1、考研数学二-404 (1)及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：24.00)1.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：3.00）2.设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0 ，则(A*) 2 +3A*+2E 有特征值 1 （分数：3.00）3.设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值 1，对应的特征向量为 2 （分数：3.00）4.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：3.00）5.设 AB，其中 （分数：3.00）6.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关
2、的特征向量为 （分数：3.00）7.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1。 （分数：3.00）8.设 是矩阵 （分数：3.00）二、选择题(总题数：8，分数：24.00)9.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是_（分数：3.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.rAn，rBn 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 rA=rBD.AB 的充分必要条件是 E-AE-B10.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为_ A B （分数：3.00）A.B.C.D.11.设
3、三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是_（分数：3.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值-1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量12.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =-2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是_（分数：3.00）A.1+3B.33-1C.1+22+33D.21-3213.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是_ A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数
4、 C.存在可逆矩阵 P，使 PAP-1为对角阵 D.存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵（分数：3.00）A.B.C.D.14.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则_（分数：3.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量D.A 一定为 n 阶实对称矩阵15.， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为_（分数：3.00）A.1B.2C.3D.416.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是_ A.CTAC B.A-1+B-1 C.A*+B* D.A-B（分数：3.00）A.B.C.D
5、.三、解答题(总题数：10，分数：52.00)17.求矩阵 （分数：3.50）_设 （分数：7.00）(1).求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量（分数：3.50）_(2).A 可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵（分数：3.50）_18.设 （分数：3.50）_19.设 （分数：3.50）_20.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1 （分数：3.50）_设 0 为 A 的特征值（分数：9.99）(1).证明：A T 与 A 特征值相等（分数：3.33）_(2).求 A2 ，A 2 +2A+3E 的特征值；（分数：3.33）_(3).
6、若|A|0，求 A -1 ，A*，E-A -1 的特征值（分数：3.33）_21.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量。 （分数：3.50）_22. （分数：3.50）_设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：7.00）(1).求方程组 AX=0 的通解（分数：3.50）_(2).求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：3.50）_23.设 （分数：7.00）_考研数学二-404 (1)答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题
7、数：8，分数：24.00)1.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：3.00）解析：10解析 ，A*的特征值为2.设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0 ，则(A*) 2 +3A*+2E 有特征值 1 （分数：3.00）解析： 解析 因为 A 可逆，所以 0 0，A*对应的特征值为 ，于是(A*) 2 +3A*+2E 对应的特征值为 3.设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值 1，对应的特征向量为 2 （分数：3.00）解析：4 解析 因为 A 的各行元素之和为 4，所以 ，于是 A 有特征值 4，对应的特征向量为4.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数
8、：3.00）解析：3解析 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有 6+3a+3-6a=0，a=35.设 AB，其中 （分数：3.00）解析：3 1解析 因为 AB，所以 即6.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 （分数：3.00）解析： 解析 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 = 3 =5 对应的特征向量为 ，由 得 2 = 3 =5 对应的线性无关的特征向量为 7.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1。 （分数：3.00）解析：0 3 解析 因为 A 2
9、 =3A，令 AX=X，因为 A 2 X= 2 X，所以有( 2 -3)X=0，而 X0，故A 的特征值为 0 或者 3，因为 1 + 2 + 3 =trA=(，)，所以 1 =3， 2 = 3 =08.设 是矩阵 （分数：3.00）解析：2 3解析 由 A= 得 ，即二、选择题(总题数：8，分数：24.00)9.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是_（分数：3.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.rAn，rBn 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 rA=rBD.AB 的充分必要条件是 E-AE-B 解析：解析 若 AB，
10、则存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，于是 P -1 (E-A)P=E-P -1 AP=E-B，即E-AE-B； 反之，若 E-AE-B，即存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (E-A)P=E-B，整理得 E-P -1 AP=E-B，即P -1 AP=B，即 AB，应选 D10.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为_ A B （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A*AX=A*X，从而有11.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是_（分数：3.00）A.矩
11、阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值-1，1 对应的特征向量正交 D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量解析：解析 由 1 =-1， 2 =0， 3 =1 得|A|=0，则 rA3，即 A 不可逆，A 正确；又 1 + 2 + 3 =trA=0，所以 B 正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 rA=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，D 是正确的；C 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选 C12.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为
12、 1 ， 2 ，又 =-2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是_（分数：3.00）A.1+3B.33-1C.1+22+33D.21-32 解析：解析 因为 AX=0 有非零解，所以 rAn，故 0 为矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若 1 + 3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A( 1 + 3 )= 0 ( 1 + 3 )，注意到 A( 1 + 3 )=0 1 -2 3 =-2 3 ，故-2 3 = 0 ( 1 + 3 )或 0 1 +( 0 +2) 3 =0， 因为
13、1 ， 3 线性无关，所以有 0 =0， 0 +2=0，矛盾，故 1 + 3 不是特征向量，同理可证 3 3 - 1 及 1 +2 2 +3 3 也不是特征向量，显然 2 1 -3 2 为特征值 0 对应的特征向量，选 D13.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是_ A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数 C.存在可逆矩阵 P，使 PAP-1为对角阵 D.存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 根据实对称矩阵的性质，显然 B、C、D 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选
14、 A14.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则_（分数：3.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量 D.A 一定为 n 阶实对称矩阵解析：解析 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选 C15.， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为_（分数：3.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 因为 ， 为
15、非零向量，所以 A= T O，则 rA1， 又因为 rA=r( T )r()=1，所以 rA=1 令 AX=X，由 A 2 X= T T X=O= 2 X 得 =0， 因为 r(0E-A)=rA=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选 C16.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是_ A.CTAC B.A-1+B-1 C.A*+B* D.A-B（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A -1 ，B -1 及 A*，B*都是正定的，对任意 X0，X T (C T AC)X=(CX) T A(
16、CX)0(因为 C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 C T AC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A -1 +B -1 与 A*+B*都是正定矩阵，选 D三、解答题(总题数：10，分数：52.00)17.求矩阵 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由|E-A|=(-1) 2 (-4)=0 得 1 = 2 =1， 3 =4 当 =1 时，由(E-A)X=0 得属于特征值 =1 的线性无关的特征向量为 ，全部特征向量为 k 1 1 +k 2 2 (k 1 ，k 2 不同时为 0)； 当 =4 时，由(4E-A)X=0 得属于特征值 =4 的线性无关的特征向量为 设 （分数：7.00）
17、(1).求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 A= 得 ，即 ，解得 a=1，b=1，=3 由 (2).A 可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化 将 1 =0 代入(E-A)X=0 得 1 =0 对应的线性无关特征向量为 将 2 =2 代入(E-A)X=0 得 2 =2 对应的线性无关特征向量为 将 3 =3 代入(E-A)X=0 得 3 =3 对应的线性无关特征向量为 令 ，则 18.设 （分数：3.50）_正确
18、答案：()解析：解 由 19.设 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由 得 1 =7， 2 = 3 =1，A*对应的特征值为 20.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证明 设 AX=X，则 X T A T =X T ，从而有 X T A T AX=X T AX= 2 X T X，因为 A T A=E，所以( 2 -1)X T X=0，而 X T X=|X| 2 0，所以 2 =1，于是|=1设 0 为 A 的特征值（分数：9.99）(1).证明：A T 与 A 特征值相等（分数：3.33）_正确答案：()解析：证明 因为|
19、E-A T |=|(E-A) T |=|E-A|，所以 A T 与 A 的特征值相等(2).求 A2 ，A 2 +2A+3E 的特征值；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 因为 A= 0 (0)， 所以 于是 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值分别为 (3).若|A|0，求 A -1 ，A*，E-A -1 的特征值（分数：3.33）_正确答案：()解析：解 因为|A|+ 1 2 n 0，所以 0 0，由 A= 0 得 由 A*A=|A| 得 ，又 于是 A -1 ，A*，E-A -1 的特征值分别为 及 21.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征
20、向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量。 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证明 反证法 不妨设 X1+X2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有 A(X 1 +X 2 )=(X 1 +X 2 )， 因为 AX 1 = 1 X 1 ，AX 2 = 2 X 2 ，所以( 1 -)X 1 +( 2 -)X 2 =0， 而 X 1 ，X 2 线性无关，于是 1 = 2 =，矛盾，故 X 1 +X 2 不是 A 的特征向量22. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 T =k，则 A 2 =kA， 设 AX=X，则 A 2 X= 2 X=kX，即 (-k)X=0， 因为 X
21、0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1 + n =trA 且 trA=k 得 1 = n-1 =0， n =k 因为 rA=1，所以方程组(0E-A)X=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的解向量，即 =0 有，n-1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：7.00）(1).求方程组 AX=0 的通解（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 rA=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 (2).求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：3.50）_正确答案：()解析：因为 A 2 =kA，其中是 23.设 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由 得|6E-A n |=6 2 (6-2 n ) 方法二 A= T ，由|E-A|= 2 (-2)=0 得 1 = 2 =0， 3 =2， 因为 6E-A n 的特征值为 6，6，6-2 n ，所以|6E-A n |=6 2 (6-2 n ) 方法三 因为 A 是实对称矩阵且 1 = 2 =0， 3 =2，所以存在可逆阵 P，使得 则
