1、考研数学（数学一）模拟试卷 497 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/53.设数列a n 单调增加且有上界， 为常数，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 有关4.设 g(x)在(一，)内存在二阶导数，且 g(x)0令 f(x)g(x)g(一 x)，则当 x0 时（分数：2.00）A.f(x)0B.f(x)0C.f(x)与 x 同号D.f(x)与 x 异号5.
2、设 f(x)连续且 f(x)0，F(x) （分数：2.00）A.f(x)sin xB.f(x)cos xC.f(x)(sin xcos x)D.f(x)6.设 n 阶行列式 D 中有一行元素及其余子式均为 a(a0)，k 是自然数，则（分数：2.00）A.n2k，D0B.n2k1，D0C.n2k，Da 2 D.n2k1，Da 2 7.设 （分数：2.00）A.adbc0B.b，c 同号C.bcD.b，c 异号8.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的根据以往的记录有以下的数据： （分数：2.00）A.元件制造厂 1B.元件制造厂 2C.元件制造厂 3D.无法判断9.设 X 1 ，X
3、 2 ，X n 是取自总体 XN(， 2 )的简单随机样本样本均值 ,样本方差 （分数：2.00）A.样本均值B.样本方差 S 2 是 2 的无偏估计、一致估计C.D.样本标准差 S 是 的无偏估计，但不是一致估计二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.已知 f(x)arctan(x 一 1) 2 ，f(0)0,则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(u)有连续的一阶导数，S 是曲面 z6x 2 y 2 (6z7)，方向取上侧则曲面积分 （分数：2.00）填空项 1:_12.椭圆 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是 n
4、阶矩阵， 是 n 维列向量，a，b，c 是实数，已知 则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设(X，Y)的联合分布列如下，且 X 和 Y 相互独立， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：36.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 l 为从点 A(一 ，0)沿曲线 ysin x 至点 B(，0)的有向弧段，求 （分数：2.00）_设 f(x，y)在平面区域 D(x，y) |x 2 y 2 1上有二阶连续偏导数，且 （分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_(2).求二重积分 （分数：2.00）_设 是常数，考虑积分 （分数
5、：4.00）(1).证明上述积分总是收敛的；（分数：2.00）_(2).求上述积分的值（分数：2.00）_设 n 为正整数，F(x) （分数：4.00）(1).证明：对于给定的 n，F(x)有且仅有一个零(实)点，并且是正的，记该零点为 a n ；（分数：2.00）_(2).证明幂级数 （分数：2.00）_设微分方程 （分数：4.00）(1).做自变量变换 tln x 以及因变量变换 z （分数：2.00）_(2).求原微分方程的通解.（分数：2.00）_设 A （分数：4.00）(1).求满足 AX 一 XAO 的所有 X；（分数：2.00）_(2).方程 AX 一 XAE，其中 E 是 2
6、 阶单位矩阵，问方程是否有解若有解，求满足方程的所有 X，若无解，说明理由（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )x T Ax(x 1 ，x 2 ，x 3 ) ，满足 2，ABO，其中 B （分数：6.00）(1).用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；（分数：2.00）_(2).求该二次型；（分数：2.00）_(3).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )1 表示什么曲面?（分数：2.00）_设随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y) （分数：4.00）(1).求 f X (x)，f Y (y)，判断 X 与 Y 是否独立?（分数：2.00）_(2).记 UX
7、，VYX，求(U，V)的分布函数 F(u，v)，并判断 U，V 是否独立?（分数：2.00）_已知随机变量 X 的概率密度为 f(x) （分数：4.00）(1).求未知参数 的矩估计量和最大似然估计量；（分数：2.00）_(2). 的矩估计量是否为 的无偏估计?（分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 497 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5 解析：3.设数列a n 单调增加且有
8、上界， 为常数，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性与 有关解析：4.设 g(x)在(一，)内存在二阶导数，且 g(x)0令 f(x)g(x)g(一 x)，则当 x0 时（分数：2.00）A.f(x)0B.f(x)0C.f(x)与 x 同号D.f(x)与 x 异号 解析：5.设 f(x)连续且 f(x)0，F(x) （分数：2.00）A.f(x)sin xB.f(x)cos xC.f(x)(sin xcos x)D.f(x) 解析：6.设 n 阶行列式 D 中有一行元素及其余子式均为 a(a0)，k 是自然数，则（分数：2.00）A.n2k，D0 B.n2k1
9、，D0C.n2k，Da 2 D.n2k1，Da 2 解析：7.设 （分数：2.00）A.adbc0B.b，c 同号C.bcD.b，c 异号 解析：8.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的根据以往的记录有以下的数据： （分数：2.00）A.元件制造厂 1B.元件制造厂 2 C.元件制造厂 3D.无法判断解析：9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 XN(， 2 )的简单随机样本样本均值 ,样本方差 （分数：2.00）A.样本均值B.样本方差 S 2 是 2 的无偏估计、一致估计C.D.样本标准差 S 是 的无偏估计，但不是一致估计 解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.
10、00)10.已知 f(x)arctan(x 一 1) 2 ，f(0)0,则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 f(u)有连续的一阶导数，S 是曲面 z6x 2 y 2 (6z7)，方向取上侧则曲面积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：添平面 S 1 ：z7(x 2 y 2 1)，向下， 12.椭圆 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题可知 y13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：一方面，因为 而 另一方面， 由夹逼定理14.
11、设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，a，b，c 是实数，已知 则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(c 一 b)a）解析：解析：15.设(X，Y)的联合分布列如下，且 X 和 Y 相互独立， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：求 a，b 的值有两种方法 法一 利用独立性定义，有 法二 由联合概率矩阵 的秩等于 1，可知道矩阵任两行(或两列)成比例 由第 2 列知第 1 行是第 2 行的 1/3 倍，所以 ； 由第 1 行知第 3 列是第 2 列的 2 倍，所以 故(X，Y)的联合分布列为 所以 E(XY)三、解答题(总题数：
12、10，分数：36.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设 l 为从点 A(一 ，0)沿曲线 ysin x 至点 B(，0)的有向弧段，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 如图所示，添加有向直线段 y0，自点 B(，O)至点 A(一 ，0)，其中自点 B至点 O(0，0)的有向直线段记为 l 1 ，点 0(0，0)至点 A 的有向直线段记为 l 2 ，曲线 ysin x(一x)与 l 1 l 2 构成 8 字形分别围成的两个有界闭区域，记为 D 1 与 D 2 D 1 的边界走向为负向，D 2 的边界走向为正向 由格林公式，可得 I 由于 又 )解
13、析：设 f(x，y)在平面区域 D(x，y) |x 2 y 2 1上有二阶连续偏导数，且 （分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由格林公式，P(x，y)(x 2 y 2 )f y ，Q(x，y)一(x 2 y 2 )f x ，则 )解析：(2).求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由()并利用条件 有 对于上面右边第一式，由于在 l 上，x 2 y 2 1，于是 )解析：设 是常数，考虑积分 （分数：4.00）(1).证明上述积分总是收敛的；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由()并利用条件 有 对于上面右边第一式，由于在 l 上，
14、x 2 y 2 1，于是 )解析：(2).求上述积分的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作积分变量代换，令 I 从而 2I 所以 )解析：设 n 为正整数，F(x) （分数：4.00）(1).证明：对于给定的 n，F(x)有且仅有一个零(实)点，并且是正的，记该零点为 a n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以对于给定的 n，F(x)有且仅有一个零点，记为 a n ，且 )解析：(2).证明幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 ，所以有 所以a n 严格单调减少且 0 由莱布尼茨定理知 收敛但 ，所以 发散所以幂级数 )解析：设微分方程 （分数：4.
15、00）(1).做自变量变换 tln x 以及因变量变换 z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 tln x，有 得 ，再由 z 得 z 关于 t 的微分方程为 )解析：(2).求原微分方程的通解.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由上述方程 解得 得 ，解得 )解析：设 A （分数：4.00）(1).求满足 AX 一 XAO 的所有 X；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用待定元素法求 X 设 X ，代入方程，则 AXXA 各元素为零，得齐次线性方程组 记作 Bx0 对系数矩阵 B 作初等行变换 B 得基础解系 1 (2，2，1，0) T ， 2 (1，0，0，1)
16、T ， 通解为 ，其中 K 1 ，K 2 是任意常数 则 X )解析：(2).方程 AX 一 XAE，其中 E 是 2 阶单位矩阵，问方程是否有解若有解，求满足方程的所有 X，若无解，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X 由()有，AXXAE 得线性非齐次方程组 )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )x T Ax(x 1 ，x 2 ，x 3 ) ，满足 2，ABO，其中 B （分数：6.00）(1).用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件 ABA O，故 B 的 3 个列向量都是 Ax0 的解向量，也
17、是 A 的对应于 0 的特征向量，其中 1 ，线性无关且正交， ，故 0 至少是二重特征值 又因 ，另一个特征值是 3 2，故 1 2 0 是二重特征值因 A 是实对称矩阵，故对应 3 2 的特征向量应与 1 ， 2 正交，设 3 (x 1 ，x 2 ， x 3 ) 1 ，则有 故存在正交变换 xQy,其中 Q ，使得 fx T Axy T )解析：(2).求该二次型；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求二次型对应矩阵，因 Q T AQQ -1 AQ ，故 A 故所求二次型为f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) )解析：(3).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )1 表示什么曲面?（分数
18、：2.00）_正确答案：(正确答案：法一 由标准形知 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) 表示两个平行平面. 法二由()得二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) )解析：设随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y) （分数：4.00）(1).求 f X (x)，f Y (y)，判断 X 与 Y 是否独立?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由随机变量(X，Y)的概率密度得 )解析：(2).记 UX，VYX，求(U，V)的分布函数 F(u，v)，并判断 U，V 是否独立?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(u，v)PUu，Vv PXu，YXv (一u，v) 若 u0，v0，
19、如图(a)所示，则 F(u，v)0； 若 u0，v0，如图(b)所示， F(u，v) 故 F U (u)F(u，) )解析：已知随机变量 X 的概率密度为 f(x) （分数：4.00）(1).求未知参数 的矩估计量和最大似然估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 的矩估计量设 又 由于 EX，故 再求 的最大似然估计量当 x i 0(i1，2，n)时，似然函数为 L() 两边取对数 InL()nln 421n(x 1 ，x 2 ，x n )一 3nln 一 令1nL() 0，得 )解析：(2). 的矩估计量是否为 的无偏估计?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以 )解析：
