1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 13 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.必取极大值B.必取极小值C.不可能取极值D.是否取极值不能确定3.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.不可导B.可导，且 f(0)0C.取极大值D.取极小值4.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内具有一阶
2、连续导数，且 （分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极小值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.(x 0 ,f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点5.设 y=f(x)是满足微分方程 y”一 y一 e sinx =0 的解，且 f(x 0 )=0，则 f(x)在( )（分数：2.00）A.x 0 的某个邻域内单调增加B.x 0 的某个邻域内单调减少C.x 0 处取得极小值D.x 0 处取得极大值6.设函数 f(x)具有连续的二阶导数，且点(0，f(0)是函数 y=f(x)对应曲线的拐
3、点，则 （分数：2.00）A.0B.2C.f(0)D.2f(0)7.已知函数 f(x)二阶可导，曲线 y=f”(x)的图形如图 23 所示，则曲线 y=f(x)( ) （分数：2.00）A.在(一，0)内是凹的，在(0，+)内是凸的，有一个拐点B.在(一 1，0)，(1，2)内是凹的，在其他区间是凸的，有三个拐点C.在(一 1，0)，(0，1)，(2，+)内是凸的，在其他区间是凹的，有三个拐点D.在(一 1，0)，(1，2)内是凹的，在其他区间是凸的，有四个拐点8.设函数 f(x)满足关系式 f”(x)+f(x) 2 =x，且 f(x)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的
4、极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点9.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.310.设 f(x)=ln |(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)|，则方程 f(x)=0 的根的个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3二、解答题(总题数：22，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 y=y(x)是由方程 2y 3 一 2y 2 +2xyx 2 =1 所确定的函数，求 y=y(x)的极值
5、（分数：2.00）_13.设 y=f(x)有二阶连续导数，且满足 xy“+3xy “2 =1-e -x (1)若 f(x)在 x=c(c0)处取得极值，证明f(c)是极小值 (2)若 f(x)在 x=0 处取得极值，问 f(0)是极小值还是极大值? (3)若 f(0)=f(0)=0，证明 x0 时， （分数：2.00）_14.设 a1，f(t)=a t -at 在(一，+)内的驻点为 t(a)问 a 为何值时，t(a)最小?并求出最小值（分数：2.00）_15.设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形的面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，并且 a1试
6、确定 a 的值，使 S=S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值（分数：2.00）_16.求曲线 （分数：2.00）_17.作函数 （分数：2.00）_18.证明： （分数：2.00）_19.设 x0，证明 ln(1+x) （分数：2.00）_20.设 x(0，1)，证明： (1)(1+x)ln 2 (1+x)x 2 ； (2) （分数：2.00）_21.设函数 f(x)在0，a上可导，且 f(0)=0，f(x)单调增加，证明： （分数：2.00）_22.设 ba0，证明不等式 （分数：2.00）_23.试证当 x0 时，(x 2 一 1)ln x(x 一 1) 2 （分数：2.00）_24.
7、设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f(x)|a，|f”(x)|b，其中 a，b 为非负常数，证明对任意x(0，1)，有 （分数：2.00）_25.设函数在闭区间0，1上可微，对于0，1上的每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f(x)1，证明在(0，1)内方程 f(x)=x 有且仅有一个实根（分数：2.00）_26.设在1，+)上处处有 f”(x)0，且 f(1)=2,f(1)=一 3，证明：在(1，+)内方程 f(x)=0 仅有一个实根（分数：2.00）_27.试就常数 k 的不同取值，讨论方程 xe -x 一 k=0 的实根的个数（分数：2.00）_28.讨论曲线 y=
8、ln 4 x+4x 与 y=4ln x+k 交点的个数（分数：2.00）_29.求曲线 y=lnx 的最大曲率（分数：2.00）_30.求曲线 x=acos 3 t，y=asin 3 t 在 （分数：2.00）_31.已知某企业的总收益函数为 R(Q)=26Q 一 2Q 2 一 4Q 3 ，总成本函数为 C(Q)=8Q+Q 2 ，其中 Q 表示产品的产量求边际收益函数、边际成本函数以及利润最大时的产量（分数：2.00）_32.某产品的成本函数为 C(Q)=aQ 2 +bQ+c，需求函数为 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 13 答案解析(总分：64.00，做题时间：90
9、分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.必取极大值B.必取极小值C.不可能取极值D.是否取极值不能确定 解析：解析：如果 f(x)=g(x)=一 x 2 ，在 x=0 处取极大值，但 F(x)=x 4 在 x=0 处取极小值，故选项(A)、(C)不正确 如果 f(x)=一 x 2 ，g(x)=1 一 x 2 ，两函数都在 x=0 处取极大值，但 F(x)=一 x
10、 2 (1 一 x 2 )在x=0 处仍取极大值，事实上 F(x)=一 2x+4x 3 ，F“(x)=一 2+12x 2 ， F(0)=0，F“(0)0，即 F(x)在x=0 处取极大值，因此(B)不正确，综上，应选(D)3.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.不可导B.可导，且 f(0)0C.取极大值 D.取极小值解析：解析：因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 又 故存在 x=0 的某个邻域 U(0，)，对任意xU(0，)，由极限保号性4.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 （分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极小
11、值 B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.(x 0 ,f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由于 由极限的保号性，存在 x 0 的某个邻域(x 0 一 ，x 0 +)(0)，当x(x 0 一 ，x 0 +)，有 5.设 y=f(x)是满足微分方程 y”一 y一 e sinx =0 的解，且 f(x 0 )=0，则 f(x)在( )（分数：2.00）A.x 0 的某个邻域内单调增加B.x 0 的某个邻域内单调减少C.x 0 处取得极小值 D.x 0 处取得极大值解析：解析： 由已知条
12、件知 f”(x)-f(x)=e sinx ，从而 f”(x 0 )-f(x 0 )= 又 f(x 0 )=0，从而 f”(x 0 )= 6.设函数 f(x)具有连续的二阶导数，且点(0，f(0)是函数 y=f(x)对应曲线的拐点，则 （分数：2.00）A.0 B.2C.f(0)D.2f(0)解析：解析： 又 f(x)有连续的二阶导数，故原极限=7.已知函数 f(x)二阶可导，曲线 y=f”(x)的图形如图 23 所示，则曲线 y=f(x)( ) （分数：2.00）A.在(一，0)内是凹的，在(0，+)内是凸的，有一个拐点B.在(一 1，0)，(1，2)内是凹的，在其他区间是凸的，有三个拐点C.
13、在(一 1，0)，(0，1)，(2，+)内是凸的，在其他区间是凹的，有三个拐点D.在(一 1，0)，(1，2)内是凹的，在其他区间是凸的，有四个拐点 解析：解析： 由图形得表格如下8.设函数 f(x)满足关系式 f”(x)+f(x) 2 =x，且 f(x)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：将 x=0 代入已知方程，得 f”(0)=0 故在 x=0 的充分小的邻域 U(0，)内，有9.曲线 （分数：
14、2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：因为 故曲线有水平渐近线 y=110.设 f(x)=ln |(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)|，则方程 f(x)=0 的根的个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：因为当 u(x)0 时，函数 u(x)与 lnu(x)有相同的驻点，而 y=|(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)|有两个驻点，所以 f(x)也有两个驻点，故应选(C)二、解答题(总题数：22，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 y=y(x)是由方程 2y 3 一 2y 2
15、 +2xyx 2 =1 所确定的函数，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程两端对 x 求导数，得 6y 2 y“一 4yy+2xy+2y-2x=0， 令 y=0，得x=y，代入原方程得 x=1，y=1在式两边再对 x 求导数，得 12yy “2 +6y 2 y”-4y “2 一 4yy“+2xy”+4y-2=0， 以 x=1，y=1，y=0 代入，得 y“(1)= )解析：13.设 y=f(x)有二阶连续导数，且满足 xy“+3xy “2 =1-e -x (1)若 f(x)在 x=c(c0)处取得极值，证明f(c)是极小值 (2)若 f(x)在 x=0 处取得
16、极值，问 f(0)是极小值还是极大值? (3)若 f(0)=f(0)=0，证明 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因 f(c)是极值，故 y(c)=0，代入方程，得 从而 f(c)是极小值 (2)当 x0 时， 由 y，y”连续及 y(0)=0，有 从而 f(0)是极小值 (3)当 x0 时， 令 (x)=x 一 1+e -x ，有 (x)=1e -x 0(x0)，而 (0)=0，所以 (x)(0)=0，即 从而 f”(x)1由泰勒公式， (0，x)，使 )解析：14.设 a1，f(t)=a t -at 在(一，+)内的驻点为 t(a)问 a 为何值时，t(a)最小?
17、并求出最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(t)=a t lna 一 a=0，得唯一驻点 t(a)= 又 得唯一驻点 a=e e 当 ae e 时，t(a)0；当 ae e 时，t(a)0，因此 t(e e )= )解析：15.设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形的面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，并且 a1试确定 a 的值，使 S=S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 0a1 时，如图 21 所示， S=S 1 +S 2 = 0 a (ax-x 2 )dx+ a 1 (x 2
18、 一 ax)dx 令 S=0，得 是极小值，也是最小值，此时 当 a0 时，如图 2-2 所示， 故 S 单调减少，a=0 时，S 取最小值，此时 综上所述，当 时，S 取最小值，此时 )解析：16.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不存在 x 0 ，使 故没有铅直渐近线而 故不存在水平渐近线 所以 x+时，有斜渐近线 又因为 即曲线有水平渐近线为 )解析：17.作函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)函数的定义域为(一，1)(1，+) 令 f(x)=0，得驻点 x=一1，x=3 因 f”(x)=0 无解，故没有拐点 (3)因为 所以 x=1 是 f(x)的铅
19、直渐近线 又 所以 是 f(x)的斜渐近线 (4)列表 (5)极大值点(一 1，一 2)，极小值点(3，0)，而 f(0)= (6)作图 24 )解析：18.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= ，则 )解析：19.设 x0，证明 ln(1+x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 arctanx，x0，则 即 f(x)当 x0 时单调增加 又 f(0)=0，故 f(x)f(0)=0，从而 (1+x)ln(1+x)-arctanx0， )解析：20.设 x(0，1)，证明： (1)(1+x)ln 2 (1+x)x 2
20、； (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 f(x)=(1+x)ln 2 (1+x)一 x 2 ，则 f(0)=0 f(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)一 2x，f(0)=0 当 x0 时，ln(1+x)x，故 f”(x)0，f(x)单调减少;f(x)f(0)=0，故 f(x)单调减少，从而有 f(x)f(0)=0，即 (1+x)ln 2 (1+x)x 2 由(1)知 g(x)0，x(0，1)，故 g(x)在(0，1)内单调减少 故当 x(0，1)时，有 )解析：21.设函数 f(x)在0，a上可导，且 f(0)=0，f(x)单调增加，证明： （分数：2.00）
21、_正确答案：(正确答案：令 F(t)= 0 t xf(x)dx 一 0 t f(x)dx，0ta 所以 F(t)在0，a上单调增加，而 F(0)=0，从而 F(t)0，即 F(t)在0，a上单调增加，于是 F(a)F(0)=0，即 )解析：22.设 ba0，证明不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= ，xa0，则 当 xa0 时 f”(x)0，f(a)=0，则 f(x)0 又 f(a)=0，故 f(x)0，xa 特别的，当 ba0 时，有 f(b)0，即 )解析：23.试证当 x0 时，(x 2 一 1)ln x(x 一 1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确
22、答案：设 f(x)=(x 2 一 1)lnx 一(x 一 1) 2 ，则 f(1)=0， )解析：24.设 f(x)在0，1上二阶可导，且|f(x)|a，|f”(x)|b，其中 a，b 为非负常数，证明对任意x(0，1)，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，有 两式相减，有 所以 当 x(0，1)时(1 一 x) 2 +x 2 1，所以|f(x)| )解析：25.设函数在闭区间0，1上可微，对于0，1上的每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f(x)1，证明在(0，1)内方程 f(x)=x 有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F
23、(x)=f(x)一 x，则 F(x)在0，1上连续 由于 0f(x)1，所以 F(0)=f(0)0，F(1)=f(1)一 10， 由介值定理知，在(0，1)内至少存在一点 ，使 F()=0，即 f()= 假设有两个 x 1 ，x 2 (0，1)，且 x 1 x 2 ，使 F(x 1 )=F(x 2 )=0，则由罗尔定理，存在 (0，1)，使 F()=f()一 1=0，这与 f(x)1 矛盾，故 f(x)=x 有且仅有一个实根)解析：26.设在1，+)上处处有 f”(x)0，且 f(1)=2,f(1)=一 3，证明：在(1，+)内方程 f(x)=0 仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正
24、确答案：将函数 f(x)在 x=1 处展开为一阶泰勒公式，得 由题设 f”(x)0，知 于是 f(x)23(x 一 1)=53x 取 ,f(x 0 )0，又 f(1)=20，由介值定理知，存在(1，x 0 ) (1，+)，使得 f()=0，即方程 f(x)=0 在(1，+)内有实根存在 由于 f”(x)0， )解析：27.试就常数 k 的不同取值，讨论方程 xe -x 一 k=0 的实根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=xe -x 一 k，则 f(x)=(1 一 x)e -x 令 f(x)=0，得唯一驻点 x=1 当 x1 时 f(x)0，当 x1 时 f(x)0，
25、所以 f(1)=e -1 一 k 是 f(x)的最大值，因此 如果 e -1 一k0，即 ke -1 时,f(1)0，且 )解析：28.讨论曲线 y=ln 4 x+4x 与 y=4ln x+k 交点的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=ln 4 x+4x 一 4lnx 一 k问题等价于讨论函数 f(x)在(0，+)内零点的个数，由 知 x=1 是 f(x)的唯一驻点当 0x1 时,f(x)0；当 x1 时,f(x)0 故 f(1)=4-k 是函数 f(x)的最小值 当 4-k0，即 k4 时,f(x)无零点，即两曲线无交点 当 4-k=0，即 k=4时,f(x)有唯一零
26、点 x=1，即两曲线只有一个交点 当 4-k0，即 k4 时，由于 )解析：29.求曲线 y=lnx 的最大曲率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求曲线 x=acos 3 t，y=asin 3 t 在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.已知某企业的总收益函数为 R(Q)=26Q 一 2Q 2 一 4Q 3 ，总成本函数为 C(Q)=8Q+Q 2 ，其中 Q 表示产品的产量求边际收益函数、边际成本函数以及利润最大时的产量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：边际收益函数为 R(Q)=264Q 一 12Q 2 边际成本函数为 C(Q)=8+2Q 利润函数 L(Q)=R(Q)一 c(Q)=18Q 一 3Q 2 -4Q 3 令 L(Q)=186Q 一 12Q 2 =0，得 Q=1， )解析：32.某产品的成本函数为 C(Q)=aQ 2 +bQ+c，需求函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由需求函数解得 P=deQ，从而利润函数为 L(Q)=pQC(Q)=(deQ)Q 一(aQ 2 +bQ+c) =一(a+e)Q 2 +(d-b)QC， 令 L(Q)=一 2(a+e)Q+(db)=0，解得 ，而 L“(Q)=-2(a+e)0，所以 (2)需求的价格弹性 (3)当 =1 时, )解析：
