1、考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 4 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点3.设 f(x)= （分数：2.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点B.1 个跳跃间断点，1
2、 个无穷间断点C.2 个可去间断点D.2 个无穷间断点4.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=一 1，x=0，x=1 为 f(x)的间断点B.x=一 1 为无穷间断点C.x=0 为可去间断点D.x=1 为第一类间断点5.若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是 ( )（分数：2.00）A.第一类间断点B.第二类间断点C.既有第一类间断点也有第二类间断点D.结论不确定6.设 f 1 (x)= ，f 2 (x)=f 1 f 1 (x)，f k+1 (x)=f 1 f 1 (x)，k=1，2，则当 n1 时，f n (x)= ( ) （分数：2.00）A
3、.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7.当 x一 1 时，无穷小 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.当 x 时，若 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_9.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.已知数列 F n = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.证明：若单调数列x n 有一收敛的子数列，则数列x n 必收敛（分数：2.00）_13.分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?（分数：
4、2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.已知数列x n 的通项 x n =(一 1) n 一 1 ，n=1，2，3 （分数：2.00）_16.利用夹逼准则证明： （分数：2.00）_17.设 f(x)在 x=0 处二阶导数连续，且 （分数：2.00）_18.设 a0，x 1 0，x n+1 = （分数：2.00）_19.试讨论函数 g(x)= （分数：2.00）_20.求函数 F(x)= （分数：2.00）_21.求函数 f(x)= （分数：2.00）_22.已知 f(x)= （分数：2.00）_23.设 f(x)= （分数：2.00）_24.设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0
5、，F(x)= 0 x t n 一 1 f(x n 一 t n )dt，求 （分数：2.00）_25.设 f(x)= （分数：2.00）_26.设 f(x)= （分数：2.00）_27.求 f(x)= （分数：2.00）_28.设 f(x；t)= (x 一 1)(t 一 1)0，xt)，函数 f(x)由下列表达式确定， f(x)= （分数：2.00）_29.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分数：2.00）_30.设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=x sinx ，其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k 使极
6、限 （分数：2.00）_31.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )：f(x 1 )+f(x 3 )，并且 f(x)在 x=0 处连续，证明：函数f(x)在任意点 x 0 处连续（分数：2.00）_32.证明：若单调函数 f(x)在区间(a，b)内有间断点，则必为第一类间断点（分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 4 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x
7、=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点 解析：解析：由 f(x)的表达式可知 x=0，x=1 为其间断点3.设 f(x)= （分数：2.00）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 B.1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点C.2 个可去间断点D.2 个无穷间断点解析：解析：x=0 和 x=1 为 f(x)的间断点，其余点连续4.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=一 1，x=0，x=1 为 f(x)的
8、间断点B.x=一 1 为无穷间断点C.x=0 为可去间断点 D.x=1 为第一类间断点解析：解析：去掉绝对值符号，将 f(x)写成分段函数，5.若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是 ( )（分数：2.00）A.第一类间断点 B.第二类间断点C.既有第一类间断点也有第二类间断点D.结论不确定解析：解析：不妨设 f(x)单调增加，且f(x)M，对任一点 x 0 (a，b)，当 xx 0 一 时，f(x)随着 x 增加而增加且有上界，故 存在；当 xx 0 + 时，f(x)随着 x 减小而减小且有下界，故 6.设 f 1 (x)= ，f 2 (x)=f 1
9、 f 1 (x)，f k+1 (x)=f 1 f 1 (x)，k=1，2，则当 n1 时，f n (x)= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7.当 x一 1 时，无穷小 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：当 x一 1 时，8.当 x 时，若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析：当 x 时，9.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：10.已知数列
10、F n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为三、解答题(总题数：22，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.证明：若单调数列x n 有一收敛的子数列，则数列x n 必收敛（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记数列y n 为单调数列(x n 的收敛子数列，因为单调数列x n 的子数列y n 也一定是单调数列由于收敛的单调数列必有界，所以数列y n 一定有界即存在实数 A 和 B，对一切 k成立 Ay k B由于数列y k 是单调数列x n 的收敛子数列，所以存在 N，当 nN 时，有
11、 x n y 1 ，则 Ax n B又根据单调有界数列必收敛的原理可知，数列x n 必收敛)解析：13.分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=x，通常写成分段函数的形式x=*，所以函数 (x)=x是初等函数而 sgn x= )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
12、15.已知数列x n 的通项 x n =(一 1) n 一 1 ，n=1，2，3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.利用夹逼准则证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)在 x=0 处二阶导数连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 a0，x 1 0，x n+1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.试讨论函数 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：g(0)=(e x +) x=0 = )解析：20.求函数 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于
13、函数 F(x)的分段点 x=0，因 故 x=0 是函数 F(x)的跳跃间断点 当x0 时，F(x)= 不存在故 x=1 是函数 F(x)的振荡间断点 当 x0 时，F(x)= ，k=0，1，2，处没有定义，则这些点都是函数 F(x)的间断点 )解析：21.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 f(0)无意义 )解析：22.已知 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)= 0 x t n 一 1 f(x n 一
14、t n )dt，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由此可见，f(x)在(一，一 1，(一 1，1)，1，+)内连续，故只需 f(x)在x=一 1，x=1 两点连续即可因为 )解析：26.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在(一 1，0)，(0，1)及(1，+)都是初等函数，是连续的。f(0)无定义，故x=0 是间断点因为 ，所以 x=0 为跳跃间断点 f(1)无定义，故 x=1 是间断点因为 )解析：27.求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)无定
15、义的点是使 1 一 x=0 和 1 一 =0 的点，即 x=1 和 x=0，所以 f(x)的连续区间为(一，0)(0，1)(1，+)当 x0 时，1 一 =，所以 x=0 是无穷间断点 当x1 一 时， )解析：28.设 f(x；t)= (x 一 1)(t 一 1)0，xt)，函数 f(x)由下列表达式确定， f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考虑夹逼准则由 f(x)在a，6上连续，知 e f(x) 在a，b上非负连续，且0me
16、 f(x) M，其中 M，m 分别为 e f(x) 在a，b上的最大值和最小值， )解析：30.设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=x sinx ，其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k 使极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因求“0 0 ”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数 u(x) v(x) 化为复合函数 e v(x)ln u(x) ，故 )解析：31.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )：f(x 1 )+f(x 3 )，并且 f(x)在 x=0 处连续，证明：函数f(x)在任意点 x 0 处连续（分数：2
17、.00）_正确答案：(正确答案：已知 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，令 x 2 =0，则 f(x 1 )=f(x 1 )+f(0)，可得f(0)=0，又 f(x)在 x=0 处连续，则有 f(x)=f(0)=0，而 f(x 0 +x)一 f(x 0 )=f(x 0 )+f(x)一 f(x 0 )=f(x)，两边取极限得到 )解析：32.证明：若单调函数 f(x)在区间(a，b)内有间断点，则必为第一类间断点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f(x)在(a，b)内有定义，是单调递增的，x 0 (a，b)是 f(x)的间断点再设 x(a，x 0 )，则 xx 0 ，由单调递增性知：f(x)f(x 0 )(为常数)，即 f(x)在(a，x 0 )上单调递增有上界，它必定存在左极限：f(x 0 一 )= )解析：
