1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 44 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A+B=A+BB.若AB=0，则 A=O 或 B=OC.A-B=A-BD.AB=AB3.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m，B= 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 为( )（分数：2.00）A.m+nB
2、.m-nC.-(m+n)D.n-m4.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB=0C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB=05.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 皆为可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于( )（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 BD.(A+B) -16.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A *C.(A-B) * =A * -
3、B *D.(A+B) * 一定可逆7.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(ka) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n-1 A *D.k n(n-1) A *8.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E9.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mN，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E
4、m O)10.设 P 1 = ，P 2 = ，若 P 1 m AP 0 n = （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5C.m=2，n=3D.m=2，n=211.设 （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1D.P 2 A -1 P 1二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.设 D= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且E-A=E-2A=E-3A=0，则B -1 +2E= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶正交阵，且A0，B-A=-4，则E-AB
5、T = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 为 n 阶矩阵，且A=a0，则(kA) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A，B 都是三阶矩阵，A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设 A 是正交矩阵，且A0证明
6、：E+A=0（分数：2.00）_23.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_24.计算 D 2n = （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.设 D= （分数：2.00）_27.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，求 （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）模拟试卷 44 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数
7、：2.00）_解析：2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A+B=A+BB.若AB=0，则 A=O 或 B=OC.A-B=A-BD.AB=AB 解析：解析：(A)、(C)显然不对，设 A=3.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m，B= 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 为( )（分数：2.00）A.m+nB.m-nC.-(m+n)D.n-m 解析：解析： 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 = 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 3 ， 2 ， 1 ， 2
8、=- 2 ， 2 ， 3 ， 1 - 1 ， 2 ， 3 ， 2 =- 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n-m. 选(D)4.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB=0 C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB=0解析：解析：AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n)，r(B)minm，n，且 r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)nm，于是AB=0，选(B)5.设 A，B，A+B，A -1 +B -
9、1 皆为可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于( )（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 B D.(A+B) -1解析：解析：A(A+B) -1 B(A -1 +B -1 )=(A+B)A -1 -1 (BA -1 +E)=(BA -1 +E) -1 (BA -1 +E)=E，所以选(C)6.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A * C.(A-B) * =A * -B *D.(A+B) * 一定可逆解析：解析：因为(AB) * =AB(AB) -1 =A
10、BB -1 A -1 =BB -1 .AA -1 =B * A * ，所以选(B)7.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(ka) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n-1 A * D.k n(n-1) A *解析：解析：因为(kA) * 的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n-1 阶子式，所以(kA) * =k n-1 A * ，选(C)8.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E 解析：解析：因为 A 2 =A，所以 A(E-A
11、)=O，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(E-A)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(E-A)=0，A=E，选(D)9.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mN，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解 D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m O)解析：解析：显然由 r(A)=mn，得 r(A)=r(A)=mn，所以方程组 AX=b 有无穷多个解选(C)10.设 P 1 = ，P 2 = ，若 P 1 m AP 0 n = （分数：2.00）A.m=3，n=2B.
12、m=3，n=5 C.m=2，n=3D.m=2，n=2解析：解析：P 1 m AP 2 n = 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P 1 = =E 12 ，P 2 = 11.设 （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1 D.P 2 A -1 P 1解析：解析：B=AE 14 E 23 或 B=AE 23 E 14 即 B=AP 1 P 2 或 B=AP 2 P 1 ，所以 B -1 =P 2 -1 P 1 -1 A -1 或 B -1 =P 1 -1 P 2 -1 A -1 ，注意到 E ij -1 =E ij
13、 ，于是 B -1 =P 2 P 1 A -1 或 B -1 =P 1 P 2 A -1 ，选(C)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.设 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A 31 +A 32 +A 33 =A 31 +A 32 +A 33 +0A 34 +0A 33 13.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且E-A=E-2A=E-3A=0，则B -1 +2E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：60）解析：解析：因为E-A=E-2A=E-3A=0，所以 A 的三个特征值为 ，1，又 AB，所以 B的特征
14、值为 14.设 A 为三阶正交阵，且A0，B-A=-4，则E-AB T = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：解析：A0 15.设 A 为 n 阶矩阵，且A=a0，则(kA) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k n(n-1) a n-1）解析：解析：因为(kA) * =k -1 A * ，且A * =A n-1 ，所以 (kA) * =k n-1 A * =k n(n-1) A n-1 =k n(n-1) a n-1 16.设 A，B 都是三阶矩阵，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析
15、：A=-3，A * =AA -1 =-3A -1 ，则(A * ) -1 B=ABA+2A 2 化为 AB=ABA-2A 2 ，注意到 A 可逆，得 B=BA+2A 或-B=3BA+6A，则 B=-6A(E+3A) -1 ，E+3A= ，(E+3A) -1 = 则 B=-6A(E+3A) -1 = 17.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * BA=2BA-8E，得 AA -1 BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以 B=4(A+
16、E) -1 = 18.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： =E 13 ， =E 12 ，因为 E ij -1 -E ij ，所以 E ij 2 =E， 于是 =E 13 19.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 r(B * )=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=620.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：BA=O三、解答题(总题数：7，分数：14.00)21
17、.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设 A 是正交矩阵，且A0证明：E+A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正交矩阵，所以 A T A=E，两边取行列式得A 2 =1，因为A0，所以 A=-1 由E+A=A T A+A=(A T +E)A=AA T +E=-A T +E =-(A+E) T =-E+A 得E+A=0)解析：23.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且A中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设
18、 A 的第 k 行是非零行，则 A=a k1 A k1 +a k2 A k2 +a kn A kn =a k1 2 +a k2 2 +a kn 2 0)解析：24.计算 D 2n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 2n =a 2 D 2n-2 =b 2 D 2n-2 =(a 2 -b 2 )D 2n-2 =(a 2 -b 2 ) n )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D n = =a 1 a 2 a n-1 +a n D n-1 =a 1 a 2 a n-1 +a n (a 1 a 2 a n-2 +a n-1 D n-2 ) =a 1 a 2 a
19、n-1 +a 1 a 2 a n-2 a n +a n a n-1 D n-2 = +a n a n-1 a 2 (1+a 1 ) =a 1 a 2 a n )解析：26.设 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= ，C=(n)， A=(-1) n+1 n!， 则 得 A * =AA -1 =(-1) n+1 n!A -1 ，所以 A k1 +A k2 +A kn = )解析：27.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3 ，由B= 1 2 3 =2 得 3 =1，A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) -1 的特征值为 ，则(A+E) -1 = 因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B * 的特征值为 ，即为 2，1，2，于是B * =4，(2B) * =4B * =4 3 B * =256，故 =(A+E) -1 (2B) * = )解析：
