1、考研数学二-391 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在0，1连续且非负但不恒等于零，记 （分数：4.00）A.I1I2I3B.I3I1I2C.I2I1I3D.I3I2I12.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0(x(a，b)，又 （分数：4.00）A.LMNB.LNMC.MLND.NLM3.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 连续4.设 f(x)是 arcsin(1-x)的原函数且 f(0)=0，则
2、 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在0，+)连续， 又 f(x)是 的解，则 A0. Ba C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设区域 D：x 2 +y 2 1，则 可以化成的累次积分为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以是（分数：4.00）A.1-2，2-3，3-4，4-1B.1+2，2+3，3+4，4+1C.1，2+3，3+4，4D.1+2，2-3，3-4，4+18.设矩阵 （分数：4.00）A.合同，但不相似B.合同，且相似C
3、.相似，但不合同D.既不合同，也不相似二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）10.设周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4，又 （分数：4.00）11.函数 （分数：4.00）12.设有摆线 （分数：4.00）13.设 u=u(x，y)， （分数：4.00）14.三元二次型 x T Ax 经正交变换 x=Qy 化为标准型 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)(1).设 f(x)在0，+)连续且 则 （分数：5.00）_(2).设 f(x)在(a，b)二阶可导且 x(a，b)时 （分数：5.00）_已知函数 y=y(x)由方程
4、 e y +6xy+x 2 -1=0 确定（分数：11.01）(1).求证：y(x)在 x=0 取极值，并判断是极大值还是极小值，又判断曲线 y=y(x)在 x=0 附近的凹凸性；（分数：3.67）_(2).求证：g(y)=e y +6y 在(-，+)有唯一零点，该零点取负值（分数：3.67）_(3).求证：y(x)在 x=1 某邻域是单调下降的（分数：3.67）_已知通过 x 轴上的两点 A(1，0)，B(3，0)的抛物线 y=a(x-1)(x-3)，a 为参数（分数：10.00）(1).求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x 轴与该抛物线所围成的面积；（分数：5.00）_(2).计算
5、上述两个平面图形绕 x 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比（分数：5.00）_15.设曲线 的方程为 (x，y)=0，其中 (x，y)有一阶连续偏导数且在 上任意点处 “ x (x，y)与 “ y (x，y)不同时为零设点 P(x * ，y * )为 外一点， (Q 在 上，坐标为(x 0 ，y 0 )为点 P 到曲线 的最短距离求证： （分数：10.00）_16.计算 （分数：10.00）_17.有一弹性轻绳(即本身的重量可忽略不计)上端固定，下端悬挂一重量为 3 克的物体，且已知此绳受一克重量的外力作用时伸长 （分数：11.00）_设 x(-，+)时 f(x)有连续的导数，且 （分数：1
6、0.00）(1).存在； （分数：5.00）_(2).方程 x=f(x)有唯一根（分数：5.00）_已知齐次方程组 Ax=0 为 （分数：11.01）(1).求矩阵 B；（分数：3.67）_(2).若 Ax=0 与 Bx=0 同解，求 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 的值；（分数：3.67）_(3).求方程组 Ax=0 满足 x 3 =-x 4 的所有解（分数：3.67）_18.已知矩阵 （分数：11.00）_考研数学二-391 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在0，1连续且非负但不恒等于零，记 （分数：4.0
7、0）A.I1I2I3B.I3I1I2 C.I2I1I3D.I3I2I1解析：解析 比较两个连续函数的定积分大小关系时，若积分区间不同，常常是通过变量替换转化为积分区间相同的情形，从而转化为比较被积函数的大小 因此 I 3 I 1 I 2 选 B 2.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0(x(a，b)，又 （分数：4.00）A.LMNB.LNM C.MLND.NLM解析：解析一 由题设知 y=f(x)是a，b上的凹函数，借助于几何直观我们可选择正确答案 L，M，N 分别代表梯形 ABCD，梯形 ABFGE 与曲边梯形 ABCGD 的面积(如图)，G 是点 ，EF
8、是曲线y=f(x)在点 G 处的切线，于是由面积的大小关系可得 LNM故选 B 解析二 y=f(x)是a，b上的凹函数，由凹函数的性质，它的几何意义是：弦 在曲线 y=f(x)(x(a，b)的上方，除 G 点外曲线 y=f(x)(xa，b)在曲线上 G 点的切线 EF 的上方(如上图)用式子表示即 将上述不等式各项求积分得 其中 3.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 不连续 D.可导且 f“(x)在 x=0 连续解析：解析 先考察 其中 在 x=0 空心邻域有界， 再求 其中 当 1 时， 当 2 时， 时 即 f“(x)在 x=0 不连续 因此
9、，选 C 由上述讨论易知： 1.当 2 时， 4.设 f(x)是 arcsin(1-x)的原函数且 f(0)=0，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 已知 f“(x)=arcsin(1-x)，求 我们不必先求出 f(x)，而是把求 I 转化为求与 f“(x)相关的积分，就要用分部积分法或把 再积分 方法一 用分部积分法可得 也可用分解法求出 选 D 方法二 由于 且 f(0)=0，于是 代入得 其中 D=(x，y)|0x1，0yz =(x，y)|0y1，yx1 现交换积分次序得 5.设 f(x)在0，+)连续， 又 f(x)是 的解，则 A0. Ba C D （
10、分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 先求解方程 两边同乘 得 (e x2 y)“=e x2 f(x) 积分得通解 于是 6.设区域 D：x 2 +y 2 1，则 可以化成的累次积分为 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为区域 D：x 2 +y 2 1 关于 x 轴，y 轴均对称，函数 f(x 2 +y 2 )关于 y，x 都是偶函数，所以 其中 D 1 ：x 2 +y 2 1，x0，y0.作极坐标变换并化为累次积分得 选 C 若先 y 后 x 化为累次积分是 7.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础
11、解系还可以是（分数：4.00）A.1-2，2-3，3-4，4-1B.1+2，2+3，3+4，4+1C.1，2+3，3+4，4 D.1+2，2-3，3-4，4+1解析：解析 由题意 Ax=0 的基础解系是由 4 个线性无关的解向量所构成 根据齐次方程组解的性质，所给出的 4 组向量都是 Ax=0 的解，因而本题是要判断哪一组线性无关 用观察法，知 ( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0 故 A 线性相关 或由 而 8.设矩阵 （分数：4.00）A.合同，但不相似 B.合同，且相似C.相似，但不合同D.既不合同，也不相似解析：解析 两个实对称矩阵相似 特
12、征值相同， 两个实对称矩阵合同 正、负惯性指数分别相等 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）解析：1 解析一 由积分中值定理知， (n，n+1)使得 解析二 x1 时估计 利用适当放大缩小法求该极限 现考察 的单调性 因为 因此当 单调下降 当 xn，n+1时， ，于是 又 因此 10.设周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4，又 （分数：4.00）解析：-2 解析 由 f(x)在(-，+)内可导，且 f(x)=f(x+4)，两边对 x 求导，则 f“(x)=f“(x+4)，故f“(5)=f“(1) 又因为 11.函数 （分数：4.00）解析：1
13、，+) 解析 y(x)在(1，+)连续，求 f(x)的值域区间，归结为分析 y(x)的单调性并求 为 y(x)在(1，+)上的最小值又 12.设有摆线 （分数：4.00）解析： 解析 按曲线由参数方程给出时，旋转面的面积公式： 该题有如下变式： ()摆线 L 的弧长 l= -|_|- 解：按由参数方程给出的曲线的弧长计算公式 ()摆线 L 的形心 = -|_|- 解：L 关于 y 轴对称 只须求 按曲线的形心公式有 因此，形心 13.设 u=u(x，y)， （分数：4.00）解析：解析 14.三元二次型 x T Ax 经正交变换 x=Qy 化为标准型 （分数：4.00）解析： 解析 求正交变换
14、 Q 就是求矩阵 A 的特征向量，而二次型矩阵 A 是实对称矩阵，实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故可设矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量是 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 于是 T X=x 1 +x 2 -2x 3 =0 解出 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(2，0，1) T 由于 Q 是正交矩阵，现在 2 ， 3 不正交，故需 Schmidt 正交化 令 1 = 2 =(-1，1，0) T ，则有 再单位化，得 所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)(1).设 f(x)在0，+)连续且 则 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 实质上 x0 时
15、 f(x)可导，考察 由题设 (2).设 f(x)在(a，b)二阶可导且 x(a，b)时 （分数：5.00）_正确答案：()解析：y=lnf(x)(x(a，b)，先求 再求 已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0 确定（分数：11.01）(1).求证：y(x)在 x=0 取极值，并判断是极大值还是极小值，又判断曲线 y=y(x)在 x=0 附近的凹凸性；（分数：3.67）_正确答案：()解析：证明 在方程中令 (2).求证：g(y)=e y +6y 在(-，+)有唯一零点，该零点取负值（分数：3.67）_正确答案：()解析：证明 考察 则 g“(y)=e y +60，
16、g(y)在(-，+)单调上升，又 g(0)-10， (3).求证：y(x)在 x=1 某邻域是单调下降的（分数：3.67）_正确答案：()解析：证明 在原方程中令 x=1 得 e y(1) +6y(1)=0，由()的结论，于是 y(1)=y 1 0. 由式 由 已知通过 x 轴上的两点 A(1，0)，B(3，0)的抛物线 y=a(x-1)(x-3)，a 为参数（分数：10.00）(1).求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x 轴与该抛物线所围成的面积；（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 过 A(1，0)，B(3，0)两点的抛物线方程为 y=a(x-1)(x-3)，则两坐标轴与该
17、抛物线所围成的面积为： x 轴与该抛物线所围成的面积为 (2).计算上述两个平面图形绕 x 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 两坐标轴与该抛物线所围成的图形绕 x 轴旋转一周所产生的旋转体体积为 x 轴与该抛物线所围成的图形绕 x 轴旋转一周所产生的旋转体体积为 所以 15.设曲线 的方程为 (x，y)=0，其中 (x，y)有一阶连续偏导数且在 上任意点处 “ x (x，y)与 “ y (x，y)不同时为零设点 P(x * ，y * )为 外一点， (Q 在 上，坐标为(x 0 ，y 0 )为点 P 到曲线 的最短距离求证： （分数：10.00）_
18、正确答案：()解析：证明 上任意点 M(x，y)与 P(x * ，y * )的距离平方为 按题设，Q(x 0 ，y 0 )为 f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的最小值点用拉格朗日乘数法，引入函数 L(x，y，)=f(x，y)+(x，y) 则 Q(x 0 ，y 0 )应满足 由此要证 的斜率等于 在 Q 点的法线的斜率 由式 由隐函数求导法知， 在 Q(x 0 ，y 0 )处切线的斜率是 在 Q 点的法线斜率是 而 的斜率是 因此式表示， 16.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一 由被积函数和区域 D 可看出，本题宜采用极坐标 的极坐标方程分别为 r=2 和 r=2co
19、sD 的极坐标表示： 于是 解法二 D 看成区域 D“ 1 与 D“ 2 的差集，D“ 1 是由直线段 圆弧 及 x 轴围成的区域，D“ 2 是圆弧 及 x 轴围成的半圆域它们的极坐标表示是 于是 解析 这是 x 2 +y 2 在某区域 D 上的二重积分 的累次积分直接计算累次积分不方便，求I 即确定 D，然后求出这个二重积分 从题设的累次积分知， 如图所示 上述计算中用到了公式 计算 的另一方法是化二倍角和四倍角后直接积分： 17.有一弹性轻绳(即本身的重量可忽略不计)上端固定，下端悬挂一重量为 3 克的物体，且已知此绳受一克重量的外力作用时伸长 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解
20、 取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移 s 向下为正 (1)受力分析 弹性恢复力 f=ks，由条件知， g 为重力加速度 重力 mg=3g (2)列方程与初始条件 由牛顿第二定律得 初始条件： (3)转化按题意，我们需求物体速度 与 s 的关系 于是方程改写为 初条件为 (4)求解初值问题 分离变量得 vdv=(g-8gs)ds 积分得 由 (5)结论当物体开始向下运动到它开始向上运动时，此时速度 v=0，故有 0=gs-4gs 2 因此 设 x(-，+)时 f(x)有连续的导数，且 （分数：10.00）(1).存在； （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 为证 只须证x
21、 n 单调有界 若 x 2 =x 1 ，则 f(x 2 )=f(x 1 )，即 x 3 =x 2 ，依此类推可得 x n =x 1 (n=1，2，) 下设 x 2 x 1 先证 x n 单调由 f“(x)0(x(-，+) f(x)在 于是 由 x n+1 -x n =f(x n )-f(x n-1 ) 与 x n -x n-1 同号，由此可归纳证明x n 单调(若 x 2 x 1 ，则 x n 单调上升；若 x 2 x 1 ，则 x n 单调下降) 再证x n 有界，易知 其中 M0 为某常数，因此|x n |=|f(x n-1 )|M 因x n 单调有界，所以 (2).方程 x=f(x)有唯
22、一根（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 记 对 x n+1 =f(x n )，两边令 n取极限，由 f(x)的连续性得 a=f(a)，即 a 是f(x)=x 的一个根，也是 F(x)=x-f(x)的一个零点 由 已知齐次方程组 Ax=0 为 （分数：11.01）(1).求矩阵 B；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由 B( 1 ， 2 )=0 有( 1 ， 2 ) T B T =0 那么矩阵 B T 的列向量(亦即矩阵 B 的行向量)是齐次方程组( 1 ， 2 ) T x=0 的解对系数矩阵( 1 ， 2 ) T 作初等行变换，有 得到基础解系：(1，2，1，0) T ，(
23、-1，-1，0，1) T 故矩阵 (2).若 Ax=0 与 Bx=0 同解，求 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由于两个方程组同解，那么 1 ， 2 必是齐次方程组 Ax=0 的基础解系 得 即 (3).求方程组 Ax=0 满足 x 3 =-x 4 的所有解（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由于 Ax=0 的通解是 k 1 1 +k 2 2 =(k 1 ，-2k 1 +k 2 ，3k 1 -2k 2 ，-k 1 +k 2 ) T 因为 x 3 =-x 4 即 3k 1 -2k 2 =k 1 -k 2 即 k 2 -2k 1 所以
24、 Ax=0 满足条件 x 3 =-x 4 的所有解为(k，0，-k，k) T ，k 为任意常数 解析 矩阵 B 的行向量是齐次方程组的解，因此矩阵 B 的答案不唯一18.已知矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 如果矩阵 A 有 3 个不同的特征值，那么 A 必有 3 个线性无关的特征向量现在矩阵 A 只有 2个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必有重根由于 矩阵 A 的特征值是 1 =1-a， 2 =a， 3 =a+1. 因为特征值必有重根，有 如果 矩阵 A 的特征值为 由 得 的特征向量 k 1 (1，0，1) T ，k 1 0. 由 得 的特征向量 k 2 (3，-4，5) T ，k 2 0. 如果 a=0，矩阵 A 的特征值为 1，1，0. 由 得 =1 的特征向量 l 1 (1，0，1) T ，l 1 0. 由
