1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 18 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导，且 f“(x 0 )=aB.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限，但未必连续D.以上结论都不对3.设 f(x)可导且 （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小。B.与x 同阶的无穷小。C.比x 低阶的无穷小。D.比x 高阶的无穷小。4.设函数 f(u)可导，y=f(x 2
2、)当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量x=一 01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f“(1)等于( )（分数：2.00）A.一 1B.01C.1D.055.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0,f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x 0 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x0，则( )（分数：2.00）A.0dyyB.0ydyC.ydy0D.dyy06.设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x) ，h“(1)=1，g“(1)=2，则 g(1)等于( )（分数：2.00）A.ln31B.一 ln31C.一 ln21
3、D.ln217.设 g(x)可微， （分数：2.00）A.一 ln21B.ln21C.一 ln22D.ln228.=( ) （分数：2.00）A.B.C.In(1+lnx)一 In(1+2x)D.In(1+lnx)一 21n(1+2x)9.设 f(x)=(x 一 a)(x 一 b)(xc)(x 一 d)，其中 a，b，c，d 互不相等，且 f“(k)=(k 一 a)(k 一 b)(k 一 c)，则 k 的值等于( )（分数：2.00）A.aB.bC.cD.d10.对任意的 x(一，+)，有 f(x+1)=f 2 (x)，且 f(0)=f“(0)=1，则 f“(1)=( )（分数：2.00）A.
4、0B.1C.2D.以上都不正确11.设函数 f(x)在(一，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(一 x)，当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时，有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)012.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f 2 (x)，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数是( )（分数：2.00）A.n!f(x) n+1B.nf(x) n+1C.f(x) 2nD.n!f(x) 2n13.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在
5、开区间(a，b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当 f（A）f（B）0，存在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有C.当 f（A）=f（B）时，存在 (a，b)，使 f“()=0。D.存在 (a，b)，使 f（B）-f（A）=f“()(b 一 a)。14.设在0，1上 f“(x)0，则 f“(0)，f“(1),f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是( )（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(1)一 f(0)B.f“(1)f(1)一 f(0)f“(0)C.f(1)一 f(0)f“(1)f“(0)D.f“(1)f(0)一 f(1)f“(0)15.设
6、f(x)=x 2 (x 一 1)(x 一 2)，则 f“(x)的零点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.316.设函数 f(x)在 R + 上有界且可导，则( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)17.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 则 y=f(x)的反函数 x=f -1 (y)在 y=0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_19.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ,f(2)=1，则 f“(2)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设函数 y=y(x)由方程
7、 y=1 一 xe y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.已知 xy=e x+y ，则 （分数：2.00）填空项 1:_22.沿 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数则 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 y=y(x)是由方程 x 2 一 y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_24.设可导函数 y=y(x)由方程 （分数：2.00）填空项 1:_25.设 y=y(x)是由方程 （分数：2.00）填空项 1:_26.设 y=y(x)由方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：5，分数：10.00)27.解答题
8、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上,f(x)=x(x 2 一 4)，若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数。（分数：4.00）(1).写出 f(x)在一 2，2上的表达式；（分数：2.00）_(2).问 k 为何值时,f(x)在 x=0 处可导。（分数：2.00）_28.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 （分数：2.00）_29.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f“(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y 一 xe y-1 =1 所确定。设 z=f(lny 一sinx)，求
9、 （分数：2.00）_30.设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 18 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导，且 f“(x 0 )=aB.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限，但未必连续D.以上结论都不对 解析：解析：本题需将 f(x)在 x=x 0 处的左、右
10、导数 f + “(x 0 )和 f + “(x 0 )与在 x=x 0 处的左、右极限 区分开。 但不能保证 f(x)在 x 0 处可导，以及在 x 0 处连续和极限存在。例如 显然，x0 时 f“(x)=1，因此 但是 3.设 f(x)可导且 （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小。B.与x 同阶的无穷小。 C.比x 低阶的无穷小。D.比x 高阶的无穷小。解析：解析：由 f(x)在 x 0 点处可导及微分的定义可知 于是 4.设函数 f(u)可导，y=f(x 2 )当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量x=一 01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f“(1)等于( )（分数
11、：2.00）A.一 1B.01C.1D.05 解析：解析：由微分的定义可知，函数 f(x)在 x 0 点处的增量y 的线性主部即为函数 f(x)在该点处的微分 dy x=x0 =f“(x 0 )x，所以有 01=y“(一 1)x=一 01y“(一 1)，即有 y“(一 1)=一 1。而且y“(一 1)=f(x 2 )“ x=-1 =f“(x 2 ).2x x=-1 =一 2f“(1)，因此 f“(1)=05，故选 D。5.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0,f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x 0 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若x
12、0，则( )（分数：2.00）A.0dyy B.0ydyC.ydy0D.dyy0解析：解析：根据函数单调性的判 f“(x)0 可知,f(x)严格单调增加，由 f“(x)0 可知,f(x)是凹函数。作函数的图象如图 12-4 所示，显然x0 时，ydy=f“(x 0 )dx=f“(x 0 )x0，即知选择 A。 6.设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x) ，h“(1)=1，g“(1)=2，则 g(1)等于( )（分数：2.00）A.ln31B.一 ln31C.一 ln21 D.ln21解析：解析：函数 h(x)=e 1+g(x) 两边同时对 x 求导，可得 h“(x)=e 1+g(x)
13、 g“(x)。在上面的等式中令x=1，结合已知条件 h“(1)=1，g“(1)=2，可得 1=h“(1)=e 1+g(1) g“(1)=2e 1+g(1) ，因此得 g(1)=一 ln21，故选 C。7.设 g(x)可微， （分数：2.00）A.一 ln21 B.ln21C.一 ln22D.ln22解析：解析：h“(x)=e sin2x+g(x) .2cos2x+g“(x)，则 8.=( ) （分数：2.00）A. B.C.In(1+lnx)一 In(1+2x)D.In(1+lnx)一 21n(1+2x)解析：解析：9.设 f(x)=(x 一 a)(x 一 b)(xc)(x 一 d)，其中 a
14、，b，c，d 互不相等，且 f“(k)=(k 一 a)(k 一 b)(k 一 c)，则 k 的值等于( )（分数：2.00）A.aB.bC.cD.d 解析：解析：由题设条件得 f“(x)=(x 一 b)(x 一 c)(x 一 d)+(x 一 a)(xc)(x 一 d)+(x 一 a)(x 一 b)(x一 d)+(x 一 a)(x 一 b)(x 一 c)，且已知 f“(k)=(ka)(kb)(kc)，故 k=d。10.对任意的 x(一，+)，有 f(x+1)=f 2 (x)，且 f(0)=f“(0)=1，则 f“(1)=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.以上都不正确解析：解析：由
15、f“(0)=1 可知 f(x)在 x=0 处连续。令 x=0，则 f(1)=f 2 (0)=1，且由导数的定义可得 11.设函数 f(x)在(一，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(一 x)，当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时，有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：由 f(x)=f(一 x)可知 f(x)为偶函数，因可导偶函数的导数是奇函数，可导奇函数的导数是偶函数，即 f“(x)为奇函数 f“(x)为偶函数，因此当 x0 时，有 f“(x)0,f“
16、(x)0；当 x0 时，有f“(x)0,f“(x)0。故选 C。12.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f 2 (x)，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数是( )（分数：2.00）A.n!f(x) n+1 B.nf(x) n+1C.f(x) 2nD.n!f(x) 2n解析：解析：由 f“(x)=f 2 (x)可得 f“(x)=2f(x)f“(x)=2!f(x) 3 。假设 f (k) (x)=k!f(x) k+1 ，则f (k+1) (x)=(k+1)k!f(x) k f“(x)=(k+1)!f(x) k+2 ，由数学归纳法可知,f (n) (x)=n!f
17、(x) n+1 对一切正整数成立。13.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当 f（A）f（B）0，存在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有 C.当 f（A）=f（B）时，存在 (a，b)，使 f“()=0。D.存在 (a，b)，使 f（B）-f（A）=f“()(b 一 a)。解析：解析：因只知 f(x)在闭区间a，b上有定义，故选项 A、C、D 均不一定正确，故选 B。14.设在0，1上 f“(x)0，则 f“(0)，f“(1),f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是( )（分数：2.00）A.f
18、“(1)f“(0)f(1)一 f(0)B.f“(1)f(1)一 f(0)f“(0) C.f(1)一 f(0)f“(1)f“(0)D.f“(1)f(0)一 f(1)f“(0)解析：解析：由已知 f“(x)0，x0，1，所以函数 f“(x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定 理，可得 f(1)一 f(0)=f“()，(0，1)。 因此有 f“(0)f“()f“(1)， 即可得 f“(0)f(1)一f(0)f“(1)。 故选 B。15.设 f(x)=x 2 (x 一 1)(x 一 2)，则 f“(x)的零点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：容易验证 f(0)=f
19、(1)=f(2)=0，因此由罗尔定理知至少有 1 (0，1)， 2 (1，2)，使 f“( 1 )=f“( 2 )=0 成立，所以 f“(x)至少有两个零点。又 f“(x)中含有因子 x，因此可知 x=0 也是f“(x)的零点，因此选 D。16.设函数 f(x)在 R + 上有界且可导，则( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：可以用反证法证明选项 B 是正确的。假设二、填空题(总题数：10，分数：20.00)17.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sinx 2）解析：解析：令 x 一 t=u，则18.设函数 则 y=f(x)的反函数 x=f -1
20、 (y)在 y=0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由反函数的求导法则可知19.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ,f(2)=1，则 f“(2)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3）解析：解析：由题设知 f“(x)=e f(x) ，在此方程两边同时连续两次对 x 求导得 f“(x)=e f(n) y“(x)=e 2f(x) ，f“(x)=2e 2f(n) f“(x)=2e 3f(x) ，又 f(2)=1，故 f“(2)=2e 3f(2) =2e 3 。20.设函数 y=
21、y(x)由方程 y=1 一 xe y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 e）解析：解析：当 x=0 时，y=1。在方程两端对 x 求导，得 y“=一 e y 一 xe y y“，整理得 y“(1+xe y )=一 e y 21.已知 xy=e x+y ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在方程两端分别对 x 求导，得 y+xy “ =e x+y (1+y“)，即 22.沿 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：方程两边
22、对 x 求导可得，y+xy“+y“ey =1，解得 再次求导可得，2y“+xy“+y n e y +(y“) 2 e y =0，整理得 当 x=0 时，y=0，y“(0)=1，代入(*)得， 23.设 y=y(x)是由方程 x 2 一 y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：将 x=0 代入原方程可得 y=0。方程 x 2 一 y+1=e y 两端同时对 x 求导，有 将x=0，y=0 代入上式，可得 式(*)再次对 x 求导得 24.设可导函数 y=y(x)由方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一
23、1）解析：解析： ，令 x=0，则 y(0)=0。方程两端同时对 x 求导，得25.设 y=y(x)是由方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在方程两边对 x 求导得26.设 y=y(x)由方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：将 x=0 代入方程 可得 y=1，即 y(0)=1。在方程两边对 x 求导，得三、解答题(总题数：5，分数：10.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上,f(x)=x(x 2 一 4)，若对任意的 x 都满
24、足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数。（分数：4.00）(1).写出 f(x)在一 2，2上的表达式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当一 2x0，即 0x+22 时，f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 2 4=kx(x+2)(x+4)。所以,f(x)在一 2，2上为 )解析：(2).问 k 为何值时,f(x)在 x=0 处可导。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知 f(0)=0。 )解析：28.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f“(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y 一 xe y-1 =1 所确定。设 z=f(lny 一sinx)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
