1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 60 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在。B.极限存在但不连续。C.连续但不可导。D.可导。3.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sin)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.充分条件但非必要条件。C.必要条件但非充分条件。D.既非充分条件也非必要条件。4.设函数 f()可导，y=f(x 2
2、)当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量x=一 01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f (1)等于( )（分数：2.00）A.一 1。B.01。C.1。D.05。5.对任意的 x(一，+)，有 f(x+1)=f 2 (x)，且 f(0)=f (0)=1，则 f (1)=( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.以上都不正确。6.设函数 f(x)在 R 上有界且可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x)在(0，+)二阶可导，且满足 f(0)=0，f (x)0(x0)，又设 ba0，则 axb 时恒有( )（分数：2.00）A.af(x)xf(a
3、)。B.bf(x)xf(b)。C.xf(x)bf(b)。D.xf(x)af(a)。8.曲线 y=(x 一 1) 2 (x 一 3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。9.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f (1)=0， （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值。B.f(1)是 f(x)的极小值。C.(1，f(1)是曲线 f(x)的拐点。D.f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点。10.若 f (x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x 2 +y 2 =2，则函数 f(x)在区间(1，2)内(
4、 )（分数：2.00）A.有极值点，无零点。B.无极值点，有零点。C.有极值点，有零点。D.无极值点，无零点。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.已知 y= （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 f(x)= 1 x dt，则 y=f(x)的反函数 x=f 1 (y)在 y=0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_13.设可导函数 y=f(x)由方程 0 xy e t2 dt= 0 x xsin 2 tdt 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y=y(x)是由 （分数：2.00）填空项 1:_15.函数 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y
5、 (n) (0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 tan(x+y+ （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x)= 0 x2 e t2 dt，则 f(x)的极值为 1，f(x)的拐点坐标为 2。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_18.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 g(x)= （分数：4.00）(1).a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处连续。（分数：2.00）_(2).a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处可导。（分数：2.00）_20.设
6、 f(x)在(一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，又设 f (0)存在且等于 a(a0)，试证明对任意的 x(一，+)，f (x)都存在，并求 f(x)。（分数：2.00）_21.求函数 f(x)=x 2 ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数。（分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，且 f(a)=f(b)=1，证明：必存在 ，(a，b)，使得 e f()+f ()=1。（分数：2.00）_已知曲线 L 的方程 （分数：6.00）(1).讨论 L 的凹凸性；（分数：2.00）_(2).过点(一
7、1，0)引 L 的切线，求切点(x 0 ，y 0 )，并写出切线的方程；（分数：2.00）_(3).求此切线与 L(对应于 xx 0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积。（分数：2.00）_23.设函数 y=y(x)由方程 ylny 一 xy=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性。（分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 60 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数
8、f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在。B.极限存在但不连续。C.连续但不可导。 D.可导。解析：解析：显然 f(0)=0，对于极限 是无穷小量， 为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知， =0。 因此 f(x)在 x=0 处连续，排除 A、B。 又因为3.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sin)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。 B.充分条件但非必要条件。C.必要条件但非充分条件。D.既非充分条件也非必要条件。解析：解析：令 (x)=f(x)sinx，显然 (0)=0。由于 (0)= =f(0)， (0)= 4.设函
9、数 f()可导，y=f(x 2 )当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量x=一 01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f (1)等于( )（分数：2.00）A.一 1。B.01。C.1。D.05。 解析：解析：由微分的定义可知，函数 f(x)在 x 0 点处的增量y 的线性主部即为函数 f(x)在该点处的微分 dy x=x0 =f (x 0 )x，所以有 01=y (一 1)x=一 01y (一 1)， 即有 y (一 1)=一1。 而且 y (一 1)=f(x 2 ) x=1 =f (x 2 )2x x=1 =一 2f (1)， 因此 f (1)=05，故选 D。5.对任意的
10、 x(一，+)，有 f(x+1)=f 2 (x)，且 f(0)=f (0)=1，则 f (1)=( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。 D.以上都不正确。解析：解析：由 f (0)=1 可知 f(x)在 x=0 处连续。令 x=0，则 f(1)=f 2 (0)=1，且由导数的定义可得 6.设函数 f(x)在 R 上有界且可导，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：可以用反证法证明选项 B 是正确的。假设 7.设 f(x)在(0，+)二阶可导，且满足 f(0)=0，f (x)0(x0)，又设 ba0，则 axb 时恒有( )（分数：2.00）A.af(x)xf(a)
11、。B.bf(x)xf(b)。 C.xf(x)bf(b)。D.xf(x)af(a)。解析：解析：将选项 A、B 分别改写成 于是，若能证明 或 xf(x)的单调性即可。 令g(x)=xf (x)一 f(x)， 则 g(0)=0，g (x)=xf (x)0(x0)，因此 g(x)0(x0)， 所以有 0(x0)， 故 在(0，+)内单调减小。 因此当 axb 时， 8.曲线 y=(x 一 1) 2 (x 一 3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。 D.3。解析：解析：对于曲线 y，有 y =2(x 一 1)(x 一 3) 2 +2(x 一 1) 2 (x 一 3)
12、=4(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)，y =4(x 一 2)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 2) =4(3x 2 一 12x+11)， 令 y =0，得 9.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f (1)=0， （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值。B.f(1)是 f(x)的极小值。 C.(1，f(1)是曲线 f(x)的拐点。D.f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点。解析：解析：选取特殊函数 f(x)满足：f (x)= (x 一 1) 2 ，取 f(x)= 10.若 f (x)不变号，且曲线 y=f(
13、x)在点(1，1)处的曲率圆为 x 2 +y 2 =2，则函数 f(x)在区间(1，2)内( )（分数：2.00）A.有极值点，无零点。B.无极值点，有零点。 C.有极值点，有零点。D.无极值点，无零点。解析：解析：根据题意，f(x)是一个凸函数，因此 f (x)0，在点(1，1)处的曲率 = 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.已知 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：等式两边取对数，则有 lny= lnx+lnsinx+ ln(1 一 e x )， 等式两边分别对x 求导，有 整理得 y = 12.设函数 f(x)= 1 x dt，则
14、y=f(x)的反函数 x=f 1 (y)在 y=0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由反函数的求导法则可知13.设可导函数 y=f(x)由方程 0 xy e t2 dt= 0 x xsin 2 tdt 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析： 0 xy e t2 dt=x 0 x sin 2 tdt，令 x=0，则 y(0)=0。 方程两端同时对 x 求导，得 = 0 x sin 2 tdtxsin 2 x， 将 x=0，y(0)=0 代入上式，得 1+ =0。 故 14.设 y=y(x)是由 （分
15、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由隐函数求导法则15.函数 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y (n) (0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2 n (n1)！(n=1，2，3，)）解析：解析：将 ln(1+t)按照泰勒公式展开成级数的形式 ln(1+t)=t 一 ， 令 t=2x，可得 16.曲线 tan(x+y+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 2x）解析：解析：方程两边对 x 求导，可得 sec 2 (x+y+ )(1+y )=e y y ， 17.设 f(x)= 0
16、x2 e t2 dt，则 f(x)的极值为 1，f(x)的拐点坐标为 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：对 f(x)求导，f (x)=e x4 2x=0，得 x=0。 当 x0 时，f (x)0；当 x0 时，f (x)0。所以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0。 又因 f (x)=2e x4 (14x 4 )=0，可得 x= 。 18.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x+*）解析：解析：设所求斜渐近线为 y=ax+b，因为 故所求斜渐近线方程为 y=x+三、解答题(总题数
17、：8，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 g(x)= （分数：4.00）(1).a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处连续。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 若要 g(x)在 x=0 处连续，必须 )解析：(2).a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处可导。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若要 g(x)在 x=0 处可导，则必须 g(x)在 x=0 处连续(b=一 1)，且 g (0)=g (0)，所以 所以当 a= )解析：20.设 f(x)在(一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)e
18、 y +f(y)e x ，又设 f (0)存在且等于 a(a0)，试证明对任意的 x(一，+)，f (x)都存在，并求 f(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，得 f(0)=0，为证明 f (x)存在，则由导数定义， =f(x)+f (0)e x =f(x)+ae x 。 所以对任意 x(一，+)，f (x)都存在，且f (x)=f(x)+ae x 。 解此一阶线性方程，得 f(x)= )解析：21.求函数 f(x)=x 2 ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
19、当 n=1 时，f (x)=2xln(1+x)+ ，则 f (0)=0； 当 n=2 时，f (x)=2ln(1+x)+ ，则 f (0)=0； 当 n2 时，利用莱布尼茨公式(x)(x) (n) = C n k (k) (x) (nk) (x)。 令 (x)=x 2 ，(x)=ln(1+x)，则 =2x， =2， (n) =0(n3)， (n) = ， 所以 f (n) (0)=C n 2 (0) (n2) (0)= 2(一 1) n1 (n 一 3)！= )解析：22.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，且 f(a)=f(b)=1，证明：必存在 ，(a，b)，使得 e f()+
20、f ()=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=e x f(x)，由已知 f(x)及 e x 在a，b上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此存在 ，(a，b)，使得 F(b)一 F(a)=e b f(b)一 e a f(a) =F ()(ba) =e f ()+f()(ba) 及 e b 一 e a =e (ba)。 将以上两式相比，且由 f(a)=f(b)=1，整理后有 e f()+f ()=1。)解析：已知曲线 L 的方程 （分数：6.00）(1).讨论 L 的凹凸性；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 。 当 t0 时， )解析：(2)
21、.过点(一 1，0)引 L 的切线，求切点(x 0 ，y 0 )，并写出切线的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：切线方程为 y0=( 一 1)(x+1)。 设 x 0 =t 0 2 +1，y 0 =4t 0 一 t 0 2 ，则 4t 0 t 0 2 =( )解析：(3).求此切线与 L(对应于 xx 0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 L 的方程为 x=g(y)，则 S= 0 3 g(y)一(y 一 1)dy。 根据 t 2 一 4t+y=0 解得 。 由于(2，3)在 L 上，因此可知 x= +1=g(y)。 S= 0
22、3 (9 一 y 一 )一(y 一 1)dy = 0 3 (10 一 2y)dy 一 4 0 3 dy =(10yy 2 ) 0 3 +4 0 3 d(4 一 y) )解析：23.设函数 y=y(x)由方程 ylny 一 xy=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性，只需判断 y (x)在点(1，1)附近的正负。 在方程 ylny 一 x+y=0 两边对 x 求导得 y lny+y 一 1+y =0， 上式两边对 x 求导得 y lny+ (y ) 2 +2y =0， 于是解得 y = )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0，所以 f(0)=0(因为 f (x)存在，则 f(x)一定连续)。且 f (0)= =1， f(x)在 x=0 展成一阶麦克劳林公式 f(x)=f(0)+f (0)x+ )解析：
