江苏省南通市海安高级中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题.doc

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1、- 1 -2018-2019 学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷一. 填空题:本大题共 14 小题, 每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合 集合 ,则 中元素的个数为 .2. 已知 是等差数列, 是其前 项和,若 =10, ,则 的值是 .3. 若不等式 的解集为 ,则 的值为 .4. 曲线 在点 处的切线方程为 .(写出斜截式方程)5. 已知向量 a, b 满足 , ,则 ab = .6. 若 ,则 .7. 已知实数 满足不等式组 ,则 的最大值为 .8. 已知椭圆 的焦点在 轴上,且焦距为 4,则 m = .9. 在数列 中, , , 是其前

2、项和,则 的值是 .10. 平面上三条直线 x2y+1=0, x1=0, x+ky=0,如果这三条直线将平面划分为六个部分,则实数 k 的取值组成的集合 A=_ _11. 若直线 过点 ,则 的最小值为_ _12. 已知点 P 在椭圆 上, 是椭圆的两个焦点,若,且 的三条边长成等差数列,则椭圆的离心率 e = .- 2 -13. 直线 与直线 相交于点 M,则 长度的最小值为 .14. 定义:点 到直线 的有向距离为 已知点 ,直线 m 过点 ,若圆 上存在一点 ,使得 三点到直线 m 的有向距离之和为 0,则直线 m 斜率的取值范围是_ _二. 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请

3、在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 中,底面 是正方形, 平面 ,且 ,点 为线段 的中点. (1)求证: 平面 ; (2)求证: 平面 . 16. (本小题满分 14 分)如图, 是单位圆 O 上的点, C, D 分别是圆 O 与 x 轴的两交点, 为正三角形.(1)若 点坐标为 ,求 的值;(2)若 ,四边形 CABD 的周长为 y,试将 y 表示成 x 的函数,并求出 y 的最大值.- 3 -17.(本小题满分 14 分)已知函数 ,其中 R(1)当 时,求函数 在 上的值域; (2)若函数 在 上的最小值为 3

4、,求实数 k 的取值范围18. (本小题满分 16 分)某海警基地码头 O 的正东方向 40 海里处有海礁界碑 M,过点 M 且与 OM 成 (即北偏西)的直线 l 在在此处的一段为领海与公海的分界线(如图所示),在码头 O 北偏东方向领海海面上的 A 处发现有一艘疑似走私船(可疑船)停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后,海警巡逻艇从 O 处即刻出发,按计算确定方向以可疑船速度的2 倍航速前去拦截,假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速,将在 P 处恰好截获可疑船.(1)如果 O 和 A 相距 6 海里,求可疑船被截获处的点 P 的轨迹;(2)若要确保在领海内捕获可疑船(即

5、P 不能在公海上)则 、 之间的最大距离是多少海里?- 4 -19(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 的离心率为 ,且过点,过椭圆的左顶点 A 作直线 轴,点 M 为直线 上异于点 A 的动点,点 B 为椭圆右顶点,直线 BM 交椭圆 C 于 P (1)求椭圆 C 的方程;(2)求证: ;(3)试问 是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由20(本小题满分 16 分)已知常数 0,设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn,满足: a1 = 1,- 5 -( ) (1)若 = 0,求数列 an的通项公式;(2)若 对一切 恒成立,求实数

6、 的取值范围- 6 -2018-2019 学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷答案一、填空题.1. 已知集合 集合 ,则 中元素的个数为24Axy, , Bxy, AB .【答案】22. 已知 是等差数列, 是其前 项和,若 =10, ,则 的值是 .nanS5S920a1【答案】-43. 若不等式 的解集为 ,则 的值为 .【答案】-320xp12, p4. 曲线 在点 处的切线方程为 .(写出斜截式方程)lny1,【答案】 x5. 已知向量 a, b 满足 , ,则 ab = .【答案】-1123 Aab6. 若 ,则 .【答案】tn46tn757. 已知实数 满足不等式组 ,则 的最大

7、值为 .xy, 04yx 2zxy【答案】88. 已知椭圆 的焦点 轴上,且焦距为 4,则 m = .【答案】132210yxmx9. 在数列 中, , , 是其前 项和,则 的值是 .na11nanS6S【答案】12610. 平面上三条直线 x2y+1=0, x1=0, x+ky=0,如果这三条直线将平面划分为六个部分,则实数 k 的取值组成的集合 A= .【答案】1,0,211. 若直线 过点 ,则 的最小值为 .0yxab,2,41ab【答案】1912. 已知 P 在椭圆 上, 是椭圆的两个焦点,21yxab12F,且 的三条边长成等差数列,则椭圆的离心率 e = 120OF12P- 7

8、 - .【答案】 5713. 直线 与直线 相交于点 M,则 长度的最小值为 .210kxy320xkyO【答案】14. 定义:点 到直线 的有向距离为 已知点 ,0Mxy, :0laxbyc02axbyc, 20A,直线 m 过点 ,若圆 上存在一点 ,使得 三2B, 40P, 22635CBC, ,点到直线 m 的有向距离之和为 0,则直线 m 斜率的取值范围是 .【答案】 403-,二、解答题.15.如图,在四棱锥 中,底面 是正方形, 平面 ,且 , PABCDABPABCDPA点 为线段 的中点. E(1)求证: 平面 ; /E(2)求证: 平面 . AP(1)证明:连结 ,交 于点

9、 ,连结 .BDCOE因为 是正方形 对角线交点,A所以 为 中点,由已知 为线段 的中点,所以 ,EP/PBOE又 , ,所以 平面 .OAC平 面 AC平 面 /AC(2)证明:因为 , 为线段 的中点,所以 ,D D因为 平面 ,所以 ,PBP在正方形 中, ,又 ,AAA所以 平面 ,又 ,CE平 面所以 ,又 ,所以 平面 . DEPCDPCD16.如图, 是单位圆 O 上的点, C, D 分别是圆 O 与 xAB,轴的两交点, 为正三角形.(1)若 点坐标为 ,求 的值;345,cosBDCB APEO CBDyxA- 8 -(2)若 ,四边形 CABD 的周长为 y, 203AO

10、Cx试将 y 表示成 x 的函数,并求出 y 的最大值.解:(1) 3431coscs60.2510+BOCx(2) 33insi2sincosin2xxxyADsincos2i23x又因为 ,所以 ,所以 .03x, 3sin12x,所以当 时, .xmax5y17.已知函数 ,其中 R3213fkxk(1)当 时,求函数 在 上的值域; kf05,(2)若函数 在 上的最小值为 3,求实数 k 的取值范围fx12,解:(1)当 时, , ,3k32691fxx231931fxx令 得 ,列表:0fx12,0 , 1 3, 3 5, 5fx+ 0 0 +f1 递增 极大值 5 递减 极小值

11、1 递增 21由上表知,函数 的值域为 fx12,(2) ,233fxkxk 当 时, ,函数 在区间 单调递增,1k 1, , 0f f12,所以 ,即 (舍) min3132fxfk5k 当 时, ,函数 在区间 单调递减,2k 1, , 0fx fx12,- 9 -所以 ,符合题意 min286132fxfk 当 时,1k当 时, , 在区间 单调递减;x, 0fx fxk,当 时, , 区间在 单调递增2k, f f2,所以 ,不符合题意min23fxff综上所述:实数 取值范围为 kk18.某海警基地码头 O 的正东方向 40 海里处有海礁界碑 M,过点 M 且与 OM 成 (即北偏

12、西30)的直线 l 在在此处的一段为领海与公海的分界线(如图所示),在码头 O 北偏东 方60 6向领海海面上的 A 处发现有一艘疑似走私船(可疑船)停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后,海警巡逻艇从 O 处即刻出发,按计算确定方向以可疑船速度的 2 倍航速前去拦截,假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速,将在 P 处恰好截获可疑船.(1)如果 O 和 A 相距 6 海里,求可疑船被截获处的点 P 的轨迹;(2)若要确保在领海内捕获可疑船(即 P 不能在公海上)则 、 之间的最大距离是多OA少海里?18.解:(1)以 O 为原点, OM 为 x 轴建立如图坐标系,设可疑船能被

13、截获的点为 P(x, y),由题意得 OP=2AP, OA=6 (海里), AOx= ,点 A 的坐标(3 ,3),9063 3则有 =2 ,x2+y2 (x 3r(3)2+(y 3)2化简得( x4 )2+(y4) 2=16,轨迹是以(4 ,4)为圆心,4 为半径的圆3 3(2)设点 A 的坐标( t, t), t0,可疑船被截获处的点为 P(x, y),360l公海东ONMOAN- 10 -由题意得 OP=2AP,即有 =2 ,化简得( x )2+(y )2= x2+y2 (x r(3)t)2+(y t)24 3t3 4t3 16t29因为 M(40,0), l 的倾斜角 ,1805因此直

14、线方程为 l: x+ y40=03由题意,点 A 在领海内,因此 t+ t400即 0 t 3 320 33P 的轨迹与直线没有公共点,则轨迹圆心到分界线距离 ,|4 3t3 + 4 3t3 40|2 4t3即 | 5| ,解之得 t (不合,舍去)或 0 t 3t3 t3 15(r(3)+1)2 15(r(3) 1)2又因为 OA=2t,因此 OA 的最大距离为 15( 1) (海里)319在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 的离心率为 ,且过点210yxab2,过椭圆的左顶点 A 作直线 轴,点 M 为直线612, l上的动点,点 B 为椭圆右顶点,直线 BM 交椭圆 C 于 P

15、 l(1)求椭圆 C 的方程;(2)求证: ;APOM(3)试问 是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由18解:(1)因为 C: 的离心率为 ,21(0)xyab2所以 ,则 ,又椭圆 C 过点 ,2ac2ab6(1)2,所以 213b所以 , ,4a2lO BPMyxA- 11 -则椭圆 C 的方程 214xy(2)设直线 BM 的斜率为 k,则直线 BM 的方程为 ,设 ,(2)ykx1(,)Pxy将 代入椭圆 C 的方程 中并化简得:(2)ykx214x, 221480k解之得 , , 21x2x所以 ,从而 14()1kyk224(,)1kP令 ,得 ,所以 , 2

16、x(,)M(,4)Ok又 ,2244(,)1kkAP 284,1k所以 , 2260Ok所以 APM(3) = 224(,)(,4)1kk 22816841k所以 为定值 4OP20(本小题满分 16 分)已知常数 0,设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn,满足: a1 = 1,( ) 113nnaSa *N(1)若 = 0,求数列 an的通项公式;(2)若 对一切 恒成立,求实数 的取值范围12na解:(1) 时,011.nnSa所以 因为 ,所以 .1.na0n0nS所以 .因为 ,所以 .1n11a- 12 -(2)因为 , ,113nnaSa0n所以 1.nn则 213 121 32.nnSSSaaa, , 相加,得 21.nn则 3.nnSa上式对 也成立,1所以 *3.2nnnSaN所以 1*1 1.nn n得 1 133.22n nnaaa即 1.nn因为 ,所以0 3300.22,因为 对一切 恒成立,1na*nN所以 对一切 恒成立,13322*nN即 对一切 恒成立,n*记 ,则 23nb 11142362.33nnnnnb当 时,110;n当 时,2 .b所以 是一切 中的最大项.13n综上所述, .

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