，1，4，2) T ，其中 k 是任意常数 解析 方程组(1)Ax=b 有唯一解=1，2，3 T ，故 r(A)=r(A|b)=3By=b 有特解 =-2，1，4，2，显然 r(B)=r(B|b)=3，且 1 =(1，2，3，0) T 是方程组 B 34 y=b 的另一个特解 B 是 34 矩阵，故对应齐次方程组 Bx=0 的基础解系只有一个线性无关向量组成，且是 - 1 故(2)的通
12、解为 k(- 1 )+=k(-3，-1，1，2) T +(-2，1，4，2) T9.设 r(A 33 )=2，方程组 Ax=b 有解 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 + 2 =(4，2，3) T ， 2 + 3 =(5，7，-3) T ，则 Ax=b 的通解是 1 （分数：2.50）解析： ，其中 k 是任意常数 解析 A 33 x=b，r(A)=2，方程组通解的形式为 k+则 =( 1 + 2 )-( 2 + 3 )=(-1，-5，6) T 是对应齐次方程组 Ax=0 的基础解系 ，是 Ax=b 的一个特解 故通解为 10.设 A=a ij 是三阶正交矩阵，其中 a 33 =-1，b=(0，
13、0，5) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1 （分数：2.50）解析：(0，0，-5) T 解析 法一 由正交矩阵定义：AA T =A T A=E，知 A 的列向量与行向量都是单位向量，故 故方程组 Ax=b 有解 法二 由法一 ， 由克拉默法则 ， 得解 11.已知齐次线性方程组 有通解，k 1 (2，-1，0，1) T +k 2 (3，2，1，0) T ，则方程组 （分数：2.50）解析：k(17，9，5，1) T ，k 是任意常数 解析 方程组(2)的通解必在方程组(1)的通解之中，是方程组(1)的通解中满足(2) 中第 3 个方程的解，令(1)的通解 12.已知方程组 （分数：2
14、.50）解析：k(-5，3，1) T ，k 为任意常数 解析 所谓方程组()与()的公共解，即这两个方程组解集合的交集，把()与()联立得到方程组()，那么方程组()的解就是()与()的公共解对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有 13.已知非齐次线性方程组()与()同解，其中 （分数：2.50）解析：1 解析 所谓两个方程组()与()同解，即()的解全是()的解，()的解也全是()的解对()求出其通解 (3，2，0) T +k(3，-1，1) T =(3k+3，2-k，k) T 把 x 1 =3+3k，x 2 =2-k，x 3 =k 代入方程组()，有 整理为 因为 k 为任意常数，故 a=
15、1此时方程组()的解全是方程组()的解 且当 a=1 时，方程组()为 14.已知 （分数：2.50）解析：1，7，7 解析 (解法一) 按伴随矩阵定义，由代数余子式 知伴随矩阵 那么 所以 A * 的特征值是 1，7，7 (解法二)由矩阵 A 的特征多项式 由|A|= i ，从而|A|=711=7 因为若 A=，则有 所以 A * 的特征值是 1，7，7 (解法三)因为 15.已知三阶矩阵 A 的特征值是 （分数：2.50）解析：6，3，2 解析 由 知 B=6(A -1 -E) -1 因为 A 的特征值 的特征值 的特征值 1，2，3 (A -1 -E) -1 的特征值 16.设 A 是主
16、对角线元素之和为-5 的三阶矩阵，且满足 A 2 +2A-3E=0，那么矩阵 A 的三个特征值是 1 （分数：2.50）解析：1，-3，-3 解析 设 是矩阵 A 的特征值， 是相对应的特征向量，即 A=，0 那么根据 A n = n ，由 A 2 +2A-3E=0 有( 2 +2-3)=0，又因 0 故 2 +2-3=(+3)(-1)=0 知 取值范围为 1 和-3，再由 i =a ii =-5，知矩阵 A 的特征值是 1，-3，-317.已知 =(a，1，1) T 是矩阵 （分数：2.50）解析：-5 解析 设 是矩阵 A -1 属于特征值 0 的特征向量，按定义有 A -1 = 0 ，于
17、是= 0 A即 即 由(2)知 0 0，(2)-(3)易见 a=-1，那么 18.设 =(1，-1，a) T 是 （分数：2.50）解析：-1 解析 是 A * 的特征向量，设对应的特征值为 0 ，则有 A * = 0 两边左乘 A，得 AA * = 0 A=|A|即 得 19.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维线性无关的列向量，且 A 1 = 1 ，A 2 =- 3 ，A 3 = 2 +2 3 则矩阵 A 的三个特征值是 1 （分数：2.50）解析：1，1，1 解析 由已知条件，有 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故矩阵 P= 1 ， 2 ， 3 可逆记 ， 那么由
18、 AP=PB 得 P -1 AP=B，即 AB 因为 20.已知 是 3 维列向量，T 是 的转置，若矩阵 T 相似于 （分数：2.50）解析：6 解析 设 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ，记 A= T ，有 又 21.已知 A 是三阶方阵，其特征值分别为 1，2，-3，则行列式|A|中主对角线元素的代数余子式之和 A 11 +A 22 +A 33 = 1 （分数：2.50）解析：-7 解析 由伴随矩阵定义 又a ii = i ，故只需求出伴随矩阵 A * 的特征值之和也就是代数余子式 A 11 +A 22 +A 33 之和 由|A|= i =12(-3)故 A * 的特征值 22.
19、设 （分数：2.50）解析： 解析 若 =2 是二重根，则有 2 -2-2(a-2)| =2 =0，得 a=2 若 2 -2-2(a-2)=0 是完全平方，则有(-1) 2 =0，(即 =1 是二重根)则有-2(a-2)=1，得 23.设 A 是三阶实对称矩阵，存在正交阵 Q= 1 ， 2 ， 3 ，使得 Q -1 AQ=Q T AQ= ，则矩阵 （分数：2.50）解析：0，2，3 解析 由题设条件知，有特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，对应的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 ，即有 A i = i i =i i ，i=1，2，3 又 Q 是正交矩阵， 1 ， 2 ， 3 满足条件
20、故 故 24.设 =(1，-1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是 1 （分数：2.50）解析：k(1，1，1) T ，k0 解析 令 B= T ，由于秩 r(B)=1，且 T =a+1 知矩阵 B 的特征值为a+1，0，0那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1 因为 =3 是矩阵 A 的特征值，故 a+2=3，知 a=1 那么 =( T )=( T )=2 =(1，-1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，也就是矩阵 A 属于特征值 = 3 的特征向量25.已知矩阵 A= （分数
21、：2.50）解析：-2 解析 因为 所以矩阵 A 的特征值为 2，3，3因为矩阵 A 的特征值有重根，所以 那么 26.已知 A 是四阶实对称矩阵，秩 r(A)=3，矩阵 A 满足 A 4 -A 3 -A 2 -2A=0 则与 A 相似的对角矩阵是 1 （分数：2.50）解析： 解析 设 A=，0，那么由 A n = n 有 ( 4 - 3 - 2 -2)=0，=0 从而 4 - 3 - 2 -2)=0即 (-2)( 2 +1)=0 再由秩 r(A)=3，可知特征值必为 2，2，2，0A 是实对称矩阵，故 27.已知矩阵 （分数：2.50）解析：2，2，2 解析 根据定理“若 A 有 n 个不
22、同的特征值，则 A 有 n 个线性无关的特征向量”，现因为矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必是三重根，否则 A 至少有两个不同的特征值，那么至少有两个线性无关的特征向量 由于a ii = i ，故 1+3+2=+，即知 1 = 2 = 3 =228.已知 （分数：2.50）解析：4 解析 由题设条件知，A 有特征值 1 =1， 2 = 3 =-1，将 1 =1 代人特征方程，得 29.A 是三阶矩阵， 是三个三维线性无关的列向量，其中 Ax=0 有解 ，Ax= 有解 ，Ax=有解 ，则 A 1 （分数：2.50）解析： 解析 ， 线性无关，都是非零向量，Ax=0 有解
23、，即 A=0=0，故 A 有 1 =0，(对应的特征向量为 )，又 Ax= 有解 ，即 A=，Ax= 有解 ，即 A=，且 A(-)=-从而有 A(+)=+=(+) (A(-)=-=-(-) 故知 A 有 2 =1， 3 =-1，(+，- 均是非零向量，是对应的特征向量)，三阶矩阵 A 有三个不同的特征值，0，1，-1故 30.已知 （分数：2.50）解析：0 解析 因 A，故知存在可逆阵 P，使 P -1 AP=，A=PP -1 代入 B，得 B=(A-E)(A-2E)=(PP -1 -E)(PP -1 -2E)31.设 （分数：2.50）解析： 解析 展开行列式，写出二次型的一般表述式，再
24、写出对应矩阵 ，故 f 的对应矩阵为 32.已知三元二次型 （分数：2.50）解析：2 解析 二次型矩阵 由于二次型的秩为 2，即矩阵 A 的秩为 2那么 显然 a=1 时 r(A)=1，不合题意，故 当 时 因为 所以矩阵 A 的特征值为 33.二次型 （分数：2.50）解析： 解析 二次型矩阵 由于|E-A|=( 2 -1)( 2 -5) 知矩阵 A 的特征值为：1，5，-1，0故二次型正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=1 因此二次型的规范形为 或利用配方法 令 得 f 的规范形为 34.已知二次型 经正交变换 x=Py 可化成标准形 （分数：2.50）解析：1 解析 因为二次型 x T
25、 Ax 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值，所以 1，2，7 是 A 的特征值 又因经过正交变换二次型的矩阵不仅合同而且还相似，因此有 根据相似矩阵的性质，有 35.若二次型 （分数：2.50）解析： 解析 二次型 f 的矩阵为 因为 f 正定 A 的顺序主子式全大于零，即 故 36.设 =(1，0，1) T ，A= T 、，若 B=(kE+A)*是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1 （分数：2.50）解析：k-2 或 k0 解析 由于 37.已知矩阵 与二次型 （分数：2.50）解析：a0 解析 矩阵 A 与 B 合同 x T Ax 与 x T Bx 有相
26、同的正、负惯性指数 由于 可见 p A =1，q A =1因而 38.已知 （分数：2.50）解析： 解析 二次型 x T Ax 经坐标变换(或称可逆线性变换)，x=Cy 得 x T Ax=y T By 就有 A 和 B合同，其中 B=C T AC，那么求矩阵 C 就是求所用坐标变换(由于本题矩阵 A 和 B 不相似，若先用正交变换过渡是可行的，但比较麻烦) 对二次型 用配方法，令 即有 可见经坐标变换 ，就有矩阵 A 和 B 合同，所以 39.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A-6E，保证 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1 （分数：2.50）解析：k2 解
27、析 由题设条件 A 3 =2A 2 +5A-6E，即 A 3 -2A 2 -5A+6E=0 设 A 有特征值 ，则 满足 3 -2 2 -5+6=0 因式分解得 3 -2 2 -5+6=(-1)(+2)(-3)=0 故 A 的特征值的取值范围是 1，-2，3kE+A 的特征值的取值范围是 k+1，k-2，k+3，当 k2 时，kE+A 的特征值均大于零，故 k240.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=-aE+A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1 （分数：2.50）解析：a0 解析 B T =(-aE+A T A) T =-aE+A T A=BB 是对称阵 B 正定
