1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 51 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()连续，且 （分数：2.00）A.f()在 0 处不可导B.f()在 0 处可导且 f(0)0C.f()在 0 处取极小值D.f()在 0 处取极大值3.设 f()具有二阶连续导数，且 （分数：2.00）A.1 为 f()的极大值点B.1 为 f()的极小值点C.(1，f(1)为 yf()的拐点D.1 不是 f()的极值点，(1，f(1)也不是 yf()的拐点4.设
2、 f()二阶连续可导，f(0)0，且 （分数：2.00）A.0 为 f()的极大值点B.0 为 f()的极小值点C.(0，f(0)为 yf()的拐点D.0 不是 f()的极值点，(0，f(0)也不是 yf()的拐点5.设 yy()由 （分数：2.00）A.2e 2B.2e -2C.e 2 1D.e -2 16.设函数 f()二阶可导，且 f()0，f()0，yf()f()，其中0，则( )（分数：2.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy07.设 f()连续，f(0)0， （分数：2.00）A.f(0)是 f()的极大值B.f(0)是 f()的极小值C.(0，f(0)是 yf()
3、的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0)也非 yf()的拐点8.设函数 f()在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，f(0)0，f()0，则 （分数：2.00）A.单调增加B.单调减少C.恒等于零D.非单调函数二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设周期为 4 的函数 f()处处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f()为偶函数，且 f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f()在 a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(a)存在且不等于零，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设
4、 f()为奇函数，且 f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 f() （分数：2.00）_17.设 f() 0 1 ysin （分数：2.00）_18.设 f()连续，且对任意的 ，y(，)有 f(y)f()(y)2y，f(0)1，求f()（分数：2.00）_19.设 f() （分数：2.00）_20.设 f()二阶连续可导，且 f(0)f(0)0，f(0)0，设 u()为曲线 yf()在点(，f()处的切线在 z 轴上的截距，求 （分数：2.00）_21.设
5、f()在 a 处二阶可导，证明 （分数：2.00）_22.设 f()连续，f(0)0，f(0)1，求 （分数：2.00）_23.设 ，求 （分数：2.00）_24.设 f()连续，且 g() 0 2 (t)dt，求 g()（分数：2.00）_25.证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性（分数：2.00）_26.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_27.设 f()在a，b上有定义，M0 且对任意的 ，ya，b，有f()f(y)My k (1)证明：当 k0 时，f()在a，b上连续； (2)证明：当 k1 时，f()常数（分数：2.00）
6、_28.设 f() （分数：2.00）_29.设对一切的 ，有 f(1)2f()，且当 0，1时 f()( 2 1)，讨论函数 f()在0 处的可导性（分数：2.00）_30.设 f() （分数：2.00）_31.设 0 cos(t) 2 dt 确定 y 为 的函数，求 （分数：2.00）_32.设 f()二阶可导，f(0)0，令 g() （分数：2.00）_33.设 f() （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 51 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（
7、分数：2.00）_解析：2.设 f()连续，且 （分数：2.00）A.f()在 0 处不可导B.f()在 0 处可导且 f(0)0C.f()在 0 处取极小值D.f()在 0 处取极大值 解析：解析： 2 得 f(0)1， 由极限的保号性，存在 0，当 0 时，3.设 f()具有二阶连续导数，且 （分数：2.00）A.1 为 f()的极大值点B.1 为 f()的极小值点C.(1，f(1)为 yf()的拐点 D.1 不是 f()的极值点，(1，f(1)也不是 yf()的拐点解析：解析：由 2 及 f()二阶连续可导得 f(1)0； 因为 20，所以由极限保号性，存在 0，当 01 时， 0， 从
8、而4.设 f()二阶连续可导，f(0)0，且 （分数：2.00）A.0 为 f()的极大值点 B.0 为 f()的极小值点C.(0，f(0)为 yf()的拐点D.0 不是 f()的极值点，(0，f(0)也不是 yf()的拐点解析：解析：因为 10， 所以由极限的保号性，存在 0，当 0 时， 0， 注意到 3 o()，所以当 0 时，f()0， 从而 f()在(，)内单调递减，再由 f(0)0 得 5.设 yy()由 （分数：2.00）A.2e 2 B.2e -2C.e 2 1D.e -2 1解析：解析：当 0 时，由 1 y dt0 得 y1， dt0 两边对 求导得 1 0， 解得 ，且
9、e1， 由 得 y(0) 6.设函数 f()二阶可导，且 f()0，f()0，yf()f()，其中0，则( )（分数：2.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy0 解析：解析：根据微分中值定理，yf()f()f()0()，dyf()0，因为 f()0，所以 f()单调增加，而 ，所以 f()f()，于是 f()f()，即 dyy0，选 D7.设 f()连续，f(0)0， （分数：2.00）A.f(0)是 f()的极大值B.f(0)是 f()的极小值 C.(0，f(0)是 yf()的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0)也非 yf()的拐点解析：解析： 1 及 f()的连续性，得
10、f(0)0，由极限的保号性，存在 0，当0 时，8.设函数 f()在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，f(0)0，f()0，则 （分数：2.00）A.单调增加B.单调减少 C.恒等于零D.非单调函数解析：解析： 令 h()f()f()，h(0)0，h()f()0(0a)， 由得 h()0(0a)， 于是 0(0a)，故二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 得10.设周期为 4 的函数 f()处处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y24）解析：解析：由 得 f(1)2，
11、再由11.设 f()为偶函数，且 f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：因为 f()为偶函数，所以 f()为奇函数，于是 f(1)2，12.设 f()在 a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10f(a)f(a)）解析：解析：因为 f()在 a 处可导，所以 f()在 a 处连续，于是13.设 f(a)存在且不等于零，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 f()为奇函数，且 f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因
12、为 f()为奇函数，所以 f()为偶函数， 由 f( 3 )3 2 f( 3 )得 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 由 A(21)B(2)43 得 ， 解得A1，B2， 即 f() 故 f (n) () )解析：17.设 f() 0 1 ysin （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则 f() )解析：18.设 f()连续，且对任意的 ，y(，)有 f(y)f()(y)2y，f(0)1，求f()（分数：2.00）_正确答案：(
13、正确答案：当 y0 时，f(0)2f(0)，于是 f(0)0 对任意的 (，)， )解析：19.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0f(). 得 f()0f(0)，故 f()在0 处连续 由 1 得 f (0)1， 再由 )解析：20.设 f()二阶连续可导，且 f(0)f(0)0，f(0)0，设 u()为曲线 yf()在点(，f()处的切线在 z 轴上的截距，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 yf()在点(，f()的切线为 Yf()f()(X)， 令Y0，则 u()X ，则 )解析：21.设 f()在 a 处二阶可导，证明 （分数：2.00）_正确
14、答案：(正确答案： )解析：22.设 f()连续，f(0)0，f(0)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： a a f(a)d a a f(a)d a a f(a)d(A) a a f(a)d(a) 0 2a f()d 2a 0 f()d 0 2a ()d 0 -2a f()d， 又由 ln(1a)a o(a 2 )得 a0 时 aln(1a) ，于是 )解析：23.设 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 两边对 求导数得 )解析：24.设 f()连续，且 g() 0 2 (t)dt，求 g()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：g() 2 0 f(t)d
15、(t) 2 0 f(u)du 2 0 f(u)du， g()2 0 f(u)du 2 f()解析：25.证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f()在a，b上连续，令 g()f()， 对任意的 0 a，b，有 0g()g( 0 )f()f( 0 )f()f( 0 )， 因为 f()在a，b上连续，所以 f()f( 0 )， 由迫敛定理得 )解析：26.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 当 0 时，f() ，当 0 时，f(0) 0， 即 因为 )解析：27
16、.设 f()在a，b上有定义，M0 且对任意的 ，ya，b，有f()f(y)My k (1)证明：当 k0 时，f()在a，b上连续； (2)证明：当 k1 时，f()常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对任意的 0 a，b，由已知条件得 0f()f( 0 )M 0 k ， f()f( 0 )， 再由 0 的任意性得 f()在a，b上连续 (2)对任意的 0 a，b，因为 k1， 所以 0 )解析：28.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()在 0 处连续，得 b0 由 f()在 0 处可导，得 a2， 所以 f() 则 f() )解析：29.设对一切
17、的 ，有 f(1)2f()，且当 0，1时 f()( 2 1)，讨论函数 f()在0 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 1，0时，f() f(1) (1)( 2 2)， )解析：30.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0 时，f() ，当 0 时，f()cos，由 f (0) 1，f + (0) 1 得 f(0)1，则 容易验证 )解析：31.设 0 cos(t) 2 dt 确定 y 为 的函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 cos(t) 2 dt 0 cosu 2 (du) 0 cost 2 dt， 等式 0 cost 2
18、dt 两边对 求导，得 cos 2 ， 于是 )解析：32.设 f()二阶可导，f(0)0，令 g() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 f(0)g(0)， 所以 g()在 0 处连续 当 0 时，g() ； 当 0 时，由 得 g(0) f(0)，即 (2)由题意得： )解析：33.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当1 时，f() ； 当 1 时，f()1；当 1 时，f()1； 又 2， 0，则 f()在 1 处不连续，故也不可导 由 f(10)f(10)f(1)得 f()在 1 处连续 因为 所以 f()在 1 处也不可导， 故 f() )解析：
