1、考研数学二（行列式）-试卷 3 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设多项式 （分数：2.00）A.6，一 6B.一 6，6C.6，6D.一 6，一 63.设多项式 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.行列式 （分数：2.00）A.(ad 一 6c) 2 B.一(ad 一 bc) 2 C.a 2 d 2 -b 2 c 2 D.b 2 c 2 一 a 2 d 2 5.设 A 为 3 阶矩阵，E 为 3 阶单位矩阵， 是线性无关的 3 维列向量，
2、且 A 的秩 r(A)=2，A=，A=，则A+3E为( )（分数：2.00）A.0B.6C.18D.24二、填空题(总题数：11，分数：22.00)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_7.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A，B 均为 n 阶方阵，且A=2，B=一 3则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 , 2 , 3 是 3 维列向量，令 A=( 1 , 2 , 3 )，B=( 3 +3 1 ， 2 ，4 1 )，且A=一 1，则B= 1.（分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 为 3 阶方阵，A=2，A * 为
3、 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行和与第 2 行得矩阵 B，则BA * = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A，B 为 3 阶方阵，且A=1，B=2，A -1 +B=2，则A+B -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设矩阵 A=(a ij ) 33 ，满足 A * =A T ，其中 A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，若 a 11 ,a 12 ,a 13 是 3 个相等的正数，则 a 13 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_14.设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A，B 为
4、 3 阶方阵，A 可相似于对角矩阵，且 A 2 A=D，B 2 +B=E，r(AB)=1则A+2E= 1.（分数：2.00）填空项 1:_16.设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A 2 +2A=D，若 r(A)=k(0kn)，求A+3E= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.计算三对角行列式 （分数：2.00）_19.设 3 阶行列式 （分数：2.00）_20.求行列式 （分数：2.00）_21.设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 2，m，k，3，第 2 列元素的余子式依次
5、为 1，一 1，1，一 1，第 4列元素的代数余子式依次为 3，1，4，2且行列式的值为 1，求 m，k（分数：2.00）_22.设 3 阶方阵 （分数：2.00）_23.计算行列式 （分数：2.00）_24.设 abc0，证明 （分数：2.00）_25.设 A 为 n 阶方阵，且 AA T =E，若A0，证明A+E=0（分数：2.00）_26.设 x 为 n 维列向量，且 x T x=1，若 A=E 一 xx T ，则A=0（分数：2.00）_27.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_考研数学二（行列式）-试卷 3 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，
6、分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设多项式 （分数：2.00）A.6，一 6B.一 6，6C.6，6D.一 6，一 6 解析：解析：本题考查行列式的概念，不需要计算行列式，由定义的一般项的构成可得到要求的结果由行列式的定义知，主对角线元素的乘积就是 x 4 的项，即 x.2x(一 x).3x=一 6x 4 当 x=0 时行列式的值就是常数项，经计算 f(0)=一 6，故选 D3.设多项式 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：本题考查行列式的概念、性质、计算公式和代数基本定理，方程的根与次数的关系不需
7、要计算行列式，根据定义的一般项的构成能看出多项式的次数即可由于4.行列式 （分数：2.00）A.(ad 一 6c) 2 B.一(ad 一 bc) 2 C.a 2 d 2 -b 2 c 2 D.b 2 c 2 一 a 2 d 2 解析：解析：用行列式的性质与公式计算行列式：5.设 A 为 3 阶矩阵，E 为 3 阶单位矩阵， 是线性无关的 3 维列向量，且 A 的秩 r(A)=2，A=，A=，则A+3E为( )（分数：2.00）A.0B.6C.18D.24 解析：解析：本题考查用特征值计算抽象矩阵的行列式先用特征值与特征向量的定义和 r(A)求出抽象矩阵的特征值，再根据特征值与该矩阵行列式的关系
8、计算行列式 由于 r(A)=2，所以 =0 是 A 的一个特征值，由 A=，A=，可得 A(+)=+，A()=一()，而 ， 线性无关，所以+0，0，所以 1，一 1 是 A 的另两个特征值，因此 A 的特征值为 0，1，一 1，于是 A+3E 的特征值是 3，4，2，故A+3E=342=24二、填空题(总题数：11，分数：22.00)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：48）解析：解析：本题考查行列式的性质及计算方法该行列式的特点是主对角线上元素相同，主对角线两侧的元素也相同、所以它的每列或每行元素之和为同一数，因此可用行列式的性质将所有的列(或行)都加到第
9、1 列(或第 1 行)，再化成上、下三角形行列式，最后计算出行列式的值这种计算行列式的方法形象地称为叠加法，再化成上、下三角形行列式，直接用公式计算其结果7.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 y 2 ）解析：解析：本题考查行列式的性质和按 1 列(或 1 行)展开定理 该行列式的特点是主对角线两侧的元素相同，但主对角线上的元素不同所以不能用叠加法，由行列式的展开定理将行列式加上 1 行和 1列使其将该行列式两侧相同的元素消成零，化成“个”字行列式，再用行列式的性质将个字行列式化成三角形行列式可求其值 注意到当 x=0 或 y=0 时，D=0，而当 xy0
10、时，有8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：本题主要考查行列式代数余子式的概念 根据行列式代数余子式的定义知：D 的第 1 列元素的代数余子式与第 1 列元素无关，所以，所求 A 11 +A 21 +A 31 +A 41 的值相当于将行列式 D 的第 1 列用 1 代替而得的行列式的值根据行列式按 1 行(列)展开定理得 9.设 A，B 均为 n 阶方阵，且A=2，B=一 3则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查方阵行列式的有关性质和计算公式熟练掌握方阵行列式的有关性质、公式和运算是解题的关键10.设 1
11、, 2 , 3 是 3 维列向量，令 A=( 1 , 2 , 3 )，B=( 3 +3 1 ， 2 ，4 1 )，且A=一 1，则B= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：本题考查行列式的性质、向量组与矩阵的关系和向量组线性组合的概念，灵活运用上述关系计算行列式用行列式的性质计算行列式B=4 3 ,3 1 , 2 , 3 =4 3 , 2 , 1 =一 4 1 , 2 , 3 =-4(一 1)=411.设 A 为 3 阶方阵，A=2，A * 为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行和与第 2 行得矩阵 B，则BA * = 1（分数：2.00）填空项 1
12、:_ （正确答案：正确答案：一 8）解析：解析：本题考查方阵行列式的计算，涉及的知识点是矩阵初等变换与初等矩阵的关系要求考生熟练运用矩阵初等变换与初等方阵的关系计算行列式由于 B=E(1，2)A，所以 BA * =E(1，2)AA * =AE(1，2)，故BA * =AE(1，2)=A 3 E(1，2)=一 2 3 =一 812.设 A，B 为 3 阶方阵，且A=1，B=2，A -1 +B=2，则A+B -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：本题考查方阵行列式的计算，涉及的知识点是逆矩阵的有关性质、要求考生运用应用矩阵与其逆矩阵的关系计算行列式A+
13、B -1 =A(A -1 +B)B -1 =AA -1 +BB -1 =12 13.设矩阵 A=(a ij ) 33 ，满足 A * =A T ，其中 A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，若 a 11 ,a 12 ,a 13 是 3 个相等的正数，则 a 13 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查行列式按行(列)展开定理、矩阵与其伴随矩阵的行列式的关系要求考生应用行列式的性质，展开定理、矩阵与其伴随矩阵的行列式的关系计算行列式由A T =A * 和A * =A 31 =A 2 ，得A 2 =A，即A(A1)=0，从而A=0
14、 或A=1将A按第一行展开，再由 A * =A T 知 a ij =A ij ，得A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 =a 12 2 +a 12 2 +a 13 2 =3a 11 2 0，于是得A=1，即 3a 11 2 =1，故 14.设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：24）解析：解析：本题考查用方阵的特征值与特征向量及相似矩阵的理论计算行列式由于 A 与 B 相似，所以B 的特征值为 15.设 A，B 为 3 阶方阵，A 可相似于对角矩阵，且 A 2 A=D，B 2 +B=E，r(
15、AB)=1则A+2E= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：本题考查求抽象矩阵的特征值和由矩阵的秩确定特征值以及行列式与其特征值的关系由 A 2 A=D 知 A 的特征值为 1，0，再由 B 2 +E=E 知 B 可逆，从而由 r(AB)=1 知 r(A)=1，又 A 可对角化，所以 A 的特征值为 1，0，0，因此 A+2E 的特征值为 3，2，2，故A+2E=322=1216.设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A 2 +2A=D，若 r(A)=k(0kn)，求A+3E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 n-k (0kn)
16、）解析：解析：本题考查用特征值计算抽象矩阵的行列式先用特征值与特征向量的定义求出抽象矩阵的特征值，再由 r(A)=k(0kn)确定 A 的特征值的重数，最后根据特征值与该矩阵行列式的关系计算行列式由 A 2 +2A=O 知，A 的特征值为一 2 或 0，又 r(A)=k(0kn)，且 A 是 n 阶实对称矩阵，则 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.计算三对角行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D n 按第 1 行展开，得 =(a+b)D n-1 -abD n-2 ，即得递推关系 D
17、n =(a+b)D n-1 一 abD n-2 由以上关系式可得 同理 D n 一 bD n-1 =a(D n-1 一 bD n-2 )=a n 于是有 )解析：解析：本题考查行列式的性质和展开定理此题为三对角行列式，通常用递推法 对于 n 阶行列式 D n ，若能找出 D n 与 D n-1 或 D n 与 D n-1 ，D n-2 之间的一种关系称为递推关系(其中 D n ，D n-1 ，D n-2 结构相同)，然后按此公式推出 D n ，这种计算行列式的方法称为递推法 一般地，当 n 阶行列式 D n 中元素 a 11 的余子式 M 11 与 D n 结构相同，可考虑用递推法19.设 3
18、 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 于是，得方程组 )解析：20.求行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 故 )解析：解析：本题主要考查行列式某元素余子式及其代数余子式的概念和 A 的伴随矩阵 A * 的构成 由于要求全部元素的代数余子式之和，所以只需求出 A 的伴随矩阵 A * ，其所有元素之和即为所求，注意到公式 A * =AA -1 ，因此需求A和 A -1 21.设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 2，m，k，3，第 2 列元素的余子式依次为 1，一 1，1，一 1，第 4列元素的代数余子式依次为 3，1，4，2且行列式的值为 1，求 m，k
19、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由行列式按行(列)展开定理及其推论，得 即 )解析：解析：本题考查行列式某元素余子式、代数余子式、行列式按行(列)展开定理及其推论22.设 3 阶方阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 BAB=E，得(A 2 一 B)B=A+E，即(A+E)(A 一 E)B=A+E，显然，A+E 可逆，所以在上式的两端左乘 A+E 的逆得(AE)B=E两边取行列式 )解析：解析：本题考查解矩阵方程后，再求方阵的行列式要熟练掌握方阵行列式的计算公式和解题方法23.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题主要考查行列式
20、的性质和范德蒙德行列式要求考生熟记范德蒙德行列式的计算公式24.设 abc0，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将行列式 D 的第 1 列乘 a 加到第 3 列，再将第 1 列乘 b 加到第 3 列，又将第 1 列乘 c 加到第 3 列得 )解析：解析：本题主要考查行列式的性质和范德蒙德行列式将该行列式化成范德蒙德行列式是解题的关键25.设 A 为 n 阶方阵，且 AA T =E，若A0，证明A+E=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AA T =E 得A=1，而A0，于是A=一 1又A+E=A+AA T =AE+A T =AA T +E T =一 1A+E即 2A
21、+E=0，故A+E=0)解析：解析：本题考查正交矩阵的性质，将 E 用 AA T 代入是证题的关键26.设 x 为 n 维列向量，且 x T x=1，若 A=E 一 xx T ，则A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 x T x=1，所以 x0，于是 Ax=(E 一 xx T )x=xxx T x=xx=0，故A=0)解析：解析：本题考查齐次线性方程组的克拉默法则要求考生掌握若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式为 027.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式等于零即 )解析：解析：本题考查齐次线性方程组的克拉默法则要求考生掌握若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式为零由此确定参数 a
