1、 广东省梅州市 2013年中考数学试卷 一、选择题每题 3 分，共 5 小题，共 15分只有一个正确答案 1（ 3 分）四个数 1， 0， 中为无理数的是（ ） A 1 B 0 C D 2（ 3 分）从上面看如图所示的几何体，得到的图形是（ ） A B C D 3（ 3 分）数据 2， 4， 3， 4， 5， 3， 4 的众数是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 4（ 3 分）不等式组 的解集是（ ） A x2 B x 2 C x2 D 2 x2 5（ 3 分）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 二、填空题每题 3 分，共 8 题，
2、共 24 分 6（ 3 分） 3 的相反数是 7（ 3 分）若 =42，则 的余角的度数是 8（ 3 分）分解因式： m2 2m= 9（ 3 分）化简： 3a2bab= 10（ 3 分） “节约光荣，浪费可耻 ”，据统计我国每年浪费粮食约 8000000 吨，这个数据用科学记数法可表示为 吨 11（ 3 分）如图，在 ABC 中， AB=2， AC= ，以 A为圆心， 1 为半径的圆与边 BC 相切，则 BAC 的度数是 度 12（ 3 分）分式方程 的解 x= 13（ 3 分）如图，已知 ABC 是腰长为 1 的等腰直角三形，以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边， 画第二个等腰 Rt A
3、CD，再以 Rt ACD的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt ADE， ，依此类推，则第 2013 个等腰直角三角形的斜边长是 三、解答题共 10小题，共 81 分 14（ 7 分）计算： 15（ 7 分）解方程组 16（ 7 分）如图，在平面直角坐标系中， A（ 2， 2）， B（ 3， 2） （ 1）若点 C 与点 A关于原点 O 对称，则点 C 的坐标为 ； （ 2）将点 A向右平移 5 个单位得到点 D，则点 D 的坐标为 ； （ 3）由点 A， B， C， D 组成的四边形 ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率 17（
4、 7 分） “安全教育，警钟长鸣 ”，为此，某校随机抽取了九年级（ 1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计图 和图 是通过数据收集后，绘制的两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （ 1）九年级（ 1）班共有 名学生； （ 2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为 “较差 ”部分所对应的圆心角的度数是 ； （ 3）若全校有 1500 名学生，估计对安全知识的了解情况为 “较差 ”、 “一般 ”的学生共有 名 18（ 8 分）已知，一次函数 y=x+1 的图象与反比例函数 y= 的图象都经过点 A（ a， 2） （ 1）求 a 的值及反比例函数的表达式； （ 2）
5、判断点 B（ ， ）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由 19（ 8 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB=2DA，以点 A为圆心， AB为半径的圆弧交 DC于点 E，交 AD 的延长线于点 F，设 DA=2 （ 1）求线段 EC 的长； （ 2）求图中阴影部分的面积 20（ 8 分）为建 设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植 A， B两种树木，需要购买这两种树苗 1000 棵 A， B两种树苗的相关信息如表： 单价（元 /棵） 成活率 植树费（元 /棵） A 20 90% 5 B 30 95% 5 设购买 A种树苗 x 棵，绿化村道的总费用为 y 元，解答下列问题：
6、 （ 1）写出 y（元）与 x（棵）之间的函数关系式； （ 2）若这批树苗种植后成活了 925 棵，则绿化村道的总费用需要多少元？ （ 3）若绿化村道的总费用不超过 31000 元，则最多可购买 B种树苗多少棵？ 21（ 8 分）如图，在四边形 ABFC 中， ACB=90， BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 与点 E，且 CF=AE， （ 1）求证：四边形 BECF 是菱形； （ 2）若四边形 BECF 为正方形，求 A的度数 22（ 10 分）如图，已知抛物线 y=2x2 2 与 x 轴交于 A， B两点（点 A在点 B的左侧），与y 轴交于点 C （ 1）写出以 A
7、， B， C 为顶点的三角形面积； （ 2）过点 E（ 0， 6）且与 x 轴平行的直线 l1 与抛物线相交于 M、 N 两点（点 M 在点 N 的左侧），以 MN 为一边，抛物线上的任一点 P 为另一顶点做平行四边形，当平行四边 形的面积为 8 时，求出点 P 的坐标； （ 3）过点 D（ m， 0）（其中 m 1）且与 x 轴垂直的直线 l2 上有一点 Q（点 Q 在第一象限），使得以 Q， D， B为顶点的三角形和以 B， C， O 为顶点的三角形相似，求线段 QD 的长（用含 m 的代数式表示） 23（ 11 分）用如图 ， 所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成
8、以下两个探究问题： 探究一：将以上两个三角形如图 拼接（ BC 和 ED 重合），在 BC 边上有一动点 P （ 1）当点 P 运动到 CFB的角平分线上时，连接 AP，求线段 AP 的长； （ 2）当点 P 在运 动的过程中出现 PA=FC 时，求 PAB的度数 探究二：如图 ，将 DEF 的顶点 D 放在 ABC 的 BC 边上的中点处，并以点 D 为旋转中心旋转 DEF，使 DEF 的两直角边与 ABC 的两直角边分别交于 M、 N 两点，连接 MN在旋转 DEF 的过程中， AMN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由 一、选择题每题 3 分，共 5 小
9、题，共 15分只有一个正确答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 A 二、填空题每题 3 分，共 8 题，共 24 分 6 3 7 48 8 m（ m 2） 9 3a 10 8106 11 105 12 1 13 （ ） 2013 三、解答题共 10小题，共 81 分 14解：原式 =12 3 +2 = 15解： ， +得： 3x=6， 解得 x=2， 将 x=2 代入 得： 2 y=1， 解得： y=1 原方程组的解为 16解：（ 1） 点 C 与点 A（ 2， 2）关于原点 O 对称， 点 C 的坐标为（ 2， 2）； （ 2） 将点 A向右平移 5 个单位得到点 D， 点 D 的坐标为
10、（ 3， 2）； （ 3）由图可知： A（ 2， 2）， B（ 3， 2）， C（ 2， 2）， D（ 3， 2）， 在平行四边形 ABCD 内横、纵坐标均为整数的点有 15 个，其中横、纵坐标和为零的点有3 个，即（ 1， 1），（ 0， 0），（ 1， 1）， P= = 故答案为（ 2， 2）；（ 3， 2）； 17解：（ 1）根据题意得： 1830%=60（人）， 则九年级（ 1）班的人数为 60 人； （ 2） “一般 ”的人数为 6015%=9（人）， “较差 ”的人数为 60（ 9+30+18） =3（人）， 则 “较差 ”所占的 度数为 360 =18； （ 3） “较差 ”、
11、“一般 ”的学生所占的百分比之和为 5%+15%=20%， 则对安全知识的了解情况为 “较差 ”、 “一般 ”的学生共有 150020%=300（名） 18解：（ 1）将 A（ a， 2）代入 y=x+1 中得： 2=a+1， 解得： a=1，即 A（ 1， 2）， 将 A（ 1， 2）代入反比例解析式中得： k=2， 则反比例解析式为 y=； （ 2）将 x=2 代入反比例解析式得： y= = ， 则点 B在反比例图象上 19解；（ 1） 在矩形 ABCD 中， AB=2DA， DA=2， AB=AE=4， DE= =2 ， EC=CD DE=4 2 ； （ 2） sin DEA= =， D
12、EA=30， EAB=30， 图中阴影部分的面积为： S 扇形 FAB S DAE S 扇形 EAB = 22 = 2 20解：（ 1）设购买 A种树苗 x 棵，则购买 B种树苗（ 1000 x）棵，由题意，得 y=（ 20+5） x+（ 30+5）（ 1000 x） = 10x+35000； （ 2）由题意，可得 0.90x+0.95（ 1000 x） =925， 解得 x=500 当 x=500 时， y= 10500+35000=30000， 即绿化村道的总费用需要 30000 元； （ 3）由（ 1）知购买 A种树苗 x 棵， B种树苗（ 1000 x）棵时，总费用 y= 10x+35
13、000， 由题意，得 10x+3500031000， 解得 x400， 所以 1000 x600， 故最多可购买 B种树苗 600 棵 21（ 1）证明： EF 垂直平分 BC， CF=BF， BE=CE， BDE=90， BD=CD， 又 ACB=90， EF AC， BE： AB=DB： BC， D 为 BC 中点， DB： BC=1： 2， BE： AB=1： 2， E 为 AB 中点， 即 BE=AE， CF=AE， CF=BE， CF=FB=BE=CE， 四边形 BECF 是菱形 （ 2）解： 四边形 BECF 是正方形， CBA=45， ACB=90， A=45 22解：（ 1）
14、y=2x2 2， 当 y=0 时， 2x2 2=0， x=1， 点 A的坐标为（ 1， 0），点 B的坐标为（ 1， 0）， AB=2， 又当 x=0 时， y= 2， 点 C 的坐标为（ 0， 2）， OC=2， S ABC=ABOC=22=2； （ 2）将 y=6 代入 y=2x2 2， 得 2x2 2=6， x=2， 点 M 的坐标为（ 2， 6），点 N 的坐标为（ 2， 6）， MN=4 平行四边形的面积为 8， MN 边上的高为： 84=2， P 点纵坐标为 62 当 P 点纵坐标为 6+2=8 时， 2x2 2=8， x= ， 点 P 的坐标为（ ， 8），点 N 的坐标为（ ，
15、 8）； 当 P 点纵坐标为 6 2=4 时， 2x2 2=4， x= ， 点 P 的坐标为（ ， 4），点 N 的坐标为（ ， 4）； （ 3） 点 B的坐标为（ 1， 0），点 C 的坐标为（ 0， 2）， OB=1， OC=2 QDB= BOC=90， 以 Q， D， B为顶点的三角形和以 B， C， O 为顶点的三角形相似时，分两种情况： OB与 BD 边是对应边时， OBC DBQ， 则 = ，即 = ， 解得 DQ=2（ m 1） =2m 2， OB与 QD 边是对应边时， OBC DQB， 则 = ，即 = ， 解得 DQ= 综上所述，线段 QD 的长为 2m 2 或 23解：探
16、究一：（ 1）依题意画出图形，如答图 1 所示： 由题意，得 CFB=60， FP 为角平分线，则 CFP=30， CF=BCsin30=3 = ， CP=CFtan CFP= =1 过点 A作 AG BC 于点 G，则 AG=BC=， PG=CG CP= 1= 在 Rt APG 中，由勾股定理得： AP= = = （ 2）由（ 1）可知， FC= 如答图 2 所示，以点 A为圆心，以 FC= 长为半径画弧，与 BC 交于点 P1、 P2，则AP1=AP2= 过点 A过 AG BC 于点 G，则 AG=BC= 在 Rt AGP1 中， cos P1AG= = = ， P1AG=30， P1AB
17、=45 30=15； 同理求得， P2AG=30， P2AB=45+30=75 PAB的度数为 15或 75 探究二： AMN 的周长存在有最小值 如答图 3 所示，连接 AD ABC 为等腰直角三角形，点 D 为斜边 BC 的中点， AD=CD， C= MAD=45 EDF=90， ADC=90， MDA= NDC 在 AMD 与 CND 中， AMD CND（ ASA） AM=CN 设 AM=x，则 CN=x， AN=AC CN= BC CN= x 在 Rt AMN 中，由勾股定理得： MN= = = = AMN 的周长为： AM+AN+MN= + ， 当 x= 时，有最小值，最小值为 + = AMN 周长的最小值为
