1、考研数学二（行列式）-试卷 4 及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 （分数：2.00）A.30mB.15mC.6mD.6m3.设 A 是 n 阶矩阵，则A * A（分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) * （分数：2.00）A.2 n A * B.2 n-1 A * C.D.5.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且Aa，Bb，若 C （分数：2.00）A.3abB.3 m abC.(1) mn 3 m a
2、bD.(1) (m+1)n 3 m ab6.2 是 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.若 （分数：2.00）填空项 1:_8.若 A （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A （分数：2.00）填空项 1:_10.设 ， 1 ， 2 ， 3 都是 4 维列向量，且A， 1 ， 2 ， 3 4，B，2 1 ，3 2 ， 3 21，则AB 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 D n （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：28，分数：56.00)12.解答题解答应写
3、出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.已知 是 n 维列向量，且 T 1，设 AE T ，证明：A0（分数：2.00）_14.设 A 是 n 阶矩阵，证明存在非 0 的 n 阶矩阵 B 使 AB0 的充分必要条件是A0（分数：2.00）_15.设 A 是 n 阶可逆矩阵，且 A 与 A -1 的元素都是整数，证明：A1（分数：2.00）_16.求 f() （分数：2.00）_17.A （分数：2.00）_18.设 A 与 B 分别是 m，n 阶矩阵，证明 （分数：2.00）_19.设 4 阶矩阵 A(， 1 ， 2 ， 3 )，B(， 1 ， 2 ， 3 )，A2，B3，求
4、AB（分数：2.00）_20.设 4 阶矩阵 A(， 1 ， 2 ， 3 )，B(， 2 ， 3 ， 1 )，Aa，Bb，求AB（分数：2.00）_21.设 D （分数：2.00）_22.计算行列式 （分数：2.00）_23.计算行列式 （分数：2.00）_24.已知(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，并且 a1，求 a（分数：2.00）_25.计笪 4 阶行列式 D （分数：2.00）_26.计算行列式 （分数：2.00）_27.计算行列式 （分数：2.00）_28.设 A （分数：2.00）_29.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_
5、30.证明 n 阶行列式 （分数：2.00）_31.证明 （分数：2.00）_32.证明 （分数：2.00）_33.证明 （分数：2.00）_34.证明 （分数：2.00）_35.计算 （分数：2.00）_36.计算 （分数：2.00）_37.计算与阶行列式 D （分数：2.00）_38.计算 n 阶行列式 D （分数：2.00）_39.设有方程组 （分数：2.00）_考研数学二（行列式）-试卷 4 答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 （分数：
6、2.00）A.30mB.15mC.6mD.6m 解析：解析：3.设 A 是 n 阶矩阵，则A * A（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为A * 是一个数，由kAk n A及A * A n-1 有 A * AA * n A(A n-1 ) n A 4.设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) * （分数：2.00）A.2 n A * B.2 n-1 A * C. D.解析：5.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且Aa，Bb，若 C （分数：2.00）A.3abB.3 m abC.(1) mn 3 m abD.(1) (m+1)n 3 m ab 解析：6.2 是 （分数：2.0
7、0）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件解析：解析：对于范德蒙行列式 D二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：8.若 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)1，所以A0或作矩阵乘法 A9.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：用kAk n A 及A -1 ，可知2A -1 (2) 3 A -1 8. 10.设 ， 1
8、， 2 ， 3 都是 4 维列向量，且A， 1 ， 2 ， 3 4，B，2 1 ，3 2 ， 3 21，则AB 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：180）解析：解析：因 AB(，3 1 ，4 2 ，2 3 )，故 AB，3 1 ，4 2 ，2 3 24， 1 ， 2 ， 3 24， 1 ， 2 ， 3 24A4B18011.已知 D n （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：三、解答题(总题数：28，分数：56.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.已知 是 n 维列向量，且 T 1，
9、设 AE T ，证明：A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A(E T ) T ( T )0，所以 是齐次方程组 A0 的非零解故A0)解析：14.设 A 是 n 阶矩阵，证明存在非 0 的 n 阶矩阵 B 使 AB0 的充分必要条件是A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性对零矩阵及矩阵 B 按列分块，设 B( 1 ， 2 ， n )，那么 ABA( 1 ， 2 ， n )(A 1 ，A 2 ，A n )(0，0，0)0 于是 A j 0(j1，2，n)，即 j 是齐次方程组 A0 的解 由 B0，知 A0 有非零解故A0 充分性因为A0，所以齐次线性方程组 A0
10、有非零解设 是 A0 的一个非零解，那么，令 B(，0，0，0)，则 B0而 AB0)解析：15.设 A 是 n 阶可逆矩阵，且 A 与 A -1 的元素都是整数，证明：A1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AA -1 E，有AA -1 1因为 A 的元素都是整数，按行列式定义A是不同行不同列元素乘积的代数和，所以A必是整数同理由 A -1 的元素都是整数而知A -1 必是整数因为两个整数A和A -1 相乘为 1，所以A与A -1 只能取值为1)解析：16.求 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在完全展开式的 24 项中除了对角线元素乘积这一项外，其他 23 项
11、的次数都不超过 2，因此(3)(8)(1) 中 3 的系数10 就是所求)解析：17.A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 4 个根为 1 ， 2 ， 3 ， 4 因为EA是 的 4 次多项式，并且 4 的系数为 1，所以 EA( 1 )( 2 )( 3 )( 4 ) 从右侧看为( 1 2 3 4 )；再从左侧看，因为EA对角线外的元素都是不含 的常数，所以在其展开式的 24 项中，只有对角线元素的乘积(a 11 )(a 22 )(a 33 )(a 44 )这一项包含 3 的，并且系数为(a 11 a 22 a 33 a 44 )于是 1 2 3 4 a 11 a 22 a 33
12、a 44 )解析：18.设 A 与 B 分别是 m，n 阶矩阵，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第 1 列依次和左部分的各列邻换(共进行了 n 次)，再把右部分的第 2 列依次和左部分的各列邻换，最后把右部分的第 m 列依次和左部分的各列邻换一共进行了 mn 次邻换于是 )解析：19.设 4 阶矩阵 A(， 1 ， 2 ， 3 )，B(， 1 ， 2 ， 3 )，A2，B3，求AB（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB(，2 1 ，2 2 ，2 3 )， AB，2 1 ，2 2 ，2 3 8， 1 ， 2 ， 3 (用性
13、质，二，三，四列都提出 2) 8(， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 ) 8(23)40)解析：20.设 4 阶矩阵 A(， 1 ， 2 ， 3 )，B(， 2 ， 3 ， 1 )，Aa，Bb，求AB（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB(， 1 2 ， 2 3 ， 3 1 )， AB， 1 2 ， 2 3 ， 3 1 ，2 1 2 3 ， 2 3 ， 3 1 (把第 4 列加到第 2 列上) ，2 1 ， 2 3 ， 3 1 (第 2 列减去第 3 列) 2， 1 ， 2 3 ， 3 2， 1 ， 2 ， 3 2(， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 ) 2(，
14、 1 ， 2 ， 3 ， 2 ， 3 ， 1 )2a2b AB2a26)解析：21.设 D （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求的是此行列式第 3 列元素的代数余子式 A 13 ，A 23 ，A 33 ，A 43 依次乘1，1，2，1 后的和A 13 ，A 23 ，A 33 ，A 43 和行列式的第 3 列元素是无关的，此如果把第 3 列元素改为1，1，2，1，则 A 13 ，A 23 ，A 33 ，A 43 不改变于是修改后的行列式的值它对第 3 列的展开式A 13 A 23 A 33 A 43 ! )解析：22.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23
15、.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先提出第 5 行的公因子 a再把上面 4 行依次加上它的2a 倍，a 倍，a 倍和 2倍： )解析：24.已知(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，并且 a1，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这 4 个向量线性相关 以它们为行(或列)向量构成的 4 阶行列式为 0 )解析：25.计笪 4 阶行列式 D （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，就可化为上三角行列式： D )解析：26.计算行列式 （
16、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先把 2 至 5 列都加到第 1 列上，要自下而上 2 至 4 行各减去上行： )解析：27.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用行、列的交换容易把此行列式化为分块的形式，第 4 列依次与 3，2 列交换，第4 行依次和 3，2 行交换： )解析：28.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对第 1 列展开： AA 11 aA 41 M 11 aM 41 1a 4 )解析：29.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记此行列式为 D n 当 n3 时，把 D n 的第 2 行减第 1 行，然后第 4
17、 行减第 2行，变为分块行列式： D n AD n-3 又易求出 D 1 1，D 2 0，D 3 1，于是 D n )解析：30.证明 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记此行列式为 D n 对第 1 行展开，得到一个递推公式 D n (1a)D n-1 aD n-2 下面用数学归纳法证明本题结论 (1)验证 n1，2 时对： D 1 1a， D 2 )解析：31.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记此行列式为 D n ，要证明 D n (n1)a n ，(I n ) 先求递推公式对第 1 行展开，得 D n 2aD n-1 a 2 D n-2 再用数学归纳
18、法： 先检查 n1 和 2，D 1 2a，D 2 3a 2 ，(I 1 )和(I 2 )都成立 设当 kn 时(I k )都成立，则 D n 2aD n-1 a 2 D n-2 2ana n-1 a 2 (n1)a n-2 (n1)a n ，(I n )成立)解析：32.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ab把第 1 行分解为(ab，b，0)(b，0，0)(a，b，0)，则 得 D n bD n-1 a n ，(1) 对称地有 D n aD n-1 b n ，(2) a(1)一 b(2)，得 (ab)D n a n+1 b n+1 ， D n )解析：33.证明 （分数：2.
19、00）_正确答案：(正确答案：把要证明的值的表达式和对第 1 行的展开式对照： 就可看出结论也就是对每个 i，有 M 1i b 1 b i-1 c i+1 c n 而这个等式只要写出 M 1i 就可得到： )解析：34.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a 0 的代数余子式 A 11 M 11 c i i1 时 a i 的代数余子式 A 1i1 (1) i M 1i+1 于是 M 1i+1 G i H i (1) i+1 b i c 1 c i-1 c i+1 c n )解析：35.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：各行减上行得 )解析：36.计算 （分数：2.00
20、）_正确答案：(正确答案： )解析：37.计算与阶行列式 D （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对第一行展开： DAAAA14A15 1 M 14 M 12 M1 13 M 14 M 15 )解析：38.计算 n 阶行列式 D （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对第一列展开： 其中 G i 是一个对角线元素都是1 的 i1 阶下三角矩阵，H i 是一个对角线元素都是 的 ni 阶上三角矩阵，于是 M i1 G i H i (1) i-1 n-i 代入得 D )解析：39.设有方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用矩阵消元法和初等变换法 (1)A(ba)(cb)(ca)，于是唯一解 A0 a，b，c 两两不等 (2) )解析：
