1、考研数学（数学一）模拟试卷 489 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，但不可偏导B.可偏导，但不连续C.连续、可偏导，但不可微D.可微3.设 f(x)= （分数：2.00）A.a=2，b=2，c=1B.a=一 2，b=一 2，c=一 1C.a=一 2，b=2，c=1D.a=一 2,b=2，c=一 14. （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x)满足： （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)
2、的极小值点B.x=0 为 f(x)的极大值点C.x=0 不是 f(x)的极值点D.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点6.设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=0，则 r(B)=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.37.下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.设 r(A)=r，则 A 可以经过初等行变换化为B.设 A 为可逆矩阵，则 A 一定可相似对角化C.设 A 有 r 个非零特征值，则 r(A)=rD.正定矩阵一定可逆8.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）A.2B.4C.6D.89.已知 E(X)=1，E(X 2
3、)=3，用切比雪夫不等式估计 P一 1X4a则 a 的最大值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. yzdx+3zxdy 一 xydz= 1，其中 为曲线 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 连续，且 x 2 +y 2 +z 2 = x y (x+y-t)dt，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)是以 2 为周期的函数，当 x一 ，时，f(x)= f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 x 2 y“一 2xy+2y=x+4 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1
4、:_14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.计算二重积分 （分数：2.00）_18.设 f(x)ca，b且 f(x)为单调增函数，若 f(a)0， a b f(x)dx0，证明： (I)存在 (a，b)，使得 a f(x)dx=0； ()存在 (a，b)，使得 a f(x)dx=f()（分数：2.00）_19
5、.设 f(x，y)=(x 一 6)(y+8)，求函数 f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数 g(x，y)，并求 g(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 25)上的最大值与最小值（分数：2.00）_20.求曲面积分 （分数：2.00）_21.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它存进入大气层开始燃烧的前 3 s 内，减少了体积的 （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.(I)设 A，B 为 n
6、 阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵 A，B 相似 ()设 （分数：2.00）_24.设(X，Y)的联合密度函数为 (I)求常数 k； ()求 X 的边缘密度； ()求当 X= （分数：2.00）_25.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m-n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 489 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，但不可偏导B
7、.可偏导，但不连续C.连续、可偏导，但不可微D.可微 解析：解析：由 =0=f(0，0)得 f(x，y)在(0，0)处连续3.设 f(x)= （分数：2.00）A.a=2，b=2，c=1B.a=一 2，b=一 2，c=一 1C.a=一 2，b=2，c=1 D.a=一 2,b=2，c=一 1解析：解析：f(00)=f(0)=c,f(0+0)=1，由 f(x)在 x=0 处连续得 c=1， 由 f(0)存在得 b=2，4. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：5.设 f(x)满足： （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极小值点 B.x=0 为 f(x)的极大值点C.x=0 不是
8、 f(x)的极值点D.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 得 f(0)=0，f(0)=0，当 x0 时，由 xf“(x)一 x 2 f 2 (x)=1 一 e -2x 得 f“(x)=xf 2 (x)+ 再由 f(x)二阶连续可导得 f“(0)= 6.设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=0，则 r(B)=( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A*)=0 或 r(A*)=1，因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1，于是 r(A)=n 一 1，又由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，从而
9、 r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1，故r(B)=1，应选(B)7.下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.设 r(A)=r，则 A 可以经过初等行变换化为B.设 A 为可逆矩阵，则 A 一定可相似对角化C.设 A 有 r 个非零特征值，则 r(A)=rD.正定矩阵一定可逆 解析：解析：若 A 为正定矩阵，则 i 0(i=1，2，n)，由|A|= 1 2 n 0 得 r(A)=n，应选(D)8.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）A.2B.4C.6 D.8解析：解析：9.已知 E(X)=1，E(X 2 )=3，用切比雪夫不等式估计 P一
10、1X4a则 a 的最大值为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：D(X)=2，由切比雪夫不等式得 P|XE(X)| P1 一 X1+ P一1X4P一 1X3P|X 一 1|2 则 a 的最大值为二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. yzdx+3zxdy 一 xydz= 1，其中 为曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：设曲线 ： 所在的截口平面为，取上侧，其法向量为 n=0，一 3，1，法向量的方向余弦为 cos=0， 由斯托克斯公式得 曲面：z=3y+1，其在 xOy,平面内的投影区域为 D xy ：x 2 +y 2 4y
11、， 11.设 连续，且 x 2 +y 2 +z 2 = x y (x+y-t)dt，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(y)一 (x)一 2(x+y)）解析：解析：12.设 f(x)是以 2 为周期的函数，当 x一 ，时，f(x)= f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：当 x 为 f(x)的连续点时，f(x)=S(x)； 当 x 为 f(x)的间断点时，S(x)= 于是13.微分方程 x 2 y“一 2xy+2y=x+4 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
12、：y=C 1 x+C 2 x 2 一 xlnx+2）解析：解析：令 x=e t ， 14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0 或 4）解析：解析：由|EA|= =( 一 a)( 一 4)=0 得 1 =0， 2 =a， 3 =4 因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根，从而 a=0 或 a=4 当 a=0 时，由 r(0EA)=r(A)=2 得 1 = 2 =0 只有一个线性无关的特征向量，则 A 不可对角化，a=0 符合题意； 当 a=4 时，4EA= 15.10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是
13、次品，则另一件也为次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品，三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)|x 2 +y 2 1，x0，y0，D 2 =DD 1 ， )解析：18.设 f(x)ca，b且 f(x)为单调增函数，若 f(a)0， a b f(x)dx0，证明： (I)存在 (a，b)，使得 a f(x)dx=0；
14、 ()存在 (a，b)，使得 a f(x)dx=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由积分中值定理 a b (x)dx=f(c)(b 一 a)0，其中 ca，b，显然 f(c)0 且 c(a，b 因为 f(a)f(c)0，所以由零点定理，存在 x 0 (a，c)，使得 f(x 0 )=0 再由f(x)单调增加得，当 xa,x 0 )时，f(x)0；当 x(x 0 ,b时，f(x)0 令 F(x)= a x f(t)dt，显然 F(x 0 )0，F(b)0，由零点定理，存在 (a，b)，使得 F()= 0，即 a f(x)dx=0 ()令 (x)=e -x a x f(t)dt
15、，(a)=()=0， 由罗尔定理。存在 (a，) )解析：19.设 f(x，y)=(x 一 6)(y+8)，求函数 f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数 g(x，y)，并求 g(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 25)上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f(x，y)的梯度为 gradf(x，y)=y+8，x 一 6， =gradf.cos，cos=gradf.e=|gradf|cos， 其中 e 为射线对应的单位向量， 为梯度与射线的夹角， 令 H(x，y)=(x 一 6) 2 +(y+8) 2 ， 当 x 2 +y 2 25 时，因为 在
16、 x 2 +y 2 25 内无解，所以 H(x，y)的最大值与最小值在区域 D 的边界上取到 当 x 2 +y 2 =25， 令F(x，y，)=(x 一 6) 2 +(y+8) 2 +(x 2 +y 2 一 25)， )解析：20.求曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 :z=0(x 2 +y 2 1)，取下侧，则 )解析：21.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它存进入大气层开始燃烧的前 3 s 内，减
17、少了体积的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数， 其中 V 0 为燃烧前的体积 )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )，矩阵方程化为 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )，即 当 a=1，b=2，c=一 2 时，矩阵方程有解， )解析：23.(I)设 A，B 为 n 阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵 A，B 相似 ()设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)设 A，B 的特征值为 1 ，
18、 2 ， n . 因为 A，B 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 于是 P 1 -1 AP 1 =P 2 -1 BP 2 ，或(P 1 P 2 -1 ) -1 A(P 1 P 2 -1 )=B，令 P=P 1 P 2 -1 ，则 P -1 AP=B，即矩阵 A，B 相似 ()由|EA|= =(+1)( 一 1) 2 =0 得 1 =一 1， 2 = 3 =1；由|EB|= =(+1)( 一 1) 2 =0 得 1 =一 1， 2 = 3 =1 )解析：24.设(X，Y)的联合密度函数为 (I)求常数 k； ()求 X 的边缘密度； ()求当 X= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m-n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)因为 X 1 ，X 2 ，X m+n 相互独立， ()Cov(Y，Z)=CovE(X 1 +X m )+(X m+1 +X n )，X m+1 +X m+n =Cov(X 1 +X m ，X m+1 +X m+n )+Cov(X m+1 +X n ，X m+1 +X m+n )=D(X m+1 +X n )+Cov(X m+1 +X n ,X n+1 +X m+n )=(n 一 m) 2 ， )解析：
