1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 48 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()连续，且 F() （分数：2.00）A.B.C.D.3.当 0，1时，f()0，则 f(0)，f(1)，f(1)f(0)的大小次序为( )（分数：2.00）A.f(0)f(1)f(0)f(1)B.f(0)f(1)f(1)f(0)C.f(0)f(1)f(1)f(0)D.f(0)f(1)f(0)f(1)4.设 f()在0，)上连续，在(0，)内可导，则( )（分数：2
2、.00）A.若 f()0，则B.若 f()0，则C.若 f()，则D.若 f()A0，则5.设 f()，g()(ab)为大于零的可导函数，且 f()g()f()g()0，则当ab 时，有( )（分数：2.00）A.f()g(b)f(b)g()B.f()g(a)f(a)g()C.f()g()f(b)g(b)D.f()g()f(a)g(a)6.设 f()在 0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f(0)0C.取极大值D.取极小值7.设 f()连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f()在(0，)内单调增加B.f()在(，0)内单调减少C.对任意
3、的 (，0)，有 f()f(0)D.对任意的 (0，)，有 f()f(0)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设 f()ln(2 2 1)，则 f (n) () 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 () （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f()连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_13.ye 在 0 处的曲率半径为 R 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15
4、.证明：当 1 时， （分数：2.00）_16.证明：当 0 时，arctan （分数：2.00）_17.证明：当 01 时， （分数：2.00）_18.当 0 时，证明： （分数：2.00）_19.设 f()在0，1上连续，且 f()1，证明：2 0 f(t)dt1 在(0，1)有且仅有一个根（分数：2.00）_20.求曲线 y （分数：2.00）_21.求曲线 y （分数：2.00）_22.求 yf() （分数：2.00）_23.证明：当 0 时， （分数：2.00）_24.设 0a1，证明：方程 arctana 在(0，)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_25.设 f()在a，b上连
5、续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)f()ln （分数：2.00）_26.设 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明：存在 (a，b)，使得 f()f()g()0（分数：2.00）_27.设 f()在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0) 0 2 f(t)dtf(2)f(3) 证明：(1)存在 1 ， 2 (0，3)，使得 f( 1 )f( 2 )0 (2)存在 (0，3)，使得 f()2f()0（分数：2.00）_28.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0(12)，又 存在且
6、非零，证明： (1)存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_29.设 f()在a，b上二阶可导且 f()0，证明：f()在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_30.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 0 1 f(t)dt0 证明：存在 (0，1)，使得 f() 0 f(t)dt（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 48 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()连续，且 F() （分数：2.00）A.
7、B.C.D.解析：解析：F()f(ln).(ln)3.当 0，1时，f()0，则 f(0)，f(1)，f(1)f(0)的大小次序为( )（分数：2.00）A.f(0)f(1)f(0)f(1)B.f(0)f(1)f(1)f(0)C.f(0)f(1)f(1)f(0)D.f(0)f(1)f(0)f(1) 解析：解析：由拉格朗日中值定理得 f(1)f(0)f(c)(0c1)， 因为 f()0，所以 f()单调增加，故 f(0)f(c)f(1)， 即 f(0)f(1)f(0)f(1)，应选 D4.设 f()在0，)上连续，在(0，)内可导，则( )（分数：2.00）A.若 f()0，则B.若 f()0，
8、则C.若 f()，则D.若 f()A0，则 解析：解析：取 f() ，显然 f()0，但 ，A 不对； 取 f()cos，显然 0，但 10，B 不对； 取 f()，显然 f()，但5.设 f()，g()(ab)为大于零的可导函数，且 f()g()f()g()0，则当ab 时，有( )（分数：2.00）A.f()g(b)f(b)g() B.f()g(a)f(a)g()C.f()g()f(b)g(b)D.f()g()f(a)g(a)解析：解析：由 f()g()f()g()得 0， 即 0，从而 为单调减函数 由 ab 得6.设 f()在 0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可
9、导但 f(0)0C.取极大值D.取极小值 解析：解析：由 2 得 f(0)0， 由极限保号性，存在 0，当 0 时，7.设 f()连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f()在(0，)内单调增加B.f()在(，0)内单调减少C.对任意的 (，0)，有 f()f(0)D.对任意的 (0，)，有 f()f(0) 解析：解析：因为 f(0) 0， 所以由极限的保号性，存在 0，当 0 时，二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设 f()ln(2 2 1)，则 f (n) () 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1) n-1 (n1) ）解
10、析：解析：f()ln21)(1ln(21)ln(1)，9.设 () （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 ）解析：解析：() f(t)dt tf(t)dt ()2 f(t)dt2 3 f( 2 )2 3 f( 2 )2 f(t)dt ()2 10.设 f()连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f()）解析：解析： 0 tf(t)dt 0 (u)f(u)(du) 0 (u)f(u)du 0 f(u)du 0 uf(u)du， 于是 tf(t)dt 0 f(u)du，故 11.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y3
11、）解析：解析：12.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y）解析：解析：由 0，得曲线 y13.ye 在 0 处的曲率半径为 R 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2*）解析：解析：y(0)1，y(0)1，则曲线 ye 在 0 处的曲率为 k ，则曲率半径为R2 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.证明：当 1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()(1)ln(1)ln，f(1)2ln20， 因为 f()ln(1)1ln1ln(1
12、 )0(1)， 所以 f()在1，)上单调增加， 再由 f(1)2ln20 得当 1 时，f()0，即 )解析：16.证明：当 0 时，arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()arctan ， 因为 f() 0(0)，所以 f()在(0，)内单调递减， 又因为 ，所以 f() ，即 arctan )解析：17.证明：当 01 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()(1)ln(1) arcsin，f(0)0， f()ln(1) arcsin0(01)， 由 得当 01 时，f()0，故 )解析：18.当 0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：
13、(正确答案：令 f()sin，f(0)0 f()1cos0(0 )， 由得 f()0(0 )，即当 0 时，sin； 令 g()sin ，g(0)0，g( )0 由 g()sin0(0 )得 g()在(0，)内为凸函数 由 得 g()0(0 )，即当 0 时， sin， 故当 0 时， )解析：19.设 f()在0，1上连续，且 f()1，证明：2 0 f(t)dt1 在(0，1)有且仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()2 0 f(t)dt1，(0)1，(1)1 0 1 f(t)dt， 因为 f()1，所以 0 1 (t)dt1，从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在
14、 c(0，1)，使得 (c)0 因为 ()2f()0，所以 ()在0，1上单调增加，故方程 2 0 f(t)dt1有且仅有一个根)解析：20.求曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 y0 得(3) 2 10，解得 24， 故曲线 y )解析：21.求曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 11 得 曲线 y )解析：22.求 yf() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()，所以 yf()没有水平渐近线， 由 f()得0 为铅直渐近线， 由 f()得 2 为铅直渐近线， )解析：23.证明：当 0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答
15、案：令 (t)ln(t)，由拉格朗日中值定理得 ln(1 )ln(1)ln(1)(0)() (01)， 由 )解析：24.设 0a1，证明：方程 arctana 在(0，)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()arctana，由 f() a0 得 ， 由 f() 0 得 为 f()的最大值点， 由 f()，f(0)0 得方程arctana 在(0，)内有且仅有唯一实根，位于( )解析：25.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)f()ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F()ln，F(
16、) 0， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 即 ，整理得 f(b)f(a)f()ln )解析：26.设 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明：存在 (a，b)，使得 f()f()g()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()f()e g() ， 由 f(a)f(b)0 得 (a)(b)0，则存在(a，b)，使得 ()0， 因为 ()e g() f()f()g()且 e g() 0，所以f()f()g()0)解析：27.设 f()在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0) 0 2 f(t)dtf(2)f(3) 证明：(1)存
17、在 1 ， 2 (0，3)，使得 f( 1 )f( 2 )0 (2)存在 (0，3)，使得 f()2f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F() 0 f(t)dt，F()f()， 0 2 f(t)dtF(2)F(0)F(c)(20)2f(c)，其中 0c2 因为 f()在2，3上连续，所以 f()在2，3上取到最小值 m 和最大值 M， m M 由介值定理，存在 0 2，3，使得 f( 0 ) ，即 f(2)f(3)2f( 0 )， 于 f(0)f(c)f( 0 )， 由罗尔定理，存在 1 (0，c) (0，3)， 2 (c， 0 ) (0，3)，使得 f( 1 )f(
18、2 )0 (2)令 ()e 2 f()，( 1 )( 2 )0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：28.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0(12)，又 存在且非零，证明： (1)存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 h()ln，F() 1 f(t)dt，且 F()f()0， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 ， 即 (2)由 )解析：29.设 f()在a，b上二阶可导且 f()0，证明：f()在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 1 ， 2 (a，b)且 1 2 ，取 0 ，由泰勒公式得 f()f( 0 )f( 0 )( 0 ) ( 0 ) 2 ，其中 介于 0 与 之间 因为 f()0，所以 f()f( 0 )f( 0 )( 0 )，“”成立当且仅当“ 0 。”， 从而 两式相加得 f( 0 ) ，即 )解析：30.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 0 1 f(t)dt0 证明：存在 (0，1)，使得 f() 0 f(t)dt（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()e 0 (t)dt， 因为 (0)(1)0，所以存在 (0，1)，使得 ()0， 而 ()e f() 0 f(t)dt且 e 0，故 f() 0 f(t)dt)解析：
