1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 45 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 P= （分数：2.00）A.当 t=6 时，r(Q)=1B.当 t=6 时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1D.当 t6 时，r(Q)=23.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 线性相关C. 1
2、， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关4.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等行变换为矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示B. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示法不唯一C. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法唯一D. 4 能否 1 ， 2 ， 3 线性表示不能确定5.设 A=( 1 ， 2 ， n )，其中 1 ， 2 ， m 是 n 维列向量若对于任意不全为零的常数 k 1
3、 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则( )（分数：2.00）A.mnB.m=nC.存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=D.若 AB=O，则 B=O6.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关B.若向量 1 ， 2 ， n 线性相关，则 1 ， 2 ， n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，则 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 一定线性无关D.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维向量且线性无关，A
4、 为 n 阶非零矩阵，且 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，则 A 一定可逆7.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例B. 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组C.设 A=( 1 ， 2 ， m )，方程组 AX=0 只有零解D. 1 ， 2 ， m 中向量的个数小于向量的维数8.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.A T A 可逆的充分必要条件是 r(A)
5、=n9.设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关10.设 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， s )=r，则( )（分数：2.00）A.两个向量组等价B.r( 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， s )=rC.若向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， s
6、线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价二、填空题(总题数：1，分数：2.00)11.设 1 = ， 2 = ， 3 = ， 4 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 A=E- T ，其中 为 n 维非零列向量证明： (1)A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量； (2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_14.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，P= （分数：2.00）_15.设矩阵 A 满足(2E-C -1 B
7、)A T =C -1 ，且 B= （分数：2.00）_16.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证：r(A)2（分数：2.00）_17.设 是 n 维单位列向量，A=E- T 证明：r(A)n.（分数：2.00）_18.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * )= （分数：2.00）_19.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T （分数：2.00）_20.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n-1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：2.00）_21.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A *
8、 ) * =A n-2 A（分数：2.00）_22.设 A，B 分别为 mb 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n（分数：2.00）_23.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ； () 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组()与向量组()的秩为 3，而向量组()的秩为 4 证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 - 4 的秩为 4（分数：2.00）_24.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆（分数：2.00）_25.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：2.00）_26.设 1 ， 2 ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_27.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_
