1、考研数学二-438 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：33，分数：100.00)1.计算定积分 （分数：2.00）_2.计算定积分 （分数：2.00）_3.计算定积分 （分数：2.00）_4.计算积分 （分数：2.00）_5.计算定积分 （分数：2.00）_6.计算积分 （分数：3.00）_7.计算积分 （分数：3.00）_8.计算积分 （分数：3.00）_9.计算积分 （分数：3.00）_10.证明： 并用此式计算 （分数：3.00）_11.设 （分数：3.00）_12.设 （分数：3.00）_13.设 f“(x)=arcsin(x-1) 2 且 f(
2、0)=0，求 （分数：3.00）_14.设 f(u)是连续函数，证明： 并求 （分数：3.00）_15.设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，|f(x)-f(y)|arctanx-arctany|，又 f(1)=0，证明： （分数：3.00）_16.证明： （分数：3.00）_17.证明： （分数：3.00）_18.设 f(x)，g(x)为a，b上连续的增函数(0ab)，证明： （分数：3.00）_19.设 f(x)在0，1上可导，且|f“(x)|M，证明： （分数：3.00）_20.设函数 f(x)在0，2上连续可微，f“(x)0，证明：对任意正整数 n，有 （分数：3.00）_
3、21.设 f(x)在(-，+)上是导数连续的有界函数，|f(x)-f“(x)|1，证明：|f(x)|1. （分数：3.00）_22.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，证明： （分数：3.00）_23.已知 f(x)在0，2上二阶连续可微，f(1)=0，证明： 其中 （分数：3.00）_24.计算曲线 （分数：3.00）_25.设 D=(x，y)|0x1，0y1，直线 l：x+y=t(t0)，S(t)为正方形区域 D 位于 l 左下方的面积，求 （分数：3.00）_26.求曲线 y=2e -x (x0)与 X 轴所围成的图形的面积 （分数：3.00）_27.设 f(x)是(-，+
4、)上的连续非负函数，且 （分数：3.00）_28.设抛物线 y=ax 2 +bx+c(a0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线 y=ax 2 +bx+c 与抛物线 y=-x 2 +2x 所围图形的面积最小，求 a，b，c 的值 （分数：3.00）_29.设 由 x=0，L 及 y=sint 围成面积 S 1 (t)；由 y=sint，L 及 围成面积 S 2 (t)，其中 （分数：6.00）_30.设 （分数：3.00）_31.求曲线 y=xe -x (x0)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积 （分数：3.00）_32.设由 y 轴、y=x 2 (x0)及 y=
5、a(0a1)所围成的平面图形及由 y=a，y=x 2 及 x=1 所围成的平面图形都绕 x 轴旋转，所得旋转体的体积相等，求 a （分数：3.00）_设曲线 与曲线 （分数：6.00）(1).常数 a 及切点坐标；（分数：3.00）_(2).两曲线与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积（分数：3.00）_考研数学二-438 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：33，分数：100.00)1.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 2.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 3.计算定积分 （分数：2.00）_正
6、确答案：()解析：解 4.计算积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 5.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 6.计算积分 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 故 7.计算积分 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 8.计算积分 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 9.计算积分 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 10.证明： 并用此式计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 11.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 12.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 13.设 f“(x)=arcs
7、in(x-1) 2 且 f(0)=0，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 f(0)=0 得 则 14.设 f(u)是连续函数，证明： 并求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 15.设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，|f(x)-f(y)|arctanx-arctany|，又 f(1)=0，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 得 16.证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 则 17.证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 18.设 f(x)，g(x)为a，b上连续的增函数(0ab)，证明： （分数：3.
8、00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x，y)=f(x)-f(y)g(x)-g(y)，D=(x，y)|axb，ayb， 因为 f(x)，g(x)在a，b上为增函数，所以 F(x，y)0，从而 而 故 19.设 f(x)在0，1上可导，且|f“(x)|M，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 得 同理 故 20.设函数 f(x)在0，2上连续可微，f“(x)0，证明：对任意正整数 n，有 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f“(x)0，所以 f(0)f(2)，从而 f(2)-f(0)0. 由 21.设 f(x)在(-，+)上是导数连续的有界函数，|f(x
9、)-f“(x)|1，证明：|f(x)|1. （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)有界，所以 于是 即 两边取绝对值得 22.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调递减，从而 “(x)0(axb) 由 得 (x)0(axb)， 于是 (b)0，故 23.已知 f(x)在0，2上二阶连续可微，f(1)=0，证明： 其中 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由泰勒公式得 其中 位于 1 与 x 之间， 积分得 则 24.计算曲线 （分数：3.00）_正确答案
10、：()解析：解 25.设 D=(x，y)|0x1，0y1，直线 l：x+y=t(t0)，S(t)为正方形区域 D 位于 l 左下方的面积，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 则 26.求曲线 y=2e -x (x0)与 X 轴所围成的图形的面积 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 所围成的面积为27.设 f(x)是(-，+)上的连续非负函数，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 取 x=，则 从而 在0，上的平均值为 28.设抛物线 y=ax 2 +bx+c(a0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线 y=ax 2 +bx+c 与抛物线 y
11、=-x 2 +2x 所围图形的面积最小，求 a，b，c 的值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)及(1，2)得 则 y=ax 2 +(2-a)x 令 ax 2 +(2-a)x=-x 2 +2x 得 x=0 及 所围成的图形面积为 令 29.设 由 x=0，L 及 y=sint 围成面积 S 1 (t)；由 y=sint，L 及 围成面积 S 2 (t)，其中 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 (1)当 时，S(t)最小，且最小面积为 30.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当-1x0 时， 当 x0 时， 即 由
12、 故所求的面积为 31.求曲线 y=xe -x (x0)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 32.设由 y 轴、y=x 2 (x0)及 y=a(0a1)所围成的平面图形及由 y=a，y=x 2 及 x=1 所围成的平面图形都绕 x 轴旋转，所得旋转体的体积相等，求 a （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 设曲线 与曲线 （分数：6.00）(1).常数 a 及切点坐标；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 (2).两曲线与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 所求体积为 V=V 1 +V 2 ， 其中 故
