1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 11及答案解析(总分：40.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2004年试题，二)设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（分数：2.00）A.x=0是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0不是 f(x)的极值点，且(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点
2、3.(2001年试题，二)曲线)，=(x 一 1) 2 (x一 3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.(2000年试题，二)设函数 f(x)满足关系式 f “ (x)+f “ (x) 2 =x，且 f “ (0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.点(0,f(0)是曲线)，y=(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点5.(2012年试题，一)曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.36.(2007年试题，一)曲线 （分数：2.00）A.0
3、B.1C.2D.37.(2009年试题，一)若 f “ (x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)上的曲率圆为 x 2 +y 2 =2，则 f(x)在区间(1，2)内( )（分数：2.00）A.有极限点，无零点B.无极值点，有零点C.有极值点，有零点D.无极值点，无零点二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.(2009年试题，二(13)函数 y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.(2008年试题，二)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_10.(2011年试题，三)设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_11.(20
4、04年试题，一)设函数 y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_12.(2010年试题，10)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_13.(2006年试题，一)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_14.(2005年试题，一)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_15.(2000年试题，一)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_16.(1998年试题，一)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：3，分数：8.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.(2004年试题，三(3)设 （分数：2.00）_(1999年试题，七)已知函数 （分数：6
5、.00）(1).函数的增减区间及极值；（分数：2.00）_(2).函数图形的凹凸区间及拐点；（分数：2.00）_(3).函数图形的渐近线（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 11答案解析(总分：40.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2004年试题，二)设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（分数：2.00）A.x=0是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=
6、f(x)的拐点C.x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0不是 f(x)的极值点，且(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：本题考查极值点与拐点的定义，若严格采用解析方法分析 f(x)与 f(x)在 x=0左、右侧的性质较为繁琐，由于 f(x)=x(1 一 x)是二次函数加绝对值符号，图形不难作出，可由此直接判断，如图126所示：3.(2001年试题，二)曲线)，=(x 一 1) 2 (x一 3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：本题考查拐点的充要条件，由题设 y=(x一 1) 2 (x一 3) 2
7、 ，则 y “ =4(x一 1)(x一 2)(x一 3)，且 y “ =4(3x 2 一 12x+11)令 y “ =0， 得 列表： 4.(2000年试题，二)设函数 f(x)满足关系式 f “ (x)+f “ (x) 2 =x，且 f “ (0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.点(0,f(0)是曲线)，y=(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：本题考查极值点及拐点的充分必要条件，由已知 f “ (0)=0及关系式 f “ (x)+f “ (x) 2 =x，
8、则 x=0是 f(x)的驻点，但还不能确定是否为极值点，在已知关系式中令 x=0，则 f 2 (0)=0，至此也无法确定 x=0点是否为拐点，还需对 f “ (0)作进一步分析将原关系式对戈求导，得 f “ (x)=1一 2f “ (x)f “ (x)，从而 f “ (0)=10，且由 f “ (x)的连续性(由其表达式所决定)知存在 0，使 x(一，)时，f “ (x)0，即在此小邻域内 f “ (x)严格单调递增，从而 f “ (x)在 x=0左、右异号，即 f “ (x)“ (x)0，x(0，)，由此可知 x=0是 f(x)的拐点，此外由前述，可知，当 x(-，0)时，f “ (x)“
9、(c)严格单调递减，而当(0，)时 f “ (x)0，则 f “ (x)严格单调递增，已知 f “ (0)=0，从而当 x(-，0)时 f “ (x)0，且当 x(0，)时 f “ (x)0，因此 x=0两侧 f “ (x)不变号，因此 f(0)并非极值点，综上，选 C 评注f(x)在点 x o 处满足 f (k-1) (x o )=0，f (h) (x o )0，则当 k(k2)为偶数时，x o 是函数的极值点，当 k为奇数时点(x o ,x o )是曲线 y=f(x)的拐点5.(2012年试题，一)曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：根据渐近线的定义可知， ，得直
10、线 y=1为已知曲线的水平渐近线，又由6.(2007年试题，一)曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析： 则 x=0是曲线的垂直渐近线； ，则 y=0是曲线的水平渐近线；7.(2009年试题，一)若 f “ (x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)上的曲率圆为 x 2 +y 2 =2，则 f(x)在区间(1，2)内( )（分数：2.00）A.有极限点，无零点B.无极值点，有零点 C.有极值点，有零点D.无极值点，无零点解析：解析：因为曲线 y=f(x)在点(1，1)上的曲率圆为 x 2 +y 2 =2，且 f “ (x)不变号，所以 f(x)是一个凸函数，即 f
11、“ (x)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.(2009年试题，二(13)函数 y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 y=x 2x =e 2xlnx ，所以 y “ =e 2xlnx (21nx+2)=2(1nx+1)x “ 令 y “ =0，的驻点 又 y “ =4(1nx+1) “ x 2x +2x 2x-1 ，则 故 为 y=x 2x 的极小值点，也是在区间(0，1内的最小值，即 ）解析：9.(2008年试题，二)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：一般不说某个值为拐点
12、，拐点应该为曲线上的点，可以说点的坐标10.(2011年试题，三)设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 得 t=1， 当 t=1时，因为 所以当 t=一 1即 x=一 1时，函数取极大值 y=1 当 t=1时，因为 所以当 t=1 即 时，函数取极小值 令 得 t=0，当 t 当 t 时，函数为凸函数；当 t0即 ）解析：11.(2004年试题，一)设函数 y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设， 则 令 则 即t3 +3t+1，则 ）解析：解析：当 t0 时，x112.(2010年试题，10)曲线
13、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为*所以该曲线的渐近线方程为 y=2x）解析：13.(2006年试题，一)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为*所以所求水平渐近线方程为*）解析：14.(2005年试题，一)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：根据题意可得 所以，曲线的斜渐近线方程为 ）解析：15.(2000年试题，一)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：本题考查求斜渐近线的斜率与截距的公式，由已知， ）解析：解析：看极限16.(1998年试题，一)曲线 （分数：2.00）填空项 1:_
14、 （正确答案：正确答案：通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线由题设 因此无水平渐近线又由 因此也无铅直渐近线关于斜渐近线， 设 因此有斜渐近线为 ）解析：解析：一般先通过极限确定铅直、水平和斜渐近线三、解答题(总题数：3，分数：8.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.(2004年试题，三(3)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设， 则 所以 f(x)是以， 为周期的周期函数显然 f(x)的值域只需局限于0，上讨论 令 f “ (0)=0，则得驻点为 且 同时 f(x)在0，端点的值为 所以 ，综上知 f(x)的值域为 )解析：(199
15、9年试题，七)已知函数 （分数：6.00）(1).函数的增减区间及极值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 的定义域为(一，1)U(1，+)，且 令y “ =0得驻点 x 1 =0及 x 2 =3又 令 y “ =0，得 x=0，列表如下 函数的单调递增区间为(一，1)和(3，+)，单调递减区间为(1，3)；极值为 )解析：(2).函数图形的凹凸区间及拐点；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数图形在区间(一，0)内是上凸的，在区间(0，1)，(1，+)内是下凸的，拐点为点(0，0)解析：(3).函数图形的渐近线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 知，x=1 是函数图形的铅直渐近线；又 )解析：解析：考虑渐近线，一般要考虑 x，x+，x-三种情况
