1、考研数学二（常微分方程）-试卷 8 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 y=xe x +x 是微分方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=1B.a=1，b=1，c=一 2C.a=一 3，b=一 3，c=0D.a=一 3，b=1，c=13.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )（分数：2.00）
2、A.y“+y“一 4y“一 4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“一 y“一 4y“+4y=0D.y“一 y“+4y“一 4y=04.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 一 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.方程 y“一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x eos2xB.y=ae x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)C.y=axe x +
3、b+xe x (Acos2x+Bsin2x)D.y=axe x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)6.设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小，则 y(x)=( )（分数：2.00）A.B.C.D.7.微分方程 y“+y=x 2 +1+sinx 的特解形式可设为( )（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Beosx)B.y * =x(ax 2 +bx+c+Asinx+Beosx)C.y * =ax 2 +bx+c+AsinxD.y * =ax
4、2 +bx+c+Acosx8.微分方程 y“一 2 y=e x +e -x (0)的特解形式为( )（分数：2.00）A.a(e x +e -x )B.ax(e x +e -x )C.x(ae x +be -x )D.x 2 (ae x +be -x )9.设非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y 1 (x)，y 2 (x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )（分数：2.00）A.Cy 1 (x)一 y 2 (x)B.y 1 (x)+Cy 1 (x)一 y 2 (x)C.Cy 1 (x)+y 2 (x)D.y 1 (x)+Cy 1 (x)+y 2 (x)10.设
5、f(x)具有一阶连续导数 f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+sinx 一 f(x)dy，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.cosx+sinx 一 1B.C.cosx 一 sinx+xe x D.cosx 一 sinx+xe -x 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)11.微分方程 xy“+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 xy“+2y=sinx 满足条件 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y“+y=e
6、 -x cosx；满足条件 y(0)=0 的解为 1.（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x ，则 f(x)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足 （分数：2.00）填空项 1:_18.微分方程 ydx+(x 一 3y 2 )dy=0 满足条件 y x=1 =1 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是
7、 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.三阶常系数线性齐次微分方程 y“一 2y“+y“一 2y=0 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程(y+x 2 e -x )dx 一 xdy=0 的通解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_22.微分方程(y+x 3 )dx 一 2xdy=0 满足 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设 y=y(x)是区间(一 ，)内过 （分数：2.00）_25.求微分方程 y“一 3y“+2y=2xe x 的通
8、解（分数：2.00）_26.求微分方程 y“一 a(y“) 2 =0(a0)满足初始条件 y x=0 =0，y“ x=0 =一 1 的特解（分数：2.00）_27.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点，记 为曲线 l 在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：2.00）_28.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1 一 x2)y“一 xy“+y=0，并求其满足 y x=0 =1，y“ x=0 =2 的特解（分数：2.00）_29.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 1 (s)sinsds，求 f(t)（分数：2.00）_30.
9、利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx 一 2y“sinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解（分数：2.00）_31.求微分方程 y“(x+y “2 )=y“满足初始条件 y(1)=y“(1)=1 的特解（分数：2.00）_32.在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)(1)求 L 的方程；(2)当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）-试卷 8 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题
10、(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 y=xe x +x 是微分方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=1B.a=1，b=1，c=一 2 C.a=一 3，b=一 3，c=0D.a=一 3，b=1，c=1解析：解析：由于 y=xe x +x 是方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解，则 xe x 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 r 1 =r 2 =1，则 a=1；x 为非齐次方程的解，将 y=x 代入方程 y“一 2y“+y=bx+c，得
11、b=1，c=一 2，故选 B3.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )（分数：2.00）A.y“+y“一 4y“一 4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“一 y“一 4y“+4y=0D.y“一 y“+4y“一 4y=0 解析：解析：已知题设的微分方程的通解中含有 e x 、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程有根 r=1，r=2i，所以特征方程为 (r 一 1)(r 一 2i)(r+2i)=0，即 r 3 一 r 2 +4r 一 4=0因此根据微分方程和对应特征方
12、程的关系，可知所求微分程为 y“一 y“+4y“一 4y=04.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 一 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 y 1 +y 2 仍是该方程的解，得(y 1 “+y 2 “)+p(x)(y 1 +y 2 )=(+)g(x)，则 +=1；由 y 1 一 y 2 是所对应齐次方程的解，得(y 1 “一 y 2 “)+p(x)(y 1 一 y 2 )=( 一 )g(x)，那么 一 =0综上所述 5.方程 y“
13、一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x eos2xB.y=ae x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)C.y=axe x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x) D.y=axe x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)解析：解析：齐次微分方程 y“一 3y“+2y=0 的特征方程为 r 2 一 3r+2=0r 2 3r+2=0特征根为 r 1 =1，r 2 =2，则方程 y“一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解为 y=axe x +b+e x x(Acos2x+B
14、sin2x)，故选C6.设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小，则 y(x)=( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：原方程可化为 ，其通解为 曲线 y=x+Cx 2 与直线 x=1 及 x 轴所围区域绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 7.微分方程 y“+y=x 2 +1+sinx 的特解形式可设为( )（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Beosx) B.y * =x(ax 2 +bx+c+Asinx+Beosx)C.y * =a
15、x 2 +bx+c+AsinxD.y * =ax 2 +bx+c+Acosx解析：解析：对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程为 2 +1=0 特征根为 =i，对于方程 y“+y=x 2 +1=e 0 (x 2 +1)，0 不是特征根，从而其特解形式可设为 y 1 =ax 2 +bx+c，对于方程 y“+y=sinx-I m (e ik )，i 为特征根，从而其特解形式可设为 y 2 * =x(Asinx+Bcosx)，因此 y“+y=x 2 +1+sinx 的特解形式可设为 y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)8.微分方程 y“一 2 y=e x +e -x (0)的
16、特解形式为( )（分数：2.00）A.a(e x +e -x )B.ax(e x +e -x )C.x(ae x +be -x ) D.x 2 (ae x +be -x )解析：解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 一 2 =0，其特征根为 r 1,2 =，所以 y“一 2 y=e x 的特解为 y 1 “=axe x ，y“一 2 y=e 2 x 的特解为 y 2 * =bxe -x ，根据叠加原理可知原方程的特解形式为 y * =y 1 * +y 2 * =x(ae x +be -x )，因此选 C9.设非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y 1 (x)
17、，y 2 (x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )（分数：2.00）A.Cy 1 (x)一 y 2 (x)B.y 1 (x)+Cy 1 (x)一 y 2 (x) C.Cy 1 (x)+y 2 (x)D.y 1 (x)+Cy 1 (x)+y 2 (x)解析：解析：由于 y 1 (x)一 y 2 (x)是对应齐次线性微分方程 y“+P(x)y=0 的非零解，所以它的通解是Y=Cy 1 (x)一 y 2 (x)，故原方程的通解为 y=y 1 (x)+Y=y 1 (x)+Cy 1 (x)一 y 2 (x)，故应选 B10.设 f(x)具有一阶连续导数 f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx
18、+sinx 一 f(x)dy，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.cosx+sinx 一 1B. C.cosx 一 sinx+xe x D.cosx 一 sinx+xe -x 解析：解析：由 du(x，y)=f(x)ydx+sinx-f(x)dy 知二、填空题(总题数：12，分数：24.00)11.微分方程 xy“+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原方程可化为(xy)“=0，积分得 xy=C，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2，即12.微分方程 xy“+2y=sinx 满足条件 （分数：
19、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将已知方程变形整理得，13.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对应齐次微分方程的特征方程为 r 2 一 4=0，解得 r 1 =2，r 2 =一 2故 y“一 4y=0 的通解为 y 1 =C 1 e -2x +C 2 e 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数由于非齐次项为 f(x)=e 2x ，=2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y * =Axe 2x ，代入原方程可求出 故所求通解为 14.微分方程 y“+y=e -x
20、cosx；满足条件 y(0)=0 的解为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e -x sinx）解析：解析：原方程的通解为 15.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e -x (C 1 cosx+C 2 sin2x)）解析：解析：由题干可知，方程 y“+2y“+5y=0 的特征方程为 r 2 +2r+5=0解得 16.若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x ，则 f(x)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
21、：e x）解析：解析：由已知，特征方程为 r 2 +r 一 2=0，特征根为 r 1 =1，r 2 =一 2，该齐次微分方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e -2x 再由 f“(x)+f(x)=2e x ，解得 2C 1 e x 一 3C 2 e -2x =2e x ，可知 C 1 =1，C 2 =0故 f(x)=e x 17.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原方程可等价为18.微分方程 ydx+(x 一 3y 2 )dy=0 满足条件 y x=1 =1
22、的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=y 2）解析：解析：对原微分方程变形可得 此方程为一阶线性微分方程，所以 19.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 ，两边积分，得 lny=一 Inx+C，代入条件 y(1)=1，得 C=0 所以20.三阶常系数线性齐次微分方程 y“一 2y“+y“一 2y=0 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e 2x +C 2 cosx+C 3 sinx）解析：解析：微分方程对应的特征
23、方程为 3 一 2 2 + 一 2=0解上述方程可得其特征值为2，i，于是其中一组特解为 e 2x ,cosx，sinx因此通解为 y=C 1 e 2c +C 2 cosx+C 3 sinx，其中 C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数21.微分方程(y+x 2 e -x )dx 一 xdy=0 的通解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x(一 e -x +C)）解析：解析：微分方程(y+x 2 e -x )dx 一 xdy=0，可变形为 所以其通解为 22.微分方程(y+x 3 )dx 一 2xdy=0 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
24、答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设 y=y(x)是区间(一 ，)内过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，当一 x0 时，法线均过原点，所以有 ，即 ydy=-xdx，得 y =一 x +C 又 代入 y 2 =一 x 2 +C 得 C= 2 ，从而有 x 2 +y 2 = 2 .当 0x 时，y“+y+x=0，得其对应齐次微分方程的 y“+y=0 的通解为 y * =C 1 cosx+C 2 sinx设其特解为 y 1 =Ax+B，则有 0+Ax+B+x=0，得
25、 A=一 1，B=0，故 y 1 =一 x 是方程的特解，因此 y“+y+x=0 的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx 一 x因为 y=y(x)是(一 ，)内的光滑曲线，故 y 在 x=0 处连续且可导，所以由已知得y x=0 =,y“ x=0 =0 故得 C 1 =，C 2 =1，所以 )解析：25.求微分方程 y“一 3y“+2y=2xe x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程 y“一 3y“+2y=0 的特征方程为 r 2 一 3r+2=0，由此得 r 1 =2，r 2 =1即对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e 2x +C 2 e x 设非齐次方程的特
26、解为 y * =(ax+b)xe x 则(y * )“=ax 2 +(2a+b)x+be x (y * )“=ax 2 +(4a+b)x+2a+2be x 代入原方程得 a=一 1，b=一 2，因此所求解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x 一 x(x+2)e x (C 1 ，C 2 为任意常数)解析：26.求微分方程 y“一 a(y“) 2 =0(a0)满足初始条件 y x=0 =0，y“ x=0 =一 1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=P，则 将之代入原方程，得 )解析：27.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点
27、，记 为曲线 l 在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，两边对 x 求导得 ，即(1+y“ 2 )y“=y“，因此可知 令 分离变量得 )解析：28.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1 一 x2)y“一 xy“+y=0，并求其满足 y x=0 =1，y“ x=0 =2 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 1 (s)sinsds，求 f(t)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx 一 2y“s
28、inx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ycosx=u，则 y=usecx，从而y“=u“secx+usecxtanx，y“=u“secx+2u“secxtanx+usecxtan 2 x+usec 3 x代入原方程，得 u“+4u=e x 这是一个二阶常系数非齐次线性方程，解得其通解为 )解析：31.求微分方程 y“(x+y “2 )=y“满足初始条件 y(1)=y“(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因本题不含 y，所以可设 y“=p，于是 y“=p“，因此原方程变为 p“(x+p 2 )=p， )解析：32.在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)(1)求 L 的方程；(2)当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设曲线 L 的方程为 y=f(x)，则由题设可得 )解析：
