1、考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 6 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()可导，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 f()，则B.若 f()，则C.若 f()0，则D.若 f()0，则3.若曲线 y 2 ab 与曲线 2y1y 2 在(1，1)处相切，则( )（分数：2.00）A.a3，b1B.a1，b3C.a1，b1D.a1，b14.设 f()满足 f()f 2 ()2，且 f(0)0，则( )（分数：2.00）A.
2、0 为 f()的极大值点B.0 为 f()的极小值点C.(0，f(0)为曲线 yf()的拐点D.0 既非 f()的极值点，(0，f(0)也非 yf()的拐点5.若函数 f()f()()，在(，0)内 f()0 且 f()0，则在(0，)内有( )（分数：2.00）A.f()0，f()0B.f()0，f()0C.f()0，f()0D.f()0，f()06.设 f()二阶可导，且 f()0，f()0，又yf()f()，则当0 时有( )（分数：2.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy0二、填空题(总题数：2，分数：4.00)7.函数 y2 的极小值点为 1（分数：2.00）填空项
3、1:_8.函数 y2cos 在0， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设 0 t ds，y 0 t sin(ts) 2 ds，求 （分数：2.00）_11.求 （分数：2.00）_12.设 yy()由 确定，求 （分数：2.00）_13.设 f() ，其中 g() 0 cos (1sin 2 t)dt，求 f( （分数：2.00）_14.设 ye sin，求 y (n) （分数：2.00）_15.设 y （分数：2.00）_16.设 y （分数：2.00）_17.f() 4 l
4、n(1)，当 n4 时，求 f (n) (0)（分数：2.00）_18.设 y 2 ln(12)，求 y (5) （分数：2.00）_19.设 f() （分数：2.00）_20.设 f()在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)f(1)f(2)3，f(3)1，证明：存在(0，3)，使得 f()0（分数：2.00）_21.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)且 f(a)0，证明：存在 (a，b)，使得 f()（分数：2.00）_22.设 f()在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f()f()cot（分数：2.00）_23.设 f()在a，a
5、上连续，在(a，a)内可导，且 f(a)f(a)(a0)，证明：存在 (a，a)，使得 f()2f()（分数：2.00）_24.设函数 f()在0，1上可微，且满足 f(1) 0 f()d(01)，证明：存在(0，1)，使得 f() （分数：2.00）_25.设 f()在0，1上有二阶导数，且 f(1)f(0)f(1)f(0)0，证明：存在 (0，1)，使f()f()（分数：2.00）_26.设 f()在a，b上连续可导，f()在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0， a b f()d0，证明：(1)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ()
6、，使得 f()f()（分数：2.00）_27.设奇函数 f()在1，1上二阶可导，且 f(1)1，证明： (1)存在 (0，1)，使得 f()1； (2)存在 (1，1)，使得 f()f()1（分数：2.00）_28.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_29.设 f()在0， 上二阶连续可导，且 f(0)0，证明：存在 ，(0， )，使得（分数：2.00）_30.若函数 f()在0，1上二阶可微，且 f(0)f(1)，f()1，证明：f() （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 6 答案解析(总分：60.00
7、，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()可导，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 f()，则B.若 f()，则 C.若 f()0，则D.若 f()0，则解析：3.若曲线 y 2 ab 与曲线 2y1y 2 在(1，1)处相切，则( )（分数：2.00）A.a3，b1B.a1，b3C.a1，b1 D.a1，b1解析：解析：由 y 2 ab 得 y2a； 2y1y 3 两边对 求导得 2yy 3 3y 2 y，解得 y 因为两曲线在(1，1)处相切，所以 4
8、.设 f()满足 f()f 2 ()2，且 f(0)0，则( )（分数：2.00）A.0 为 f()的极大值点B.0 为 f()的极小值点C.(0，f(0)为曲线 yf()的拐点 D.0 既非 f()的极值点，(0，f(0)也非 yf()的拐点解析：解析：取 0 得 f(0)0 由 f()f 2 ()2 得 f()2f()f()2，从而 f(0)2 因为 f(0) 20，所以存在 0，当 0 时， 0， 从而 5.若函数 f()f()()，在(，0)内 f()0 且 f()0，则在(0，)内有( )（分数：2.00）A.f()0，f()0B.f()0，f()0C.f()0，f()0 D.f()
9、0，f()0解析：解析：因为 f()为偶函数，所以 f()为奇函数，f()为偶函数， 从而在(0，)内有f()0，f()0，应选 C6.设 f()二阶可导，且 f()0，f()0，又yf()f()，则当0 时有( )（分数：2.00）A.ydy0 B.ydy0C.dyy0D.dyy0解析：解析：yf()f()f(c)(c)， 由 f()0，f()0得 f(c)f()0，即ydy0，应选 A二、填空题(总题数：2，分数：4.00)7.函数 y2 的极小值点为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 y2 2 ln22 (1ln2)0 得 ， 当 时，y0；当
10、 时，y0， 故 8.函数 y2cos 在0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 y12sin0 得 ， y2cos，因为 0，所以 为 y2cos 的极大值点，也是最大值点，故最大值为三、解答题(总题数：22，分数：44.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设 0 t ds，y 0 t sin(ts) 2 ds，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 r1cos 的参数方程为 对应的曲线上的点为 )解析：12.设 yy()由
11、确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 f() ，其中 g() 0 cos (1sin 2 t)dt，求 f( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 ye sin，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ye sine cos ， 由归纳法得 )解析：15.设 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y 由 A(21)B(1)33 得 解得 A2，B1，)解析：16.设 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y 由 A(1)B(1) 得 )解析：17.f() 4 ln(1)，当 n4 时，求 f (
12、n) (0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 y 2 ln(12)，求 y (5) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y (5) C 5 0 2 ln(12) (5) C 5 1 2ln(12) (4) C 5 2 ln(12) (3) ， 由ln(12) 得 )解析：19.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(2)f(0) 1， 当 (0，1)时，f()， 当 1时，f() ， 即 f() 当 01 时，由 f(2)f(0)2f()得12，解得 当 12 时，由 F(2)f(0)2f()得1 ，解得 )解析：20.设 f()在0，3上连
13、续，在(0，3)内可导，且 f(0)f(1)f(2)3，f(3)1，证明：存在(0，3)，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在0，3上连续，所以 f()在0，3上取到最小值 m 和最大值 M 3mf(0)f(1)f(2)3M，即 m1M， 由介值定理，存在 c0，3，使得 f(c)1 因为 f(c)f(3)1，所以由罗尔定理，存在 (c，3) )解析：21.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)且 f(a)0，证明：存在 (a，b)，使得 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()(b) a f()， 因为 (a)(b)0，所以存在
14、 (a，b)，使得 ()0， 而 ()a(b) a1 f()(b) a f()， 故 f() )解析：22.设 f()在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f()f()cot（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()f()sin，(0)()0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得 ()0， 而 ()f()sinf()cos， 于是 f()sinf()cos0，故 f()f()cot)解析：23.设 f()在a，a上连续，在(a，a)内可导，且 f(a)f(a)(a0)，证明：存在 (a，a)，使得 f()2f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令
15、() f()， 由 f(a)f()得 (a)(a)， 由罗尔定理，存在 (a，a)，使得 ()0， 而 () f()2f()且 )解析：24.设函数 f()在0，1上可微，且满足 f(1) 0 f()d(01)，证明：存在(0，1)，使得 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()f()， 由积分中值定理得 f(1) .cf(c).cf(c)，其中c0， 从而 (c)(1)，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()0 而 ()f()f()，故 f() )解析：25.设 f()在0，1上有二阶导数，且 f(1)f(0)f(1)f(0)0，证明：存在 (0，1)，使
16、f()f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()e f()F()， (0)0(1)0，由罗尔定理，存在(0，1)，使得 ()0， 而 ()e f()f()且 e 0，故 f()f()解析：26.设 f()在a，b上连续可导，f()在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0， a b f()d0，证明：(1)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ()，使得 f()f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F() a f(t)dt，F(a)F(b)0， 由罗尔定理，存在 c(a，b)，使得 F(c)0，即 f(c)0 令
17、 h()e f()，h(a)h(c)0， 由罗尔定理，存在 (a，c)，使得 h()0， 由 h()e f()f()且 e 0，故 f()f() (2)同理，由 h(c)h(b)0，则存在 (c，b)，使得 f()f() 令 ()e f()f()，()()0， 由罗尔定理，存在 (，) )解析：27.设奇函数 f()在1，1上二阶可导，且 f(1)1，证明： (1)存在 (0，1)，使得 f()1； (2)存在 (1，1)，使得 f()f()1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 h()f()， 因为 f()在1，1上为奇函数，所以 f(0)0， 从而 h(0)0，h(1)0，
18、由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 h()0， 而 h()f()1，故 (0，1)，使得 f()1 (2)令 ()e f()1， 因为 f()为奇函数，所以 f()为偶函数，由 f()1 得 f()1 因为 ()()，所以存在(，) )解析：28.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F()arctan，F() 0，由柯西中值定理，存在 (0，1)，使得 即 )解析：29.设 f()在0， 上二阶连续可导，且 f(0)0，证明：存在 ，(0， )，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F()cos2，F()2sin20(0 )， 由柯西中值定理，存在 (0， )，使得 由拉格朗日中值定理，存在 (0， )，使得 再由拉格朗日中值定理，存在 (0， )，使得 f()f()f(0)f()， )解析：30.若函数 f()在0，1上二阶可微，且 f(0)f(1)，f()1，证明：f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(0)f()f()(0) (0) 2 ，其中 介于0 与 之间； f(1)f()f()(1) (1) 2 ，其中 介于 1 与 之间， 两式相减得 f() (1) 2 ， 从而f() )解析：
