1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 53及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()连续可导，g()在 0 的邻域内连续，且 g(0)1，f()sin2 0 g(t)dt，则( )（分数：2.00）A.0 为 f()的极大值点B.0 为 f()的极小值点C.(0，f(0)为 yf()的拐点D.0 非极值点，(0，f(0)非 yf()的拐点3.设 f()二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f()的极小值B.f(0)是 f()的极大值C
2、.(0，f(0)是曲线 yf()的拐点D.0 是 f()的驻点但不是极值点4.设函数 f()满足关系 f()f 2 ()，且 f(0)0，则( )（分数：2.00）A.f()是 f()的极小值B.f(0)是 f()的极大值C.(0，f(0)是 yf()的拐点D.(0，f(0)不是 yf()的拐点5.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f()在 0 二阶可导，则 f()在 0 处连续B.f()在a，b上的最大值一定是其极大值C.f()在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f()在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点6.
3、设 f()在a，)上二阶可导，f(a)0，f(a)0，且 f()k(ko)，则 f()在(a，)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0个B.1个C.2个D.3个7.设 k0，则函数 f()ln （分数：2.00）A.0个B.1个C.2个D.3个8.曲线 y （分数：2.00）A.0条B.1条C.2条D.3条9.设函数 f()在(，)内连续，其导数的图形如图，则 f()有( ) （分数：2.00）A.两个极大值点，两个极小值点，一个拐点B.两个极大值点，两个极小值点，两个拐点C.三个极大值点，两个极小值点，两个拐点D.两个极大值点，三个极小值点，两个拐点二、填空题(总题数：6，分数：12.
4、00)10.设函数 yy()由 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.设 F() 0 ( 2 t 2 )f(t)dt，其中 f()在 0 处连续，且当 0 时，F() 2 ，则 f(0) 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 f()在(，)上可导， f()e 2 ，又 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(，y)可微，f(1，2)2，f (1，2)3，f y (1，2)4，()f，f(，2)，则 (1) 1（分数：2.00）填空项 1:_15.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：
5、38.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.就 k的不同取值情况，确定方程 3 30k0 根的个数（分数：2.00）_18.设是为常数，方程 k （分数：2.00）_19.设 f()在1，1上可导，f()在 0 处二阶可导，且 f(0)0，f(0)4求 （分数：2.00）_20.设 f()二阶连续可导且 f(0)f(0)0，f()0曲线 yf()上任一点(，f()(0)处作切线，此切线在 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_21.设函数 f() （分数：2.00）_22.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f + (a)f (b
6、)0证明：存在 (a，b)，使得 f()0（分数：2.00）_23.设 f()在0，2上三阶连续可导，且 f(0)1，f(1)0，f(2) （分数：2.00）_24.设 f()是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)abf(b) 证明：存在 i (a，b)(i1，2，n)，使得 （分数：2.00）_25.设函数 yf()二阶可导，f()0，且与 (y)互为反函数，求 (y)（分数：2.00）_26.设 f()在 0 的邻域内连续，在 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_27.设 f()在0，1上二阶可导，且 f(0)f(1)0证明：存在 (0，1)，使得 f
7、() （分数：2.00）_28.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1，证明：对任意的 a0，b0，存在 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_29.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0， a b f()d0证明： (1)存在 c(a，b)，使得 f(c)0； (2)存在 i (a，b)(i1，2)，且 1 2 ，使得 f( i )f( i )0(i1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f()f()； (4)存在 (a，b)，使得f()3f()2f()0（分数：2.00）_30.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f()
8、在a 1 ，a n 上 n阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )f(a 2 )f(a n )0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 f(c) （分数：2.00）_31.设 f()二阶连续可导，且 f()0又 f(h)f()f(h)h(01)证明（分数：2.00）_32.设 f()在0，1连续可导，且 f(0)0证明：存在 0，1，使得 f()2 0 1 f()d（分数：2.00）_33.求 （分数：2.00）_34.设 3 3yy 3 3 确定隐函数 yy()，求 yy()的极值（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 53答案解析(总分：68.00，做题时间：90
9、 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()连续可导，g()在 0 的邻域内连续，且 g(0)1，f()sin2 0 g(t)dt，则( )（分数：2.00）A.0 为 f()的极大值点 B.0 为 f()的极小值点C.(0，f(0)为 yf()的拐点D.0 非极值点，(0，f(0)非 yf()的拐点解析：解析：由 0 g(t)dt 0 g(u)du得 f()sin2 0 g(u)du，f(0)0， 3.设 f()二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f()的极小值B.f(
10、0)是 f()的极大值C.(0，f(0)是曲线 yf()的拐点 D.0 是 f()的驻点但不是极值点解析：4.设函数 f()满足关系 f()f 2 ()，且 f(0)0，则( )（分数：2.00）A.f()是 f()的极小值B.f(0)是 f()的极大值C.(0，f(0)是 yf()的拐点 D.(0，f(0)不是 yf()的拐点解析：解析：由 f(0)0 得 f(0)0，f()12f()f()，f(0)10，由极限保号性，存在 0，当 0 时，f()0，再由 f(0)0，得5.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f()在 0 二阶可导，则 f()在 0 处连续B.f()在a，b上的
11、最大值一定是其极大值C.f()在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f()在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点 解析：解析：令 f() f(0)0，但6.设 f()在a，)上二阶可导，f(a)0，f(a)0，且 f()k(ko)，则 f()在(a，)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0个B.1个 C.2个D.3个解析：7.设 k0，则函数 f()ln （分数：2.00）A.0个B.1个C.2个 D.3个解析：8.曲线 y （分数：2.00）A.0条B.1条C.2条D.3条 解析：解析：因为 ，所以曲线 y 无水平渐近线
12、； 由 ，得曲线 y 有两条铅直渐近线； 由 0，得曲线 y9.设函数 f()在(，)内连续，其导数的图形如图，则 f()有( ) （分数：2.00）A.两个极大值点，两个极小值点，一个拐点B.两个极大值点，两个极小值点，两个拐点C.三个极大值点，两个极小值点，两个拐点 D.两个极大值点，三个极小值点，两个拐点解析：解析：设当 0 时，f()与 轴的两个交点为( 1 ，0)，( 2 ，0)，其中 1 2 ；当 0 时，f()与 轴的两个交点为( 3 ，0)，( 4 ，0)，其中 3 4 当 1 时，f()0，当 ( 1 ， 2 )时，f()0，则 1 为 f()的极大点； 当( 2 ，0)时，
13、f()0，则 2 为 f()的极小值点；当 (0， 3 )时，f()0，则 0 为 f()的极大值点；当 ( 3 ， 4 )时，f()0，则 3 为 f()的极小值点；当 4 时，f()0，则 4 为 f()的极大值点，即 f()有三个极大值点，两个极小值点，又 f()有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，yf()有两个拐点，选 C二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设函数 yy()由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*(ln2)）解析：11.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：
14、1）解析：解析：因为 f()在 1 处可微，所以 f()在 1 处连续， 于是 f(10)f(1)1f(10)ab，即 ab112.设 F() 0 ( 2 t 2 )f(t)dt，其中 f()在 0 处连续，且当 0 时，F() 2 ，则 f(0) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F() 2 0 f(t)dt 0 t 2 f(t)dt，F()2 0 f(t)dt， 因为当 0 时，F() 2 故 f(0) 13.设 f()在(，)上可导， f()e 2 ，又 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 由 f()f(1)f
15、()，其中 介于 1 与 之间，令 ，由 f()e 2 ， f()f(1) 14.设 f(，y)可微，f(1，2)2，f (1，2)3，f y (1，2)4，()f，f(，2)，则 (1) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：47）解析：解析：因为 ()f ，f(，2)f y ，f(，2)f z (，2)2f y (，2)， 所以 (1)f 1，f(1，2)f y 1，f(1，2)f (1，2)2f y (1，2) 34(38)4715.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y24）解析：解析： 曲线 y三、解答题(总题数：19，分数：38.0
16、0)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.就 k的不同取值情况，确定方程 3 30k0 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 3 3k， f()， )解析：18.设是为常数，方程 k （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()k f()k ，(0，) (1)若 k0，由 f()， f()，又 f()k 0，所以原方程在(0，)内恰有一个实根； (2)若 k0， 10，又 f() 0，所以原方程也恰有一个实根； (3)若k0， ， 令 f() ， 又 f() 0，所以 f( 0 )12 为f()的最大值， 令 12
17、0，得 k ， 所以 k的取值范围是kk )解析：19.设 f()在1，1上可导，f()在 0 处二阶可导，且 f(0)0，f(0)4求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 对 0，有 ln(1) 1，同理 )解析：20.设 f()二阶连续可导且 f(0)f(0)0，f()0曲线 yf()上任一点(，f()(0)处作切线，此切线在 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 yf()在点(，f()处的切线方程为 Yf()f()(X)， 令 Y0 得 u ，由泰勒公式得 f(u) f( 1 )u 2 其中 1 介于 0与 u之间， f() f( 2 ) 2 其中
18、 2 介于 0与 u之间， )解析：21.设函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 当 ag(0)时，f()在 0 处连续 因为 )解析：22.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f + (a)f (b)0证明：存在 (a，b)，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f (a)0，f (b)0，根据极限的保号性，由 f (a) 0，则存在 0(ba)，当 0a 时， )解析：23.设 f()在0，2上三阶连续可导，且 f(0)1，f(1)0，f(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，得 两式相减，得 )解析：
19、24.设 f()是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)abf(b) 证明：存在 i (a，b)(i1，2，n)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h ，因为 f()在a，b上连续且单调增加，且 f(a)abf(b)， 所以 f(a)aaha(n1)hbf(b)，由端点介值定理和函数单调性， 存在 ac 1 c 2 c n-1 b，使得 f(c 1 )ah，f(c 2 )a2h，f(c n-1 )a(n1)h，再由微分中值定理，得 f(c 1 )f(a)f( 1 )(c 1 a)， 1 (a，c 1 )， f(c 2 )f(c 1 )f( 2 )(c
20、 2 c 1 )， 2 (c 1 ，c 2 )， f(b)f(c n-1 )f( n )(bc n-1 )， n (c n-1 ，b)， 从而有 )解析：25.设函数 yf()二阶可导，f()0，且与 (y)互为反函数，求 (y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 (y) 于是)解析：26.设 f()在 0 的邻域内连续，在 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f()f( 0 )f()( 0 )，其中 介于 0 与 之间， )解析：27.设 f()在0，1上二阶可导，且 f(0)f(1
21、)0证明：存在 (0，1)，使得 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()(1) 2 f()，显然 ()在0，1上可导由 f(0)f(1)0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)0，再由 (c)(1)0，根据罗尔定理，存在(c，1) (0，1)，使得 ()0，而 ()2(1)f()(1) 2 f()，所以 2(1)f()(1) 2 f()0，整理得 f() )解析：28.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1，证明：对任意的 a0，b0，存在 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在0，1上连续
22、，f(0)0，f(1)1，且 f(0) f(1)，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c) 由微分中值定理，存在 (0，c)，(c，1)，使得 )解析：29.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0， a b f()d0证明： (1)存在 c(a，b)，使得 f(c)0； (2)存在 i (a，b)(i1，2)，且 1 2 ，使得 f( i )f( i )0(i1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f()f()； (4)存在 (a，b)，使得f()3f()2f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F() a f(t)dt，则 F
23、()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且F()f() 故存在 c(a，b)，使得 a b f()dF(b)F(a)F(c)(ba)f(c)(ba)0，即 f(c)0 (2)令 h()e f()，因为 h(a)h(c)h(b)0，所以由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h( 1 )h( 2 )0， 而 h()e f()f()且 e 0，所以 f( i )f( i )0(i1，2) (3)令 ()e f()f()，( 2 )( 2 )0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 ()0， 而 ()e f()f()且 e 0，所以 f()f() (4)令 g()
24、e f()，g(a)g(c)g(b)0， 由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 g( 1 )g( 2 )0， 而 g()e f()f()且 e 0，所以 f( 1 )f( 1 )0，f( 2 )f( 2 )0 令 P(z)一 e-2X Ef(z)一厂(z)，P(7，)一垆(孕)一 0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：30.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f()在a 1 ，a n 上 n阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )f(a 2 )f(a n )0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 f(c) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
25、当 ca i (i1，2，n)时，对任意的 (a 1 ，a n )，结论成立； 设 c为异于 a 1 ，a 2 ，a n 的数，不妨设 a 1 ca 2 a n 令 k 构造辅助函数()f()k(a 1 )(a 2 )(a n )，显然 ()在a 1 ，a n 上 n阶可导，且 (a 1 )(c)(a 2 )(a n )0， 由罗尔定理，存在 1 (1) (a 1 ，c)， 2 (1) (c，a 2 )， n (1) (a n-1 ，a n )，使得 ( 1 (1) )( 2 (1) )( n (1) )0，()在(a 1 ，a n )内至少有 n个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n-1)
26、()在(a 1 ，a n )内至少有两个不同零点，设为 c 1 ，c 2 (a 1 ，a n )，使得 (n-1) (c 1 ) n-1 (c 2 )0， 再由罗尔定理，存在 (c 1 ，c 2 ) (a 1 ，a 2 )，使得 (n) ()0 而 n ()f (n) ()n!k，所以 f (n) ()n!k，从而有 )解析：31.设 f()二阶连续可导，且 f()0又 f(h)f()f(h)h(01)证明（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(h)f()f()h h 2 ，其中 介于 与h 之间 由已知条件得 f(h)hf()h ，或 f(h)f() ， 两边同除以 h，
27、得 两边取极限得 ，而 f()0，故 )解析：32.设 f()在0，1连续可导，且 f(0)0证明：存在 0，1，使得 f()2 0 1 f()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在区间0，1上连续，所以 f()在区间0，1上取到最大值 M和最小值 m，对 f()f(0)f(c)(基中 c介于 0与 之间)两边积分得 0 1 f()d 0 1 f(c)d， 由 mf(c)M 得 m 0 1 d 0 1 f(c)dM 0 1 d， 即 m2 0 1 f(c)dM 或 m2 0 1 f()dM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()2 0 1 f()d)解析：33.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() (1)， 由 f() 得 f() ，令 f()0 得 e 当 (0，e)时，f()0；当 (e，)时，f()0，则 e 为 f()的最大点，于是( )的最大项为 或 ， 因为 ，所以最大项为 )解析：34.设 3 3yy 3 3 确定隐函数 yy()，求 yy()的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 3 3yy 3 3 两边对 求导得 3 2 3y3y3y 2 y0， 因为 y(1)10，所以 1 为极小值点，极小值为 y(1)1； 因为 y( )10，所以 为极大值点，极大值为 )解析：
