1、考研数学（数学三）模拟试卷 452 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列广义积分收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.将二重积分 改写成直角坐标形式为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 ， 均为大于 1 的常数，则级数 （分数：2.00）A.当 时收敛。B.当 时收敛。C.当 时收敛。D
2、.当 时收敛。6.设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知 （分数：2.00）A.等价、相似、合同。B.等价、相似、不合同。C.不等价、不相似、不合同。D.等价、不相似、合同。8.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，方差存在且不为零，记 U=XY，V=X+Y，则 U 与 V 必然( )（分数：2.00）A.不独立。B.独立。C.相关系数不为零。D.相关系数为零。9.设 X 1 ，X n ，是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值
3、和方差分别为 ，S 2 ，则下列服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.函数 y=f(x)由参数方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_11. (x 2 + 0 x （分数：2.00）填空项 1:_12.以 C 1 e x +C 2 e x +C 3 为通解的常系数齐次线性微分方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 z=f(x，y)由方程 xaz=(ybz)所确定，其中 可导，且 ab0，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_
4、15.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 E(X 2 e X )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)在(，0上连续，且满足 0 x tf(t 2 x 2 )dt= （分数：2.00）_18.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过原点，当 0x1 时，y0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的面积为 （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)=2 （分数：2.00）_20.将函
5、数 f(x)= （分数：2.00）_21.设某厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时总收益函数为 R(x，y)=27x+42yx 2 2xy4y 2 ，总成本函数为 C(x，y)=36+12x+8y(单位：万元)。除此之外，生产甲种产品每吨还需支付排污费 1 万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费 2 万元。 ()在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?总利润是多少? ()当限制排污费用支出总和为 6万元的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?（分数：2.00）_22.设矩阵 （分数：2.00）_23.设二次型
6、 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +ax 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 ，经过正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 。 ()求 a，b 的值； ()求正交变换 x=Qy，使二次型化为标准形。（分数：2.00）_24.设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 已知 E(X)=2，P(1X3)= （分数：2.00）_25.设总体 X 服从0，上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，试求： ()未知参数 的最大似然估计量 ； () （分数：2.00）_考研数学（数学三）
7、模拟试卷 452 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，有 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：已知 ax 3 +bx 2 +cx 0 ln(1+2x) sintdt，因此有 可知 c=0。又 3.下列广义积分收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：选项(A)中， ，因此该积分发散。 选项(B)中， ，该积分发散。 选项(C
8、)中，该积分收敛。 选项(D)中，4.将二重积分 改写成直角坐标形式为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：极坐标系中的 2sec 对应直角坐标系中的直线 x=2，极坐标系中的 2csc 对应直角坐标系中的直线 y=2，因此根据极坐标系下的表达式可画出积分区域如图 1 所示： 根据极坐标系与直角坐标系间的关系 x=rcos，y=rsin，可得二重积分化为直角坐标形式为5.设 ， 均为大于 1 的常数，则级数 （分数：2.00）A.当 时收敛。B.当 时收敛。 C.当 时收敛。D.当 时收敛。解析：解析：这里有三种类型的无穷大量： n (0)，q n (q1)，ln n(1)，
9、 当 n+，它们的关系是 =0。 现将此正项级数的一般项进行变形： 6.设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，可知 B= ，把 B 的第 2 列加到第 3 列上得 C，则 C=，因此7.已知 （分数：2.00）A.等价、相似、合同。B.等价、相似、不合同。C.不等价、不相似、不合同。D.等价、不相似、合同。 解析：解析：由于 r(A)=3，r(B)=3，所以 A 与 B 等价。 A 与 B
10、 均为实对称矩阵，若特征值相同，则 A 与B 相似，否则 A 与 B 不相似。由于 所以 A 的特征值为 A =1，3，1，B 的特征值为 B =2， 8.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，方差存在且不为零，记 U=XY，V=X+Y，则 U 与 V 必然( )（分数：2.00）A.不独立。B.独立。C.相关系数不为零。D.相关系数为零。 解析：解析：根据独立同分布随机变量的性质，有 E(UV)=E(X 2 Y 2 )=E(X 2 )E(Y 2 )=0， E(U)E(V)=E(X) 2 E(Y) 2 =0。 所以由 Cov(U，V)=E(UV)E(U)E(V)=0 可得相关系数 UV =0。故
11、选(D)。9.设 X 1 ，X n ，是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2 ，则下列服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于总体 XN(， 2 )，因此 ，因此 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.函数 y=f(x)由参数方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 当 x=0 可得 t=0，则 f(0)=1，故极限11. (x 2 + 0 x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由积分的性质 因为 x
12、 3 cos 2 x 是奇函数，积分为零，可进一步化为 12.以 C 1 e x +C 2 e x +C 3 为通解的常系数齐次线性微分方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“y=0）解析：解析：C 1 e x +C 2 e x +C 3 为齐次线性微分方程的通解，所以可以得到特征根为r=1，r=1，r=0，特征方程为(r+1)(r1)r=0，则微分方程为 yy=0。13.设函数 z=f(x，y)由方程 xaz=(ybz)所确定，其中 可导，且 ab0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：方程两边同时对 x 求导可得 方程
13、两边同时对 y 求导数可得14.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由 AB=AC 可得 A(BC)=O，则齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，所以 r(A)2；另一方面，因为 A * O，所以 r(A)2，从而 r(A)=2，所以 a=2。15.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 E(X 2 e X )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由期望的定义得三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x
14、)在(，0上连续，且满足 0 x tf(t 2 x 2 )dt= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=t 2 x 2 ，du=2tdt， 0 x tf(t 2 x 2 )dt= ，故 得x=3。当 x3 时，f(x)0，当3x0 时，f(x)0，所以 f(x)在 x=3 处取得极小 f(3)= )解析：18.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过原点，当 0x1 时，y0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知曲线过点(0，0)，得 c=0，即 y=ax 2 +bx。 如图 2 所示，从xx+dx 的面积 dS
15、=ydx，所以 当 y=ax 2 +bx 绕 x 轴旋转一周时，则从 xx+dx 的体积 dV=y 2 dx，所以旋转体积 )解析：19.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)=2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据 =0，可得 f(1)=1，又 所以 f(1)=0。由积分中值定理知。存在一点 c ，使得 于是根据罗尔定理，存在 x 0 (c，2) (1，2)，使得 f(x 0 )=0。 令 (x)=e x f(x)，则 (1)=(x 0 )=0，再一次根据罗尔定理，存在 (1，x 0 ) )解析：20.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正
16、确答案：(正确答案：令 u=x2，于是 x=u+2， )解析：21.设某厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时总收益函数为 R(x，y)=27x+42yx 2 2xy4y 2 ，总成本函数为 C(x，y)=36+12x+8y(单位：万元)。除此之外，生产甲种产品每吨还需支付排污费 1 万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费 2 万元。 ()在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?总利润是多少? ()当限制排污费用支出总和为 6万元的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
17、()总利润函数 L(x，y)为 L(x，y)=R(x，y)C(x，y)x2y=14x+32yx 2 2xy4y 2 36。 求 L(x，y)的驻点，令 可解得唯一驻点 x=4，y=3，且此时 L(x，y)=40。 因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在不限制排污费用支出的情况下，当甲、乙两种产品的产量分别为 x=4(吨)和 y=3(吨)时，总利润达到最大值，且总利润是 40 万元。 ()求总利润函数L(x，y)在约束条件 x+2y=6 下的最大值，可用拉格朗日乘数法。引入拉格朗日函数 F(x，y，)=L(x，y)+(x+2y6)， 求 F(x，y，)的驻点，令 )解析：22.设
18、矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为方程组有解但不唯一，所以 解得 a=2 或 a=1。 若 a=1，则增广矩阵 系数矩阵和增广矩阵的秩不相同，方程组无解，因此 a=2。 ()由于 1 ， 2 ， 3 分别是属于 A 的三个不同特征值的特征向量，故正交。将特征向量单位化 )解析：23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +ax 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 ，经过正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 。 ()求 a，b 的值； ()求正交变换 x=Qy，使二次型化为标准形。（分数：2.00）
19、_正确答案：(正确答案：()令 ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax，因为二次型经过正交变化为 3y 1 2 +3y 2 2 。所以矩阵 A 的三个特征值烦恼别为 1 =3， 2 =3， 3 =0，根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，即有 1 + 2 + 3 =4+a=6，得 a=2， 1 2 3 =A=2(b+2)(b1)=0，得 b=2 或 b=1。 )解析：24.设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 已知 E(X)=2，P(1X3)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由概率密度的性质，即 + f(x)dx=
20、1，可得 1= 0 2 axdx+ 2 4 (cx+b)dx=2a+6c+26。 根据已知条件，有 ()Y=e X 的数学期望为 因此 Y=e X 的方差为 )解析：25.设总体 X 服从0，上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，试求： ()未知参数 的最大似然估计量 ； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()为求 的期望值，先求 的分布。 由于总体 X 服从0，上的均匀分布，因此 X i (i=1，n)也服从0，上的均匀分布。其分布函数为 记 的分布函数为 G(x)，密度函数为 g(x)，则： 当 x0 时，G(x)=0；当 x 时，G(x)=1；当0x 时， 由于 X 1 ，X n 相互独立，于是有 )解析：
