1、考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 11 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.以下三个命题， 若数列u n )收敛 A，则其任意子数列 必定收敛于 A； 若单调数列x n 的某一子数列 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是( )（分数：2.00）A.f(x)B.f(x)C.(f(x)D.(x)4.设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sin x)，则
2、在区间(0， （分数：2.00）A.f(x)是增函数，(x)是减函数B.f(x)，(x)都是减函数C.f(x)是减函数，(x)是增函数D.f(x)，(x)都是增函数5.设在区间(一,一)内 f(x)0，且当 k 为大于 0 的常数时有 f(x+k)= （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.单调函数6.设 则 f(一 x)等于 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)= 1（分
3、数：2.00）填空项 1:_9.对充分大的一切 x，给出以下 5 个函数：100 x ，log 10 x 100 ，e 10x ， （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 f(x)= （分数：2.00）_13.设 f(x)= （分数：2.00）_14.(1)求函数 f(x)= （分数：2.00）_15.计算极限： （分数：2.00）_16.求极限： （分数：2.00）_17.求极限： （分数：2.00）_18.求极限： （分数：2.00）
4、_19.求极限： （分数：2.00）_20.求极限： （分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22.求极限： （分数：2.00）_23.求极限： （分数：2.00）_24.求极限： （分数：2.00）_25.求极限： （分数：2.00）_26.求极限： （分数：2.00）_27.求极限： （分数：2.00）_28.求极限： （分数：2.00）_29.求极限： （分数：2.00）_30.求极限： （分数：2.00）_31.求极限： （分数：2.00）_32.求极限： （分数：2.00）_33.求极限： （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 11 答案解析(总分：66.
5、00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.以下三个命题， 若数列u n )收敛 A，则其任意子数列 必定收敛于 A； 若单调数列x n 的某一子数列 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列u n 收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有|u 0 一 A|则当 n i N 时，恒有 |u ni 一 A|因此数列u ni 也收敛于 A，可知命题正确 对于命题，不妨设数列x n 为单调增加的，即 x
6、1 x 2 x n ，其中某一给定子数列 收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 n i N 时，恒有 由于数列x n 为单调增加的数列，对于任意的 nN，必定存在 n i nn i+1 ，有 从而 |x n 一 A| 可知数列x n 收敛于 A 因此命题正确 对于命题， 由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在 自然数 N 1 ，N 2 ： 当 2nN 1 时，恒有|x 2n 一 A|； 当2n+1N 2 时，恒有|x 2n+1 一 A| 取 N=maxN 1 ，N 2 ，则当 nN 时，总有|x n 一 A|因此 3.设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数(假设
7、都有意义)中，是奇函数的是( )（分数：2.00）A.f(x)B.f(x)C.(f(x)D.(x) 解析：解析：令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有 g(一 x)=(一 x)=(一 (x)=一(x)=一 g(x)4.设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sin x)，则在区间(0， （分数：2.00）A.f(x)是增函数，(x)是减函数B.f(x)，(x)都是减函数 C.f(x)是减函数，(x)是增函数D.f(x)，(x)都是增函数解析：解析：注意在 内，sin x 是增函数，cos x 是减函数任取 x 1 , 5.设在区间(一,一)内 f(x)0，且当 k 为大于 0
8、 的常数时有 f(x+k)= （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.周期函数 D.单调函数解析：解析：因为 f(x+2k)=6.设 则 f(一 x)等于 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：f(-x)=二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：na）解析：解析：令 x=一 1，则 f(1)=f(一 1)+f(2
9、)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)一 f(一 1)=2f(1)=2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明 f(n)=na 当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 nk 时，有 f(k)=ka当 n=k+1 时，f(k+1)=f(k 一 1)+f(2)=(k 一 1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数 n，有 f(n)=na，令 x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0.a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有 f(n)=一 f(-n)=一(一 ha)=na所以对一切整数 n，均有 f(n)=na
10、9.对充分大的一切 x，给出以下 5 个函数：100 x ，log 10 x 100 ，e 10x ， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x 充分大时，有重要关系：e ax x ln x，其中 ，0，故本题填 10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 fg(x)= 得到 fg(x)= )解析：13.设 f(x)= （分数：2.0
11、0）_正确答案：(正确答案：本题同样考查分段函数的复合方法下面用解析法求解 首先，广义化为 fg(x)= 由 g(z)的表达式知， (1)当 g(x)0，即2e x 一 10)x0)或x 2 一 10)x0)，而 2e x 一 10x0=x一 ln 2x0=x一 ln 2， x 2 一 10x0)=一 1x1x0=0x1) (2)当 g(x)0，即2e x 一 10x0或x 2 一 10x0，而 2e x 一 10x0=x一 ln 2x0=一 ln 2x0)， x 2 一 10x0)=x1 或 x一 1x0=x1 综上，得 fg(x)= )解析：14.(1)求函数 f(x)= （分数：2.00
12、）_正确答案：(正确答案： )解析：15.计算极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，tan xx， )解析：17.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，sin xx，e x e -x =e -x (e 2x 一 1)2x，故原极限=2)解析：18.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，ln(1+x 4 )x 4 ，1-cos x- ，故原极限= )解析：19.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是“1 ”型极限，可用公式 计算事
13、实上 lnu=ln1+(u 一 1)u 一1(u1)故原式= )解析：20.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是“一”型未定式极限，首先通分变成 型未定式，然后使用洛必达法则求极限 或利用等价无穷小 e x 一 1x(当 x0)代换，则 )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是“1 ”型极限，可以使用洛必达法则求极限，也可以凑成第二个重要极限，还可以利用等价无穷小代换 )解析：22.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 投命题者所好，当狗0 时，狗一 sin 狗 )解析：23.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0
14、 时，e tanx e sinx =e sinx (e tanx-sinx 一 1)tan xsin x，xsin 2 xx 3 ，故 )解析：24.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 根据海涅定理, )解析：26.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=0，原式=1； )解析：27.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
