1、 2013 年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷 满分 120 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有 一个 是符合题意的。 1. 在关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（ 2013-2015）中，北京市提出了总计约 3 960 亿元的投资计划。将 3 960 用科学计数法表示应为 A. 39.6 102 B. 3.96 103 C. 3.96 104 D. 3.96 104 2. 的倒数是 A. B. C. D. 3. 在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1， 2， 3， 4， 5，从
2、中随机摸出一个小球，其标号大于 2 的概率为 A. B. C. D. 4. 如图，直线，被直线所截， 1= 2，若 3=40，则 4 等于 A. 40 B. 50 C. 70 D. 80 5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B， C， D，使得 AB BC， CD BC，点 E 在 BC 上，并且点A， E， D 在同一条直线上。若测得 BE=20m， EC=10m， CD=20m，则河的宽度 AB 等于 A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 4343 34 7. 某中学随机地调查了 5
3、0 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时） 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 A. 6.2 小时 B. 6.4 小时 C. 6.5 小时 D. 7 小时 8. 如图，点 P 是以 O 为圆心， AB 为直径的半圆上的动点， AB=2，设弦 AP 的长为， APO 的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. 分解因式： =_ 10. 请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（ 0， 1）的抛物线的解析式 _10 11. 如图， O 是矩形
4、ABCD 的对角线 AC 的中点， M 是 AD 的中点，若 AB=5， AD=12，则四边形 ABOM 的周长为 _ 12. 如图，在平面直角坐标系 O 中，已知直线： ，双曲线。在上取点 A1，过点 A1 作轴的垂线交双曲线于点 B1，过点 B1作轴的垂线交于点 A2，请继续操作并探究：过点 A2作轴的垂线交双曲线于点 B2，过点 B2作轴的垂线交于点 A3，这样依次得到上的点 A1， A2， A3， An，。记点 An 的横坐标为 ，若 ，则 =_， =_；若要将上述操作无限次地进行下去，则 不能取 的值是 _ 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13. 如图，已知 D 是
5、AC 上一点， AB=DA， DE AB， B=DAE。 求证： BC=AE。 aabab 442 1 xtxy 1na 21 a 2a 2013a1a 14. 计算： 。 15. 解不等式组： 16. 已知 ，求代数式 的值。 17. 列方程或方程组解应用题： 某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了 2 名工人，结果比计划提前 3 小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。 18已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 （ 1）求的取值范围； （ 2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值。 四、解答题（本题共 20 分，每小
6、题 5 分） 19如图，在 ABCD 中， F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=BC，连结 DE， CF。 （ 1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （ 2）若 AB=4， AD=6， B=60，求 DE 的长。 20如图， AB是 O 的直径， PA， PC 分别与 O 相切于点A， C， PC 交 AB 的延长线于点 D， DE PO 交 PO 的延长线于点 E。 （ 1）求证： EPD= EDO （ 2）若 PC=6， tan PDA=，求 OE 的长。 10 )41(45c o s22)31( xxxx23 1230142 xx 22 )()32( yyxyxx
7、 04222 kxx 21第九届中国国际园林博览会（园博会）已于 2013 年 5 月 18 日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分： （ 1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为 0.04 平方千米，牡丹园面积为 _平方千米； （ 2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据； （ 3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估
8、计将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确 到百位）。 第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表 日均接待游客量 （万人次） 单日最多接待游客量 （万人次） 停车位数量 （个） 第七届 0.8 6 约 3 000 第八届 2.3 8.2 约 4 000 第九届 8（预计） 20（预计） 约 10 500 第十届 1.9（预计） 7.4（预计） 约 _ 22阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为 的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1，当 AFQ= BGM= CHN= DEP=45时，求正方形 MNPQ的面积。
9、 )2( aa 小明发现：分别延长 QE， MF， NG， PH，交 FA， GB， HC， ED 的延长线于点 R，S， T， W，可得 RQF， SMG， TNH， WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2） 请回答： （ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为 _； （ 2）求正方形 MNPQ 的面积。 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在等边 ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF，再分别过点 D， E， F 作 BC， AC， AB 的垂线，得到等边 RPQ，若 ，则 AD 的长为 _。 五、解答题（本题共 22
10、 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23在平面直角坐标系 O 中，抛物线 （ ）与轴交于点 A，其对称轴与轴交于点 B。 （ 1）求点 A， B的坐标； （ 2）设直线与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式； （ 3）若该抛物线在 这一段位于直线的上方，并且在 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式。 33RPQS222 mxmxy 0m12 x32 x 24在 ABC 中， AB=AC， BAC=（ ），将线段 BC 绕点 B逆时针旋转 60得到线段 BD。 （ 1）如图 1，直接写出 ABD 的大小（用含的式子表示）； （ 2）
11、如图 2， BCE=150， ABE=60，判断 ABE 的形状并加以证明； （ 3）在（ 2）的条件下，连结 DE，若 DEC=45，求的值。 25对于平面直角坐标系 O 中的点 P 和 C，给出如下定义：若 C 上存在两个点 A， B，使得 APB=60，则称 P 为 C 的关联点。 已知点 D（，）， E（ 0， -2）， F（ ， 0） （ 1）当 O 的半径为 1 时， 在点 D， E， F 中， O 的关联点是 _； 过点 F 作直线交轴正半轴于点 G，使 GFO=30，若直线上的点 P（，）是 O 的关联点，求的取值范围； （ 2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围。 600 32
