1、考研数学二(线性代数)模拟试卷 45 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 P= (分数:2.00)A.当 t=6 时,r(Q)=1B.当 t=6 时,r(Q)=2C.当 t6 时,r(Q)=1D.当 t6 时,r(Q)=23.若向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,且向量 4 不可由向量组 1 , 2 , 3 线性表示,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , 3 线性无关B. 1 , 2 , 3 线性相关C. 1
2、, 2 , 4 线性无关D. 1 , 2 , 4 线性相关4.设矩阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )经行初等行变换为矩阵 B=( 1 , 2 , 3 , 4 ),且 1 , 2 , 3 线性无关, 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,则( )(分数:2.00)A. 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表示B. 4 能由 1 , 2 , 3 线性表示,但表示法不唯一C. 4 能由 1 , 2 , 3 线性表示,且表示法唯一D. 4 能否 1 , 2 , 3 线性表示不能确定5.设 A=( 1 , 2 , n ),其中 1 , 2 , m 是 n 维列向量若对于任意不全为零的常数 k 1
3、 ,k 2 ,k m ,皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0,则( )(分数:2.00)A.mnB.m=nC.存在 m 阶可逆阵 P,使得 AP=D.若 AB=O,则 B=O6.下列命题正确的是( )(分数:2.00)A.若向量 1 , 2 , n 线性无关,A 为 n 阶非零矩阵,则 A 1 ,A 2 ,A n 线性无关B.若向量 1 , 2 , n 线性相关,则 1 , 2 , n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1 , 2 , n 线性无关,则 1 + 2 , 2 + 3 , n + 1 一定线性无关D.设 1 , 2 , n 是 n 个 n 维向量且线性无关,A
4、 为 n 阶非零矩阵,且 A 1 ,A 2 ,A n 线性无关,则 A 一定可逆7.向量组 1 , 2 , m 线性无关的充分必要条件是( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , m 中任意两个向量不成比例B. 1 , 2 , m 是两两正交的非零向量组C.设 A=( 1 , 2 , m ),方程组 AX=0 只有零解D. 1 , 2 , m 中向量的个数小于向量的维数8.设 A 是 mn 矩阵,且 mn,下列命题正确的是( )(分数:2.00)A.A 的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.A T A 可逆的充分必要条件是 r(A)
5、=n9.设 A,B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵,则必有( )(分数:2.00)A.A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关10.设 1 , 2 , m 与 1 , 2 , s 为两个 n 维向量组,且 r( 1 , 2 , m )=r( 1 , 2 , s )=r,则( )(分数:2.00)A.两个向量组等价B.r( 1 , 2 , m , 1 , 2 , s )=rC.若向量组 1 , 2 , m 可由向量组 1 , 2 , s
6、线性表示,则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价二、填空题(总题数:1,分数:2.00)11.设 1 = , 2 = , 3 = , 4 = (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:16,分数:32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_13.设 A=E- T ,其中 为 n 维非零列向量证明: (1)A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量; (2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵(分数:2.00)_14.设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 是 n 维列向量,b 为常数,P= (分数:2.00)_15.设矩阵 A 满足(2E-C -1 B
7、)A T =C -1 ,且 B= (分数:2.00)_16.设 , 是 n 维非零列向量,A= T + T 证:r(A)2(分数:2.00)_17.设 是 n 维单位列向量,A=E- T 证明:r(A)n.(分数:2.00)_18.设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A * )= (分数:2.00)_19.设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ,使得 A= T (分数:2.00)_20.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n-1证明:存在常数 k,使得(A * ) 2 =kA * (分数:2.00)_21.设 A 是 n(n3)阶矩阵,证明:(A *
8、 ) * =A n-2 A(分数:2.00)_22.设 A,B 分别为 mb 及 ns 阶矩阵,且 AB=O证明:r(A)+r(B)n(分数:2.00)_23.设向量组() 1 , 2 , 3 ; () 1 , 2 , 3 , 4 ;() 1 , 2 , 3 , 5 ,若向量组()与向量组()的秩为 3,而向量组()的秩为 4 证明:向量组 1 , 2 , 3 , 5 - 4 的秩为 4(分数:2.00)_24.设 1 , 2 , n 为 n 个 n 维线性无关的向量,A 是 n 阶矩阵证明:A 1 ,A 2 ,A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆(分数:2.00)_25.设 1 , 2 , n 为 n 个 n 维列向量,证明: 1 , 2 , n 线性无关的充分必要条件是 (分数:2.00)_26.设 1 , 2 , t 为 AX=0 的一个基础解系, 不是 AX=0 的解,证明:,+ 1 ,+ 2 ,+ t 线性无关(分数:2.00)_27.设 1 , 2 , n 为 n 个 n 维向量,证明: 1 , 2 , n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1 , 2 , n 线性表示(分数:2.00)_