1、 2013 年内蒙古呼和浩特市中考 真题 数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（ 3 分） 3 的相反数是（ ） A.3 B. 3 C. D. 解析 ： 根据相反数的概念 答案 即可 . 答案 ： A. 2.（ 3 分）下列运算正确的是（ ） A.x2+x3=x5 B.x8x 2=x4 C.3x 2x=1 D.（ x2） 3=x6 解析 ： A、 x2与 x3不是同类项不能合并，故选项错误； B、应为 x8x 2=x6，故选项错误； C、应为 3x 2x=x，故选项错误； D、（ x2） 3=x6，正确
2、. 答案： D. 3.（ 3 分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 ：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； 第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有 3 个 . 答案： C. 4.（ 3 分）下列说法正确的是（ ） A.“ 打开电视剧，正在播足球赛 ” 是必然事件 B.甲组数据的方差 =0.24，乙组数据的方差 =0.03，则乙组数据比甲组数据稳定 C.一组数据 2，
3、4， 5， 5， 3， 6 的众数和中位数都是 5 D.“ 掷一枚硬币正面朝上的概率是 ” 表示每抛硬币 2 次就有 1 次正面朝上 解析 ： A、 “ 打开电视剧，正在播足球赛 ” 是随机事件，故本选项错误； B、因为 =0.24， =0.03，乙组数据比 甲组数据稳定，故本选项正确； C、一组数据 2， 4， 5， 5， 3， 6 的众数是 5，中位数是 4.5，故本选项错误； D、 “ 掷一枚硬币正面朝上的概率是 ” 表示每抛硬币 2 次可能有 1 次正面朝上，故本选项错误； 答案： B. 5.（ 3 分）用激光测距仪测得两地之间的距离为 14 000 000 米，将 14 000 00
4、0 用科学记数法表示为（ ） A.1410 7 B.1410 6 C.1.410 7 D.0.1410 8 将诶西 ： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值大于 1 时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时， n 是负数 . 答案： C. 6.（ 3 分）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ） A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形 解析 ： A、正十边形每个内角是 180 36010=144 ，不能整除 3
5、60 ，不能单独进行镶嵌，不符合题意； B、正八边形每个内角是 180 3608=135 ，不能整除 360 ，不能单独进行镶嵌，不符合题意 ； C、正六边形的每个内角是 120 ，能整除 360 ，能整除 360 ，可以单独进行镶嵌，符合题意； D、正五边形每个内角是 180 3605=108 ，不能整除 360 ，不能单独进行镶嵌，不符合题意； 答案 ： C. 7.（ 3 分）从 1 到 9 这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 解： 1 9 这九个自然数中，是偶数的数有： 2、 4、 6、 8，共 4 个， 从 1 9 这九个自然数中任取一个，是
6、偶数的概率是： . 答案 ： B. 8.（ 3 分）在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m 和 y= mx2+2x+2（ m 是常数，且 m0 ）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 解：解法一：逐项 解析 A、由函数 y=mx+m 的图象可知 m 0，即函数 y= mx2+2x+2 开口方向朝上，与图象不符，故A 选项错误； B、由函数 y=mx+m 的图象可知 m 0，对称轴为 x= = = 0，则对称轴应在 y轴左侧，与图象不符，故 B 选项错误； C、由函数 y=mx+m 的图象可知 m 0，即函数 y= mx2+2x+2 开口方向朝下，与图象不符，故C 选项错误； D
7、、由函数 y=mx+m 的图象可知 m 0，即函数 y= mx2+2x+2 开口方向朝上，对称轴为x= = = 0，则对称轴应在 y 轴左侧，与图象相符，故 D 选项正确； 解法二：系统 解析 当二次函数开口向下时， m 0， m 0， 一次函数图象过一、二、三象限 . 当二次函数开口向上时， m 0， m 0， 对称轴 x= 0， 这时二次函数图象的对称轴在 y 轴左侧， 一次函数图象过二、三、四象限 . 答案 ： D. 9.（ 3 分）已知 ， 是关于 x 的一元二次方程 x2+（ 2m+3） x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 + = 1，则 m 的值是（ ） A.3 或 1 B
8、.3 C.1 D. 3 或 1 解析 ：根据条件知： += （ 2m+3）， =m 2， = 1， 即 m2 2m 3=0， 所以，得 ， 解得 m=3. 答案： B. 10.（ 3 分）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第 1 个图案需 7根火柴，第 2 个图案需 13 根火柴， ，依此规律，第 11 个图案需（ ）根火柴 . A.156 B.157 C.158 D.159 解析 ：根据题意可知： 第 1 个图案需 7 根火柴， 7=1 （ 1+3） +3， 第 2 个图案需 13 根火柴， 13=2 （ 2+3） +3， 第 3 个图案需 21 根火柴， 21=3 （
9、3+3） +3， ， 第 n 个图案需 n（ n+3） +3 根火柴， 则第 11 个图案需： 11 （ 11+3） +3=157（根）； 答案： B. 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要 答案 过程） 11.（ 3 分）如图， ABCD ， 1=60 ， FG 平分 EFD ，则 2= 度 . 解析 ： ABCD EFD=1=60 又 FG 平分 EFD . 2= EFD=30 . 答案： 30 12.（ 3 分）大于 且小于 的整数是 . 解析 ： 根据 =2 和 即可得出答案 . 答案 ： 解： =2， ， 大
10、于 且小于 的整数有 2， 答案 ： 2. 13.（ 3 分）一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 . 解析 ： 根据圆锥的侧面积是底面积的 2 倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长 =底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数 . 答案 ： 解：设母线长为 R，底面半径为 r， 底面周长 =2r ，底面面积 =r 2，侧面面积 = lr=rR ， 侧面积是底面积的 2 倍， 2r 2=rR ， R=2r ， 设圆心角为 n，有 =R=2r ， n=180 . 答案 ： 180. 14.（ 3 分）某工厂现在平均每天比原计划多生产
11、50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器 . 解析 ： 根据现在生产 600 台机器的时间与原计划生产 450 台机器的时间相同 .所以可得等量关系为：现在生产 600 台机器时间 =原计划生产 450 台时间 . 答案 ： 设：现在平均每天生产 x 台机器，则原计划可生产（ x 50）台 . 依题意得： = . 解得： x=200. 检验：当 x=200 时， x（ x 50） 0 . x=200 是原分式方程的解 . 现在平均每天生产 200 台机器 . 答案 ： 200. 15.（ 3 分）如图，在四边形 ABCD
12、中，对角线 ACBD ，垂足为 O，点 E、 F、 G、 H 分别为边AD、 AB、 BC、 CD 的中点 .若 AC=8， BD=6，则四边形 EFGH 的面积为 . 解析 ： 有一个角是直 角的平行四边形是矩形 .利用中位线定理可得出四边形 EFGH 矩形，根据矩形的面积公式 答案 即可 . 答案 ： 点 E、 F 分别为四边形 ABCD 的边 AD、 AB 的中点， EFBD ，且 EF= BD=3. 同理求得 EHACGF ，且 EH=GF= AC=4， 又 ACBD ， EFGH ， FGHE 且 EFFG . 四边形 EFGH 是矩形 . 四边形 EFGH 的面积 =EFEH=34
13、=12 ，即四边形 EFGH 的面积是 12. 答案 ： 12. 16.（ 3 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（ 4， 0）、 B（ 6， 0），点 C 是 y 轴上的一个动点，当 BCA=45 时，点 C 的坐标为 . 解析 ：设线段 BA 的中点为 E， 点 A（ 4， 0）、 B（ 6， 0）， AB=10 ， E（ 1， 0） . （ 1）如答图 1 所示，过点 E 在第二象限作 EPBA ，且 EP= AB=5，则易知 PBA 为等腰直角三角形， BPA=90 ， PA=PB= ； 以点 P 为圆心， PA（或 PB）长为半径作 P ，与 y 轴的正半轴交于点 C， BCA 为
14、P 的圆周角， BCA= BPA=45 ，即则点 C 即为所求 . 过点 P 作 PFy 轴于点 F，则 OF=PE=5， PF=1， 在 RtPFC 中， PF=1， PC= ，由勾股定理得： CF= =7， OC=OF+CF=5+7=12 ， 点 C 坐标为（ 0， 12）； （ 2）如答图 2 所示，在第 3 象限可以参照（ 1）作同样操作，同理求得 y 轴负半轴上的点 C坐标为（ 0， 12） . 综上所述，点 C 坐标为（ 0， 12）或（ 0， 12） . 答案 ：（ 0， 12）或（ 0， 12） . 三、 答案 题（本大题共 9 小题，共 72 分， 答案 应写出必要的演算步骤
15、、证明过程或文字说明） 17.（ 10 分）（ 1）计算： （ 2）化简： . 解析 ： （ 1）本题涉及到负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂四个考点的计算，根据实数的运算顺序和法则计算即可求解； （ 2）首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简 . 答案 ：（ 1） =3 | 2+ |+1 =3 2+ +1 =2+ ； （ 2） = = . 18.（ 6 分）如图， CD=CA， 1=2 ， EC=BC，求证： DE=AB. 解析 ： 根据三角形全等的判定，由已知先证 ACB=DCE ，再根据 SAS 可证 ABCDEC ，继而可得出结论 . 答
16、案 ： 1=2 ， 1+ECA=2+ACE ， 即 ACB=DCE ， 在 ABC 和 DEC 中， ABCDEC （ SAS） . DE=AB. 19.（ 6 分）某次知识竞赛共有 20 道题，每一题答对得 10 分，答错或不答都扣 5 分，小明得分要超过 90 分，他至少要答对多少道题？ 解析 ： 根据小明得分要超过 90 分，就可以得到不等关系：小明的得分 90 分，设应答对x 道，则根据不等关系就可以列出不等式求解 . 答案 ：设应答对 x 道，则： 10x 5（ 20 x） 90， 解得 x 12 ， x 取整数， x 最小为： 13， 答：他至少要答对 13 道题 . 20.（ 6
17、 分）如图， A、 B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地经过 C 地沿折线 ACB行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶 .已知 AC=10 千米， A=30 ， B=45 .则隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号） 解析 ： 过 C 作 CDAB 于 D，在 RtACD 中，根据 AC=10， A=30 ，解直角三角形求出AD、 CD 的长度，然后在 RtBCD 中，求出 BD、 BC 的长度，用 AC+BC（ AD+BD）即可求解 . 答案 ： 过 C 作 CDAB 于 D， 在 RtACD 中， AC=10 ， A=30 ， DC=
18、ACsin30=5 ， AD=ACcos30=5 ， 在 RtBCD 中， B=45 ， BD=CD=5 ， BC=5 ， 则用 AC+BC（ AD+BD） =10+5 （ 5 +5） =5+5 5 （千米） . 答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走（ 5+5 5 ）千米 . 21.（ 6 分）如图，平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A，与双曲线 在第一象限内交于点 B， BC 丄 x 轴于点 C， OC=2AO.求双曲线的解析式 . 解析 ： 先利用一次函数与图象的交点，再利用 OC=2AO 求得 C 点的坐标，然后代入一次函数求得点 B 的坐标，进一步求得反比例函数的解析式即可
19、. 答案 ： 由题意 OC=2AO， 由直线 与 x 轴交于点 A 的坐标为（ 1， 0）， OA=1. 又 OC=2OA ， OC=2 ， 点 B 的横坐标为 2， 代入直线 ，得 y= ， B （ 2， ） . 点 B 在双曲线上， k=xy=2 =3， 双曲线的解析式为 y= . 22.（ 8 分）某区八年级有 3000 名学生参加 “ 爱我中华知识竞赛 ” 活动 .为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了 200 名学生的得分进行统计 . 请你根据不完整的表格，回答下列问题： 成绩 x（分） 频数 频率 50x 60 10 60x 70 16 0.08 70x 80 0.2 80
20、x 90 62 90x 100 72 0.36 （ 1）补全频数分布直方图； （ 2）若将得分转化为等级，规定 50x 60 评为 “D” ， 60x 70 评为 “C” ， 70x 90评为 “B” ， 90x 100 评为 “A” .这次全区八年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为 “D” ？如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩等级哪一个等级的可能性大？请说明理由 . 解析 ： （ 1）由 60x 70 分数段的人数除以所占的百分比，求出总人数，进而求出 70x 80 分数段的频数，以及 80x 90 分数段的频率，补全表格即可； （ 2）找出样本中评为 “D” 的百
21、分比，估计出总体中 “D” 的人数即 可；求出等级为 A、 B、C、 D 的概率，表示大小，即可作出判断 . 答案 ： （ 1）根据题意得： 160.08=200 （人）， 则 70x 80 分数段的频数为 200（ 10+16+62+72） =40（人）， 50x 60 分数段频率为0.05， 80x 90 分数段的频率为 0.31，补全条形统计图，如图所示： ； 答案 ： 0.05； 40； 0.31； （ 2）由表格可知：评为 “D” 的频率是 = ，由此估计全区八年级参加竞赛的学生约有3000=150 （人）被评为 “D” ； P （ A） =0.36； P（ B） =0.51； P（
22、 C） =0.08； P（ D） =0.05， P （ B） P（ A） P（ C） P（ D）， 随机调查一名参数学生的成绩等级 “B” 的可能性较大 . 23.（ 9 分）如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E是 BC 边上的点， BE=1， AEP=90 ，且 EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P，交边 CD 于点 F， （ 1） 的值为 ； （ 2）求证： AE=EP； （ 3）在 AB 边上是否存在点 M，使得四边形 DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由 . 解析 ： （ 1）由正方形的性质可得： B=C=90 ，由同角的余角相等，可证得
23、：BAE=CEF ，根据同角的正弦值相等即可 答案 ； （ 2）在 BA 边上截取 BK=BE，连接 KE，根据角角之间的关系得到 AKE=ECP ，由 AB=CB，BK=BE，得 AK=EC，结合 KAE=CEP ，证明 AKEECP ，于是结论得出； （ 3）作 DMAE 于 AB 交于点 M，连接 ME、 DP，易得出 DMEP ，由已知条件证明 ADMBAE ，进而证明 MD=EP，四边形 DMEP 是平行四边形即可证出 . 答案 ： （ 1）解： 四边形 ABCD 是正方形， B=D ， AEP=90 ， BAE=FEC ， 在 RtABE 中， AE= = ， sinBAE= =s
24、inFEC= ， = ， 解法二：由上得 BAE=FEC ， BAE=FEC ， B=DCB ， ABEECF ， = ， （ 2）证明：在 BA 边上截取 BK=BE，连接 KE， B=90 ， BK=BE， BKE=45 ， AKE=135 ， CP 平分外角， DCP=45 ， ECP=135 ， AKE= ECP ， AB=CB ， BK=BE， AB BK=BC BE， 即： AK=EC， 由第一问得 KAE=CEP ， 在 AKE 和 ECP 中， ， AKEECP （ ASA）， AE=EP ； （ 3）答：存在 . 证明：作 DMAE 交 AB 于点 M， 则有： DMEP ，
25、连接 ME、 DP， 在 ADM 与 BAE 中， ， ADMBAE （ ASA）， MD=AE ， AE=EP ， MD=EP ， MD EP， 四边形 DMEP 为平行四边形 . 24.（ 9 分）如图， AD 是 ABC 的角平分线，以点 C 为圆心， CD 为半径作圆交 BC 的延长线于点 E，交 AD 于点 F，交 AE 于点 M，且 B=CAE ， EF： FD=4： 3. （ 1）求证：点 F 是 AD 的中点； （ 2）求 cosAED 的值； （ 3）如果 BD=10，求半径 CD 的长 . 解析 ： （ 1）由 AD 是 ABC 的角平分线， B=CAE ，易证得 ADE=
26、DAE ，即可得 ED=EA，又由 ED 是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 EFAD ，由三线合一的知识，即可判定点 F 是 AD 的中点； （ 2）首先连接 DM，设 EF=4k， DF=3k，然后由勾股定理求得 ED 的长，继而求得 DM 与 ME 的长，由余弦的定义，即可求得答案； （ 3）易证得 AECBEA ，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（ 5k） 2= k（ 10+5k），解此方程即可求得答案 . 答案 ： （ 1）证明： AD 是 ABC 的角平分线， 1=2 ， ADE=1+B ， DAE=2+3 ，且 B=3 ， ADE=DAE ， ED=EA ， ED
27、 为 C 直径， DFE=90 ， EFAD ， 点 F 是 AD 的中点； （ 2）解：连接 DM， 设 EF=4k， DF=3k， 则 ED= =5k， ADEF= AEDM， DM= = = k， ME= = k， cosAED= = ； （ 3）解： B=3 ， AEC 为公共角， AECBEA ， AE ： BE=CE： AE， AE 2=CEBE， （ 5k） 2= k（ 10+5k）， k 0， k=2 ， CD= k=5. 25.（ 12 分）如图，已知二次函数的图象经过点 A（ 6， 0）、 B（ 2， 0）和点 C（ 0， 8） . （ 1）求该二次函数的解析式； （ 2）
28、设该二次函数图象的顶点为 M，若点 K 为 x 轴上的动点，当 KCM 的周长最小时，点 K的坐标为 ； （ 3）连接 AC，有两动点 P、 Q 同时从点 O 出发，其中点 P 以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 OAC 按 OAC 的路线运动，点 Q 以每秒 8 个单位长度的速度沿折线 OCA按 OCA 的路线运动，当 P、 Q 两点相遇时，它们都停止运动，设 P、 Q 同时从点 O 出发 t 秒时， OPQ 的面积为 S. 请问 P、 Q 两点在运动过程中，是否存在 PQOC ？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由； 请求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取
29、值范围； 设 S0是 中函数 S 的最大值，直接写出 S0的值 . 解析 ： （ 1）根据已知的与 x 轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的解析式即可； （ 2）首先根据上题求得的函数的解析式确定顶点坐标，然后求得点 C 关于 x 轴的对称点的坐标 C ，从而求得直线 CM 的解析式，求得与 x 轴的交点坐标即可； （ 3） 如果 DEOC ，此时点 D， E 应分别在线段 OA， CA 上，先求出这个区间 t 的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时 t 的值，然后看 t 的值是否符合此种 情况下 t的取值范围 .如果符合则这个 t 的值就是所求的值，如果不符合，那
30、么就说明不存在这样的t. 本题要分三种情况进行讨论： 当 Q 在 OC 上， P 在 OA 上，即当 0t1 时，此时 S= OPOQ，由此可得出关于 S， t 的函数关系式； 当 Q 在 CA 上， P 在 OA 上，即当 1 t2 时，此时 S= OPQ 点的纵坐标 .由此可得出关于 S，t 的函数关系式； 当 Q， P 都在 CA 上时，即当 2 t 相遇时用的时间，此时 S=SAOQ SAOP ，由此可得出 S，t 的函数关系式； 综上所述，可得出不同的 t 的取值范围内，函数的不同表达式 . 根据 的函数即可得出 S 的最大值 . 答案 ： 解：（ 1）设二次函数的解析式为 y=a（
31、 x+2）（ x 6）（ a0 ）， 图象过点（ 0， 8） a= 二次函数的解析式为 y= x2 x 8； （ 2） y= x2 x 8= （ x2 4x+4 4） 8= （ x 2） 2 点 M 的坐标为（ 2， ） 点 C 的坐标为（ 0， 8）， 点 C 关于 x 轴对称的点 C 的坐标为（ 0， 8） 直线 CM 的解析式为： y= x+8 令 y=0 得 x+8=0 解得： x= 点 K 的坐标为（ ， 0）； （ 3） 不存在 PQOC ， 若 PQOC ，则点 P， Q 分别在线段 OA， CA 上， 此时， 1 t 2 PQOC ， APQAOC AP=6 3t AQ=18 8t， t= t= 2 不满足 1 t 2； 不存在 PQOC ； 分情况讨论如下， 情况 1： 0t1 S= OPOQ= 3t8t=12t 2； 情况 2： 1 t2 作 QEOA ，垂足为 E， S= OPEQ= 3t = + 情况 3： 2 t 作 OFAC ，垂足为 F，则 OF= S= QPOF= （ 24 11t） = + ； 当 0t1 时， S=12t2，函数的最大值是 12； 当 1 t2 时， S= + ，函数的最大值是 ； 当 2 t ， S= QPOF= + ，函数的最大值为 ； S 0的值为 .
