1、 山东省威海市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1（ 3 分）（ 2013威海）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为 0.000037 毫克，已知 1 克 =1000 毫克，那么 0.000037 毫克可用科学记数法表示为（ ） A 3.710 5 克 B 3.710 6 克 C 3710 7 克 D 3.710 8 克 解答： 解： 1 克 =1000 毫克， 将 0.000037 毫克用科学记数法表示为： 3.710 8 克 故选 D 2（ 3 分）（ 2013威海）下列各式化简结果为无理数的是（ ） A B C D 解答： 解
2、： A、 = 3，是有理数，故本选项错误； B、（ 1） 0=1，是有理数，故本选项错误； C、 =2 ，是无理数，故本选项正确； D、 =2，是有理数，故本选项错误； 故选 C 3（ 3 分）（ 2013威海）下列运算正确的是（ ） A 3x2+4x2=7x4 B 2x33x3=6x3 C x6+x3=x2 D （ x2） 4=x8 解答： 解： A、 3x2+4x2=7a27x4，故本选项错误； B、 2x33x3=23x3+36x3，故本选项错误； C、 x6 和 x3 不是同类项，不能合并，故本选项错误； D、 （ x2） 4=x24=x8，故本选项正确 故选 D 4（ 3 分）（ 2
3、013威海）若 m n= 1，则（ m n） 2 2m+2n 的值是（ ） A 3 B 2 C 1 D 1 解答： 解： m n= 1， （ m n） 2 2m+2n=（ m n） 2 2（ m n） =1+2=3 故选 A 5（ 3 分）（ 2013威海）如图是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体将正方体 移走后，所得几何体（ ） A 主视图改变，左视图改变 B 俯视图不变，左视图不变 C 俯视图改变，左视图改变 D 主视图改变，左视图不变 解答： 解：将正方体 移走前的主视图正方形的个数为 1， 2， 1；正方体 移走后的主视图正方形的个数为 1， 2；发生改变 将正方体 移走前的左视图
4、正方形的个数为 2， 1， 1；正方体 移走后的左视图正方形的个数为 2，1， 1；没有发生改变 将正方体 移走前的俯视图正方形的个数为 1， 3， 1；正方体 移走后的俯视图正方形的个数， 1，3；发生改变 故选 D 6（ 3 分）（ 2013威海）已知关于 x 的一元二次方程（ x+1） 2 m=0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ） A m B m0 C m1 D m2 解答： 解；（ x+1） 2 m=0， （ x+1） 2=m， 一元二次方程（ x+1） 2 m=0 有两个实数根， m0， 故选： B 7（ 3 分）（ 2013威海）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A B
5、 C D 解答： 解： ，由 得， x 0；由 得， x1， 故此不等式组的解集为： x 0， 在数轴上表示为： 故选 B 8（ 3 分）（ 2013威海）如图，在 ABC 中， A=36， AB=AC， AB的垂直平分线 OD 交 AB于点 O，交AC 于点 D，连接 BD，下列结论错误的是（ ） A C=2 A B BD 平分 ABC C S BCD=S BOD D 点 D 为线段 AC 的黄金分割点 解答： 解： A、 A=36， AB=AC， C= ABC=72， C=2 A，正确，故本选项错误； B、 DO 是 AB 垂直平分线， AD=BD， A= ABD=36， DBC=72 3
6、6=36= ABD， BD 是 ABC 的角平分线，正确，故本选项错误； C，根据已知不能推出 BCD 的面积和 BOD 面积相等，错误，故本选项正确； D、 C= C， DBC= A=36， DBC CAB， = ， BC2=BCAC， C=72， DBC=36， BDC=72= C， BC=BD， AD=BD， AD=BC， AD2=CDAC， 即点 D 是 AC 的黄金分割点，正确，故本选项错误； 故选 C 9（ 3 分）（ 2013威海）甲、乙两辆摩托车同时从相距 20km 的 A， B两地出发，相向而行图中 l1， l2 分别表示甲、乙两辆摩托车到 A地的距离 s（ km）与行驶时间
7、 t（ h）的函数关系则下列说法错误的是（ ） A 乙摩托车的速度较快 B 经过 0.3 小时甲摩托车行驶到 A， B两地的中点 C 经过 0.25 小时两摩托车相遇 D 当乙摩托车到达 A地时，甲摩托车距离 A地 km 解答： 解： A由图可知，甲行驶完全程需要 0.6 小时，乙行驶完全程需要 0.5 小时，所以，乙摩托车的速度较快正确，故本选项错误； B、 甲摩托车行驶完全程需要 0.6 小时， 经过 0.3 小时甲摩托车行驶到 A， B两地的中点正确，故本选项错误； C、设两车相遇的时间为 t，根据题意得， + =20， t= ， 所以，经过 0.25 小时两摩托车相遇错误，故本选项正确
8、； D、当乙摩托车到达 A地时，甲摩托车距离 A地： 20 = km 正确，故本选项错误 故选 C 10（ 3 分）（ 2013威海）如图，在 ABC 中， ACB=90， BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是（ ） A BC=AC B CF BF C BD=DF D AC=BF 解答： 解： EF 垂直平分 BC， BE=EC， BF=CF， CF=BE， BE=EC=CF=BF， 四边形 BECF 是菱形； 当 BC=AC 时， ACB=90， 则 A=45时，菱形 BECF 是正方形 A=
9、45， ACB=90， EBC=45 EBF=2 EBC=245=90 菱形 BECF 是正方形 故选项 A正确，但不符合题意； 当 CF BF 时，利用正方形的判定得出，菱形 BECF 是正方形，故选项 B正确，但不符合题意； 当 BD=DF 时，利用正方形的判定得出，菱形 BECF 是正方形，故选项 C 正确，但不符合题意； 当 AC=BD 时，无法得出菱形 BECF 是正方形，故选项 D 错误，符合题意 故选： D 11（ 3 分）（ 2013威海）一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的 3 个红球和 2 个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球两次都摸到红球的
10、概率是（ ） A B C D 解答： 解：列表如下： 红 红 红 绿 绿 红 （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，绿） 红 （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，红） 红 （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） 得到所有可能的情况数为 20 种，其中两次都为红球的情况有 6 种， 则 P 两次红 = = 故选 A 12（ 3 分）（ 2013威海）如图，在平面直角坐标系中， AOB=90， OAB=30，反比例函数 的图象经过点 A，反比例函数 的图象经过点 B，则下列关于
11、 m， n 的关系正确的是（ ） A m= 3n B m= n C m= n D m= n 解答： 解：过点 B作 BE x 轴于点 E，过点 A作 AF x 轴于点 F， 设点 B坐标为（ a，），点 A的坐标为（ b，）， OAB=30， OA= OB， 设点 B坐标为（ a，），点 A的坐标为（ b，）， 则 OE= a， BE=， OF=b， AF=， BOE+ OBE=90， AOF+ BOE=90， OBE= AOF， 又 BEO= OFA=90， BOE OAF， = = ，即 = ， 解得： m= ab， n= ， 故可得： m= 3n 故选 A 二、填空题（共 6 小题，每小
12、题 3 分，满分 18 分） 13（ 3 分）（ 2013威海）将一副直角三角板如图摆放，点 C 在 EF 上， AC 经过点 D已知 A= EDF=90，AB=AC E=30， BCE=40，则 CDF= 25 解答： 解： AB=AC， A=90， ACB= B=45， EDF=90， E=30， F=90 E=60， ACE= CDF+ F， BCE=40， CDF= ACE F= BCE+ ACB F=45+40 60=25 故答案为： 25 14（ 3 分）（ 2013威海）分解因式： = （ 3x 1） 2 解答： 解： 3x2+2x， =（ 9x2 6x+1）， =（ 3x 1）
13、 2 故答案为：（ 3x 1） 2 15（ 3 分）（ 2013威海）如图， AC CD，垂足为点 C， BD CD，垂足为点 D， AB 与 CD 交于点 O若AC=1， BD=2， CD=4，则 AB= 5 解答： 解：过点 B作 BE CD，交 AC 的延长线于点 E， AC CD， BD CD， AC BD， D=90， 四边形 BDCE 是平行四边形， 平行四边形 BDCE 是矩形， CE=BD=2， BE=CD=4， E=90， AE=AC+CE=1+2=3， 在 Rt ABE 中， AB= =5 故答案为： 5 16（ 3 分）（ 2013威海）若关于 x 的方程 无解，则 m=
14、 8 解答： 解：分式方程去分母得： 2（ x 1） = m， 将 x=5 代入得： m= 8 故答案为： 8 17（ 3 分）（ 2013威海）如图 ，将四边形纸片 ABCD 沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分密铺可得到如图 所示的平行四边形，若要密铺后的平行四边形为矩形，则四边形 ABCD 需要满足的条件是 AC=BD 解答： 解：密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角 如解答图所示，连接 EF、 FG、 GH、 HE，设 EG 与 HF 交于点 O，则 EG HF 连接 AC、 BD，由中位线定理得： EF AC GH，且 EF=GH=AC， 中点四边形 EFGH为平行
15、四边形 OE=OG， OH=OF 又 EG HF， 由勾股定理得： EF=FG=GH=HE，即中点四边形 EFGH 为菱形 EF=FG， EF=AC， FG=BD， AC=BD，即四边形 ABCD 需要满足的条件为： AC=BD 故答案为： AC=BD 18（ 3 分）（ 2013威海）如图，在平面直角坐标系中，点 A， B， C 的坐标分别为（ 1， 0），（ 0， 1），（ 1，0）一个电动玩具从坐标原点 0 出发，第一次跳跃到点 P1使得点 P1与点 O关于点 A成中心对称；第二次跳跃到点 P2，使得点 P2 与点 P1关于点 B成中心对称；第三次跳跃到点 P3，使得点 P3与点 P2关
16、于点 C成中心对称；第四次跳跃到点 P4，使得点 P4 与点 P3 关于点 A成中心对称；第五次跳跃到点 P5，使得点 P5与点 P4 关于点 B成中心对称； 照此规律重复下去，则点 P2013的坐标为 （ 0， 2） 解答： 解：点 P1（ 2， 0）， P2（ 2， 2）， P3（ 0， 2）， P4（ 2， 2）， P5（ 2， 0）， P6（ 0， 0）， P7（ 2， 0）， 从而可得出 6 次一个循环， =5033， 点 P2013的坐标为（ 0， 2） 故答案为：（ 0， 2） 三、解答题（共 7 小题，满分 66 分） 19（ 7 分）（ 2013威海）先化简，再求值： ，其中
17、 x= 1 解答： 解：（ 1） = = 当 x= 1 时， 原式 = = = 20（ 8 分）（ 2013威海）如图， CD 为 O 的直径， CD AB，垂足为点 F， AO BC，垂足为点 E， AO=1 （ 1）求 C 的大小； （ 2）求阴影部分的面积 解答： 解：（ 1） CD 是圆 O 的直径， CD AB， = ， C= AOD， AOD= COE， C= COE， AO BC， C=30 （ 2）连接 OB， 由（ 1）知， C=30， AOD=60， AOB=120， 在 Rt AOF 中， AO=1， AOF=60， AF= ， OF=， AB= ， S 阴影 =S 扇形
18、 OAB S OAB= = 21（ 9 分）（ 2013威海）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为 100分前 6 名选手的得分如下： 序号 项目 1 2 3 4 5 6 笔试成绩 /分 85 92 84 90 84 80 面试成绩 /分 90 88 86 90 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折和成综合成绩（综合成绩的满分仍为 100 分） （ 1）这 6 名选手笔试成绩的中位数是 84.5 分，众数是 84 分 （ 2）现得知 1 号选手的综合成绩为 88 分，求笔试成绩和面试成绩个占的百分比 （ 3）求出其余五名选手的综合成绩，并
19、以综合成绩排序确定前两名人选 解答： 解：（ 1）把这组数据从小到大排列为， 80， 84， 84， 85， 90， 92， 最中间两个数的平均数是（ 84+85） 2=84.5（分）， 则这 6 名选手笔试成绩的中位数是 84.5， 84 出现了 2 次，出现的次数最多， 则这 6 名选手笔试成绩的众数是 84； 故答案为： 84.5， 84； （ 2）设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是 x， y，根据题意得： ， 解得： ， 笔试成绩和面试成绩各占的百分比是 40%， 60%； （ 3） 2 号选手的综合成绩是 920.4+880.6=89.6（分）， 3 号选手的综合成绩是 840.4+
20、860.6=85.2（分）， 4 号选手的综合成绩是 900.4+900. 6=90（分）， 5 号选手的综合成绩是 840.4+800.6=81.6（分）， 6 号选手的综合成绩是 800.4+850.6=83（分）， 则综合成绩排序前两名人选是 4 号和 2 号 22（ 9 分）（ 2013威海）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A， B， AB=2，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x=2 （ 1）求抛物线的函数表达式； （ 2）设 P 为对称轴上一动点，求 APC 周长的最小值； （ 3）设 D 为抛物线上一点， E 为 对称轴上一点，若以点 A， B， D，
21、E 为顶点的四边形是菱形，则点 D 的坐标为 （ 2， 1） 解答： 解：（ 1）如图， AB=2，对称轴为直线 x=2 点 A的坐标是（ 1， 0），点 B的坐标是（ 3， 0） 抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A， B， 1、 3 是关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两根 由韦达定理，得 1+3= b， 13=c， b= 4， c=3， 抛物线的函数表达式为 y=x2 4x+3； （ 2）如图 1，连接 AC、 BC， BC 交对称轴于点 P，连接 PA 由（ 1）知抛物线的函数表达式为 y=x2 4x+3， A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， C（ 0，
22、3）， BC= =3 ， AC= = 点 A、 B关于对称轴 x=2 对称， PA=PB， PA+PC=PB+PC 此时， PB+PC=BC 点 P 在对称轴上运动时，（ PA+PB）的最小值等于 BC APC 的周长的最小值 =AC+AP+PC=AC+BC=3 + ； （ 3）如图 2，根据 “菱形 ADBE 的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性 ”得到点 D 是抛物线 y=x2 4x+3 的顶点坐标，即（ 2， 1） 故答案是：（ 2， 1） 23（ 10 分）（ 2013威海）要在一块长 52m，宽 48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路下面分别是小亮和小颖的设计方案 （
23、1）求小亮设计方案中甬路的宽度 x； （ 2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同） 解答： 解：（ 1）根据小亮的设计方案列方程得：（ 52 x）（ 48 x） =2300 解得： x=2 或 x=98（舍去） 小亮设计方案中甬道的宽度为 2m； （ 2）作 AI CD， HJ EF，垂足分别为 I， J， AB CD， 1=60， ADI=60， BC AD， 四边形 ADCB为平行四边形， BC=AD 由（ 1）得 x=2， BC=HE=2=AD 在 Rt ADI 中， AI=2sin60= 小颖设计方案中四块绿地的总面积为 5248 5
24、22 482+（ ） 2=2299 平方米 24（ 11 分）（ 2013威海）操作发现 将一副直角三角板如图 摆放，能够发现等腰直角三角板 ABC 的斜边与含 30角的直角三角板 DEF 的长直角边 DE 重合 问题解决 将图 中的等腰直角三角板 ABC 绕点 B顺时针旋转 30，点 C 落在 BF 上， AC 与 BD 交于点 O，连接 CD，如图 （ 1）求证： CDO 是等腰三角形； （ 2）若 DF=8，求 AD 的长 解答： 解；（ 1）由图 知 BC=DE， BDC= BCD， DEF=30， BDC= BCD=75， ACB=45， DOC=30+45=75， DOC= BDC
25、， CDO 是等腰三角形； （ 2）作 AG BC，垂足为点 G， DH BF，垂足为点 H， 在 Rt DHF 中， F=60， DF=8， DH=4 ， HF=4， 在 Rt BDF 中， F=60， DF=8， DB=8 ， BF=16， BC=BD=8 ， AG BC， ABC=45， BG=AG=4 ， AG=DH， AG DH， 四边形 AGHD 为矩形， AD=GH=BF BG HF=16 4 4=12 4 25（ 12 分）（ 2013威海）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+与直线 y=x 交于点 A，点 B在直线 y=x+上， BOA=90抛物线 y=ax2+bx+c
26、过点 A， O， B，顶点为点 E （ 1）求点 A， B的坐标； （ 2）求抛物线的函数表达式及顶点 E 的坐 标； （ 3）设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C，直线 BC 交抛物线于点 D，过点 E 作 FE x 轴，交直线 AB于点 F，连接 OD， CF， CF 交 x 轴于点 M试判断 OD 与 CF 是否平行，并说明理由 解答： 解：（ 1）由直线 y=x+与直线 y=x 交于点 A，得 ， 解得， ， 点 A的坐标是（ 3， 3） BOA=90， OB OA， 直线 OB的解析式为 y= x 又 点 B在直线 y=x+上， ， 解得， ， 点 B的坐标是（ 1， 1） 综
27、上所述，点 A、 B的坐标分别为（ 3， 3），（ 1， 1） （ 2）由（ 1）知，点 A、 B的坐标分别为（ 3， 3），（ 1， 1） 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A， O， B， ， 解得， ， 该抛物线的解析式为 y=x2 x，或 y=（ x） 2 顶点 E 的坐标是（，）； （ 3） OD 与 CF 平行理由如下： 由（ 2）知，抛物线的对称轴是 x= 直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C， C（，） 设直线 BC 的表达式为 y=kx+b（ k0），把 B（ 1， 1）， C（，）代入，得 ， 解得， ， 直线 BC 的解析式为 y= x+ 直线 BC 与抛物线交于点 B、 D， x+=x2 x， 解得， x1=， x2= 1 把 x1=代入 y= x+，得 y1=， 点 D 的坐标是（，） 如图，作 DN x 轴于点 N 则 tan DON= = FE x 轴，点 E 的坐标为（，） 点 F 的纵坐标是 把 y=代入 y=x+，得 x= ， 点 F 的坐标是（ ，）， EF=+ = CE=+=， tan CFE= =， CFE= DON 又 FE x 轴， CMN= CFE， CMN= DON， OD CF，即 OD 与 CF 平行
