江苏省南通市海安高级中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题.doc

1、- 1 -2018-2019 学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷一. 填空题：本大题共 14 小题, 每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合 集合 ，则 中元素的个数为 .2. 已知 是等差数列， 是其前 项和，若 =10， ，则 的值是 .3. 若不等式 的解集为 ，则 的值为 .4. 曲线 在点 处的切线方程为 .（写出斜截式方程）5. 已知向量 a， b 满足 ， ，则 ab = .6. 若 ，则 .7. 已知实数 满足不等式组 ，则 的最大值为 .8. 已知椭圆 的焦点在 轴上，且焦距为 4，则 m = .9. 在数列 中， ， ， 是其前

2、项和，则 的值是 .10. 平面上三条直线 x2y+1=0， x1=0， x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数 k 的取值组成的集合 A=_ _11. 若直线 过点 ，则 的最小值为_ _12. 已知点 P 在椭圆 上， 是椭圆的两个焦点，若，且 的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率 e = .- 2 -13. 直线 与直线 相交于点 M，则 长度的最小值为 .14. 定义：点 到直线 的有向距离为 已知点 ，直线 m 过点 ，若圆 上存在一点 ，使得 三点到直线 m 的有向距离之和为 0，则直线 m 斜率的取值范围是_ _二. 解答题：本大题共 6 小题,共 90 分.请

3、在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，且 ，点 为线段 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 . 16. （本小题满分 14 分）如图， 是单位圆 O 上的点， C， D 分别是圆 O 与 x 轴的两交点， 为正三角形.（1）若 点坐标为 ，求 的值；（2）若 ，四边形 CABD 的周长为 y，试将 y 表示成 x 的函数，并求出 y 的最大值.- 3 -17.（本小题满分 14 分）已知函数 ，其中 R（1）当 时，求函数 在 上的值域； （2）若函数 在 上的最小值为 3

4、，求实数 k 的取值范围18. （本小题满分 16 分）某海警基地码头 O 的正东方向 40 海里处有海礁界碑 M，过点 M 且与 OM 成 （即北偏西）的直线 l 在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头 O 北偏东方向领海海面上的 A 处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从 O 处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2 倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在 P 处恰好截获可疑船.（1）如果 O 和 A 相距 6 海里，求可疑船被截获处的点 P 的轨迹；（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即

5、P 不能在公海上）则 、 之间的最大距离是多少海里？- 4 -19（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点，过椭圆的左顶点 A 作直线 轴，点 M 为直线 上异于点 A 的动点，点 B 为椭圆右顶点，直线 BM 交椭圆 C 于 P （1）求椭圆 C 的方程；（2）求证： ；（3）试问 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由20（本小题满分 16 分）已知常数 0，设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn，满足： a1 = 1，- 5 -（ ） (1)若 = 0，求数列 an的通项公式；(2)若 对一切 恒成立，求实数

6、 的取值范围- 6 -2018-2019 学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷答案一、填空题.1. 已知集合 集合 ，则 中元素的个数为24Axy， ， Bxy， AB .【答案】22. 已知 是等差数列， 是其前 项和，若 =10， ，则 的值是 .nanS5S920a1【答案】-43. 若不等式 的解集为 ，则 的值为 .【答案】-320xp12， p4. 曲线 在点 处的切线方程为 .（写出斜截式方程）lny1，【答案】 x5. 已知向量 a， b 满足 ， ，则 ab = .【答案】-1123 Aab6. 若 ，则 .【答案】tn46tn757. 已知实数 满足不等式组 ，则 的最大

7、值为 .xy， 04yx 2zxy【答案】88. 已知椭圆 的焦点 轴上，且焦距为 4，则 m = .【答案】132210yxmx9. 在数列 中， ， ， 是其前 项和，则 的值是 .na11nanS6S【答案】12610. 平面上三条直线 x2y+1=0， x1=0， x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数 k 的取值组成的集合 A= .【答案】1，0，211. 若直线 过点 ，则 的最小值为 .0yxab，2，41ab【答案】1912. 已知 P 在椭圆 上， 是椭圆的两个焦点，21yxab12F，且 的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率 e = 120OF12P- 7

8、 - .【答案】 5713. 直线 与直线 相交于点 M，则 长度的最小值为 .210kxy320xkyO【答案】14. 定义：点 到直线 的有向距离为 已知点 ，0Mxy， :0laxbyc02axbyc， 20A，直线 m 过点 ，若圆 上存在一点 ，使得 三2B， 40P， 22635CBC， ，点到直线 m 的有向距离之和为 0，则直线 m 斜率的取值范围是 .【答案】 403-，二、解答题.15.如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，且 ， PABCDABPABCDPA点 为线段 的中点. E（1）求证： 平面 ； /E（2）求证： 平面 . AP（1）证明：连结 ，交 于点

9、 ，连结 .BDCOE因为 是正方形 对角线交点，A所以 为 中点，由已知 为线段 的中点，所以 ，EP/PBOE又 ， ，所以 平面 .OAC平 面 AC平 面 /AC（2）证明：因为 ， 为线段 的中点，所以 ，D D因为 平面 ，所以 ，PBP在正方形 中， ，又 ，AAA所以 平面 ，又 ，CE平 面所以 ，又 ，所以 平面 . DEPCDPCD16.如图， 是单位圆 O 上的点， C， D 分别是圆 O 与 xAB，轴的两交点, 为正三角形.（1）若 点坐标为 ，求 的值；345，cosBDCB APEO CBDyxA- 8 -（2）若 ，四边形 CABD 的周长为 y， 203AO

10、Cx试将 y 表示成 x 的函数，并求出 y 的最大值.解：（1） 3431coscs60.2510+BOCx（2） 33insi2sincosin2xxxyADsincos2i23x又因为 ，所以 ，所以 .03x， 3sin12x，所以当 时， .xmax5y17.已知函数 ，其中 R3213fkxk（1）当 时，求函数 在 上的值域； kf05，（2）若函数 在 上的最小值为 3，求实数 k 的取值范围fx12，解：(1)当 时， ， ，3k32691fxx231931fxx令 得 ，列表：0fx12，0 ， 1 3， 3 5， 5fx+ 0 0 +f1 递增 极大值 5 递减 极小值

11、1 递增 21由上表知，函数 的值域为 fx12，（2） ，233fxkxk 当 时， ，函数 在区间 单调递增，1k 1， ， 0f f12，所以 ，即 （舍） min3132fxfk5k 当 时， ，函数 在区间 单调递减，2k 1， ， 0fx fx12，- 9 -所以 ，符合题意 min286132fxfk 当 时，1k当 时， ， 在区间 单调递减；x， 0fx fxk，当 时， ， 区间在 单调递增2k， f f2，所以 ，不符合题意min23fxff综上所述：实数 取值范围为 kk18.某海警基地码头 O 的正东方向 40 海里处有海礁界碑 M，过点 M 且与 OM 成 （即北偏

12、西30）的直线 l 在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头 O 北偏东 方60 6向领海海面上的 A 处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从 O 处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的 2 倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在 P 处恰好截获可疑船.（1）如果 O 和 A 相距 6 海里，求可疑船被截获处的点 P 的轨迹；（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即 P 不能在公海上）则 、 之间的最大距离是多OA少海里？18.解：（1）以 O 为原点， OM 为 x 轴建立如图坐标系，设可疑船能被

13、截获的点为 P(x， y)，由题意得 OP=2AP， OA=6 (海里)， AOx= ，点 A 的坐标(3 ，3)，9063 3则有 =2 ，x2+y2 (x 3r(3)2+(y 3)2化简得( x4 )2+(y4) 2=16，轨迹是以(4 ，4)为圆心，4 为半径的圆3 3（2）设点 A 的坐标( t， t)， t0，可疑船被截获处的点为 P(x， y)，360l公海东ONMOAN- 10 -由题意得 OP=2AP，即有 =2 ，化简得( x )2+(y )2= x2+y2 (x r(3)t)2+(y t)24 3t3 4t3 16t29因为 M(40，0)， l 的倾斜角 ，1805因此直

14、线方程为 l： x+ y40=03由题意，点 A 在领海内，因此 t+ t400即 0 t 3 320 33P 的轨迹与直线没有公共点，则轨迹圆心到分界线距离 ，|4 3t3 + 4 3t3 40|2 4t3即 | 5| ，解之得 t (不合，舍去)或 0 t 3t3 t3 15(r(3)+1)2 15(r(3) 1)2又因为 OA=2t，因此 OA 的最大距离为 15( 1) (海里)319在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点210yxab2，过椭圆的左顶点 A 作直线 轴，点 M 为直线612， l上的动点，点 B 为椭圆右顶点，直线 BM 交椭圆 C 于 P

15、 l（1）求椭圆 C 的方程；（2）求证： ；APOM（3）试问 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由18解：（1）因为 C： 的离心率为 ，21(0)xyab2所以 ，则 ，又椭圆 C 过点 ，2ac2ab6(1)2，所以 213b所以 ， ，4a2lO BPMyxA- 11 -则椭圆 C 的方程 214xy（2）设直线 BM 的斜率为 k，则直线 BM 的方程为 ，设 ，(2)ykx1(,)Pxy将 代入椭圆 C 的方程 中并化简得：(2)ykx214x， 221480k解之得 ， ， 21x2x所以 ，从而 14()1kyk224(,)1kP令 ，得 ，所以 ， 2

16、x(,)M(,4)Ok又 ，2244(,)1kkAP 284,1k所以 ， 2260Ok所以 APM（3） = 224(,)(,4)1kk 22816841k所以 为定值 4OP20（本小题满分 16 分）已知常数 0，设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn，满足： a1 = 1，（ ） 113nnaSa *N(1)若 = 0，求数列 an的通项公式；(2)若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围12na解：（1） 时，011.nnSa所以 因为 ，所以 .1.na0n0nS所以 .因为 ，所以 .1n11a- 12 -(2)因为 ， ，113nnaSa0n所以 1.nn则 213 121 32.nnSSSaaa， ， 相加，得 21.nn则 3.nnSa上式对 也成立，1所以 *3.2nnnSaN所以 1*1 1.nn n得 1 133.22n nnaaa即 1.nn因为 ，所以0 3300.22，因为 对一切 恒成立，1na*nN所以 对一切 恒成立，13322*nN即 对一切 恒成立，n*记 ，则 23nb 11142362.33nnnnnb当 时，110;n当 时，2 .b所以 是一切 中的最大项.13n综上所述， .