1、考研数学二（向量代数和空间解析几何）-试卷 1及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.过点(一 1，2，3)且垂直于直线 并平行于平面 7x+8y+9z+10=0的直线方程是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设有直线 则 L 1 与 L 2 的夹角为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设有直线 L： （分数：2.00）A.平行于 B.在 上C.垂直于 D.与 斜交5.如果直线 L 1 ： 相交，则 =( ) （分数：2.00）A.B.
2、C.D.6.已知两条直线 （分数：2.00）A.L 1 B.L 1 C.L 2 D.L 1 L 2 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)7.已知|a|=2，|b|=5，a 和 b的夹角为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_9.设向量 A=2a+3b，B=3a 一 b，|a|=2，|b|=1，a 和 b的夹角为 （分数：2.00）_10.已知单位向量 与三个坐标轴的夹角相等，B 是点 M(1，一 3，2)关于点 N(一 1，2，1)的对称点，求 （分数：2.00）_11.求点 P(
3、1，2，一 1)到直线 （分数：2.00）_12.试证向量 a=一 i+3j+2k，b=2i 一 3j一 4k，c=一 3i+12j+6k在同一平面上（分数：2.00）_13.求过原点且与两条直线 （分数：2.00）_14.求过点(2，一 3，1)和直线 （分数：2.00）_15.设一平面垂直于 xOy面，并通过点(1，一 1，1)到直线 （分数：2.00）_16.设直线 L过点 P(一 1，0，4)，与平面 ：3x 一 4y+z=10平行，且与直线 L 0 ：x+1=y 一 3= （分数：2.00）_17.设有直线 （分数：2.00）_18.求空间曲线 （分数：2.00）_19.将下列曲线化
4、为参数方程 （分数：2.00）_20.已知点 A与 B的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)，线段 AB绕 z轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由 S及平面 z=0，z=1 所围成的立体体积（分数：2.00）_21.求直线 （分数：2.00）_22.求直线 （分数：2.00）_考研数学二（向量代数和空间解析几何）-试卷 1答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.过点(一 1，2，3)且垂直于直线 并平行于平面 7x+8y+9z+10=0的直线方程
5、是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：设所求直线的方向向量为 s，直线 的方向向量为 s 1 =(4，5，6)，平面7x+8y+9z+10=0的法向量为 n=(7，8，9)，故 由点法式方程知，所求直线为 整理得 3.设有直线 则 L 1 与 L 2 的夹角为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由已知条件，L 1 的方向向量为 s 1 =(1，一 2，1) 4.设有直线 L： （分数：2.00）A.平行于 B.在 上C.垂直于 D.与 斜交解析：解析：L 的方向向量5.如果直线 L 1 ： 相交，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解
6、析：由已知，L 1 的方向向量 s 1 =(1，2，)，且过点 A(1，一 1，1)；L 2 的方向向量 s 2 =(1，1，1)，且过点 B(一 1，1，0)若 L 1 与 L 2 相交，则 s 1 ，s 2 ， 共面，即 6.已知两条直线 （分数：2.00）A.L 1 B.L 1 C.L 2 D.L 1 L 2 解析：解析： L 1 的方向向量 s 1 =(一 1，2，一 3) L 2 的方向向量 s 2 =(3，1，2) 的法向量n=(2，7，4)， 由于 s 1 .n=一 12+2734=0， 故 L 1 ，从而应选(A)二、填空题(总题数：1，分数：2.00)7.已知|a|=2，|b
7、|=5，a 和 b的夹角为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：40）解析：解析：由已知，A.B=0，于是(a+17b).(3ab)=0，即 3|a| 2 +(51一 )a.b 一 17|b| 2 =0，亦即 12+(51 一 )10cos 三、解答题(总题数：15，分数：30.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：9.设向量 A=2a+3b，B=3a 一 b，|a|=2，|b|=1，a 和 b的夹角为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： A.B=(2a+3b).(3ab) =6|a| 2 +7a.b3|b| 2 =6|a
8、| 2 +7|a|b|cos -3|b| 2 =62 2 +721 )解析：10.已知单位向量 与三个坐标轴的夹角相等，B 是点 M(1，一 3，2)关于点 N(一 1，2，1)的对称点，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 与三个坐标轴的夹角相等，所以 cos=cos=cos 又由于 cos 2 +cos 2 +cos 2 =1，于是 设 B点坐标为(x，y，z)，由已知可知 N是 MB的中点，从而有 解得 x=一 3，y=7，z=0，所以 ，则 )解析：11.求点 P(1，2，一 1)到直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 41所示 向量 s=(2，一 1，
9、3)， 由向量积的几何意义，)解析：12.试证向量 a=一 i+3j+2k，b=2i 一 3j一 4k，c=一 3i+12j+6k在同一平面上（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：三个向量共面的充分必要条件是混合积等于零因为(a，b，c)= )解析：13.求过原点且与两条直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两条直线的方向向量分别为 s 1 =(0，1，1)，s 2 =(1，2，1)， 故平面的法向量 )解析：14.求过点(2，一 3，1)和直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 设过已知直线的平面束方程为 1 (x一 5y16)+ 2 (2yz+6)=0， 把点(2，
10、一 3，1)代入上式，得 1 一 2 =0，即 )解析：15.设一平面垂直于 xOy面，并通过点(1，一 1，1)到直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求点(1，一 1，1)到直线 的垂线的方向向量 已知直线的参数方程为设点到直线的垂足为(0，t，t+1)，则垂线的方向向量为(一 1，t+1，t) 由于该向量垂直于已知直线的方向向量(0，1，1)，从而 (一 1，t+1，t).(0，1，1)=2t+1=0， 于是所求平面的法向量为)解析：16.设直线 L过点 P(一 1，0，4)，与平面 ：3x 一 4y+z=10平行，且与直线 L 0 ：x+1=y 一 3= （分数：2.00）
11、_正确答案：(正确答案： 过点 P(一 1，0，4)且平行于已知平面 的平面方程为 3(x+1)一 4y+(x一 4)=0，它与直线 L 0 的交点为(15，19，32)，即为 L 0 与 L的交点由两点式得 L的方程 即 )解析：17.设有直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： L 1 ，L 2 的方向向量分别为 s 1 =(2，1，一 3)，s 2 =(4，一 1，2)， 且两直线分别过点 M 0 (一 1，1，0)和 M 1 (2，3，一 4) 由于 故 L 1 与 L 2 为异面直线 如图 42所示，两直线间的距离即为 在其公垂线的方向向量上的投影的绝对值，即 )解析：18.
12、求空间曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程组中消去 z，得曲线关于 xOy面的投影柱面方程为 x 2 +y 2 =4，于是投影曲线为 )解析：19.将下列曲线化为参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由方程组消去 z得 x 2 +y 2 +(1+x 2 +y 2 ) 2 =5，即 (x 2 +y 2 ) 2 +3(x 2 +y 2 )一 4=0 亦即 x 2 +y 2 =1，此时 z=2(注意 z0)，所以曲线方程可化为 令 x=cos ，y=sin ，得曲线参数方程为 (2)曲线方程消去 z得 2x 2 +y 2 =(1一 x) 2 ，即 (x+1) 2
13、 +y 2 =2 )解析：20.已知点 A与 B的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)，线段 AB绕 z轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由 S及平面 z=0，z=1 所围成的立体体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB 所在直线的方程为： 解出 x=1一 z，y=z，于是旋转曲面的方程为 x 2 +y 2 =(1一 z) 2 +z 2 ， 即 x 2 +y 2 =1一 2z+2z 2 由于旋转体的横截面是圆，半径为 故所求立体的体积为 )解析：21.求直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 L的方程改写为一般方程为 则过 L的平面束方程为 x一 y一 1+(y+z一 1)=0，即 x+(-1)y+z-(1+)=0 欲使它与平面 垂直，则 1一(1)+2=0，从而 =一 2，得到平面束方程中经过 L且垂直于 的平面方程为 x一 3y一 2z+1=0，于是投影直线 L 0 的方程为 L 0 ： 将 L 0 化为 于是 L 0 绕 y轴旋转一周所成曲面的方程为 x 2 +z 2 =4y 2 + )解析：22.求直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将直线方程改写成 于是旋转曲面方程为 x 2 +y 2 =a 2 z 2 +b 2 当a0，b0 时，旋转曲面方程为 为单叶旋转双曲面 当 a0，b=0 时，旋转曲面方程为 )解析：
