1、全国硕士研究生入学统一考试数学三真题 2011 年及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时 f(x)=3sinx-sin3x 与 cxk是等价无穷小，则( )（分数：4.00）A.k=1，c=4B.k=1，c=-4C.k=3，c=4D.k=3，c=-42.设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 un是数列，则下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第一
2、列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记，则 A=( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k 1，k 2为任意常数，则 Ax= 的通解为( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 F1(x)与 F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x)与 f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（分数：4.00）A.f1(x)f2(x)B.2f2(x)F1(x)C.f1(x)F2(x)D.f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)8.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松
3、分布，X 1，X 2，X n(n2)为来自该总体随机样本，则对于统计量 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_11.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_13.设二次型 f(x1，x 2，x 3，)=x TAx 的秩为 1，A 中行元素之和为 3，则 f 在正交变换下 X=Qy 的标准形为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_（分数：4.00）
4、填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.已知函数 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，f(1，1)=2 是 f(u，v)的极值，z=fx+y，f(x，y)求（分数：10.00）_17.求不定积分 （分数：10.00）_18.证明方程 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在0，1上有连续的导数，f(0)=1，且 （分数：10.00）_20.设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T不能由向量组 1=(1，1，1)T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T线性表出求 a 的值；将
5、1， 2， 3用 1， 2， 3线性表出（分数：11.00）_21.设 A 为三阶实对称矩阵，r(A)=2，且 （分数：11.00）_22.设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为X 0 1P 1/3 2/3Y -1 0 1P 1/3 1/3 1/3且 PX2=Y2=1求：() 求二维随机变量(X，Y)的概率分布；() Z=XY 的分布；() X 与 Y 的相关系数 XY（分数：10.00）_23.设二维随机变量(X，Y)服从区域 G 上的均匀分布，G 是由 x-y=0，x+y=2 与 y=0 围成的三角形区域求 X 的概率密度 fX(x)；求条件概率密度 fX|Y(x|y)（分数：11.00
6、）_全国硕士研究生入学统一考试数学三真题 2011 年答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时 f(x)=3sinx-sin3x 与 cxk是等价无穷小，则( )（分数：4.00）A.k=1，c=4B.k=1，c=-4C.k=3，c=4 D.k=3，c=-4解析：考点 无穷小比较答案解析 根据泰勒展式，有f(x)=3sinx-sin3x*故 c=4，k=3，故选(C)2.设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 导数的定义答案解析 由题设*因为 f(x)在
7、x=0 处可导，故原式=-f(0)，故选(B)3.设 un是数列，则下列命题正确的是( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 数项级数的敛散性答案解析 由题设*4.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 一元函数定积分答案解析 *sinxcosx1cotx 则lnsinxlncosx0lncotx*即 IKJ，故选(B)5.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记，则 A=( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 矩阵的初等变换答案解析 由题意有 P2AP1=E，*，因为*， 所以*
8、，故选(D)6.设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k 1，k 2为任意常数，则 Ax= 的通解为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 非齐次线性方程组答案解析 由于 1， 2， 3是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，则 3- 1， 2- 1为 Ax=0 的解，且 1， 2， 3线性无关又*为 Ax= 的解，故 Ax= 通解为*故选(C)7.设 F1(x)与 F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x)与 f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（分数：4.00）A.f1(x)f2(x)B.
9、2f2(x)F1(x)C.f1(x)F2(x)D.f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) 解析：考点 概率密度函数答案解析 由题意知 F1(x)=f1(x) F2(X)=f2(x)则对于(D)项有*，故选(D)8.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n(n2)为来自该总体随机样本，则对于统计量 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 统计量的期望，方差答案解析 X 1，X 2，X n为简单随机样本，则有 EX1=EX2=EXn=，DX 1=DX2=EXn，且X1，X 2，X n相互独立*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填
10、空项 1:_ （正确答案：(1+3x)e 3x）解析：考点 求一元函数的导数答案解析 先求出 f(x)的表达式*则 f(x)=e3x+3xe3x=(1+3x)e3x10.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(2ln2+1)dx+(-2ln2-1)dy）解析：考点 全微分答案解析 *两边取对数得*，两边取微分得*将 x=1，y=1 代入得dz|(1,1)=(2ln2+1)dx+(-2ln2-1)dy11.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-2x）解析：考点 利用导数求即线方程答案解析 对*两边 x 求导数得*把 x=0，y=0 代入得*，于是切线方程为 y
11、=-2x12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：考点 一元积分的应用答案解析 *13.设二次型 f(x1，x 2，x 3，)=x TAx 的秩为 1，A 中行元素之和为 3，则 f 在正交变换下 X=Qy 的标准形为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：考点 二次型，正交变换答案解析 由于 A 中行元素之和为 3则*，所以 A 有特征值为 1，又因为 AT=A 且 r(A)=1，所以 2= 3=0 故二次型的标准型为*14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案
12、：( 2+ 2)）解析：考点 二维随机变量的期望因为(X，Y)N(，； 2， 2；0)，所以 XN(， 2)，YN(， 2)，EX=，EY 2=DY+(EY)2= 2+ 2又因为 =0，所以 X，Y 独立，于是 E(XY2)=EXEy2=( 2+ 2)三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 极限的计算无穷小量替换16.已知函数 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，f(1，1)=2 是 f(u，v)的极值，z=fx+y，f(x，y)求（分数：10.00）_正确答案：(f x(1，1)=0，f y(1，1)=0，)解析：考点 二元函数偏
13、导数与全微分17.求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 不定积分的计算18.证明方程 （分数：10.00）_正确答案：(方程根据的分布令令时，f(x)0： 时，f(x)0： 时，f(x)0为极小点， 为极大点极小值为极大值为而 f(x)恰有两实根，一个为 ，另一个在 )解析：考点 函数的极值19.设函数 f(x)在0，1上有连续的导数，f(0)=1，且 （分数：10.00）_正确答案：(因为所以两边对 t 求导得 ，解得因为 f(0)=1，所以 C=4，于是 )解析：考点 二重积分20.设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T不
14、能由向量组 1=(1，1，1)T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T线性表出求 a 的值；将 1， 2， 3用 1， 2， 3线性表出（分数：11.00）_正确答案：(因为 ，所以 r( 1， 2， 3)=3，又因为 1， 2， 3不能由 1， 2， 3线性表示，所以 1， 2， 3线性相关，于是| 1， 2， 3|=0，解得 a=5于是 )解析：考点 向量的线性相关性21.设 A 为三阶实对称矩阵，r(A)=2，且 （分数：11.00）_正确答案：() 根据特征值特征向量的定义，A 的特征值为 1=-1， 2=1，对应的线性无关的特征向量为因为 r(A)=23，所以|A|=0
15、，故 3=0令 为矩阵 A 的相应于 3=0 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以有 即 解得 故矩阵 A 的特征值为 1，-1，0；特征向量依次为 k1(1，0，1) T，k 2(1，0，-1) T，k 3(0，1，0)T其中 k1，k 2，k 3是不为 0 的任意常数() 1， 2， 3单位化得令 ，则于是 )解析：考点 矩阵的特征值和特征向量22.设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为X 0 1P 1/3 2/3Y -1 0 1P 1/3 1/3 1/3且 PX2=Y2=1求：() 求二维随机变量(X，Y)的概率分布；() Z=XY 的分布；() X 与 Y 的相关系数 XY（分数：10.00）_解析：23.设二维随机变量(X，Y)服从区域 G 上的均匀分布，G 是由 x-y=0，x+y=2 与 y=0 围成的三角形区域求 X 的概率密度 fX(x)；求条件概率密度 fX|Y(x|y)（分数：11.00）_正确答案：(易知 SG=1则x0 或 x2 时 fX(x)=0当 0x1 时，当 1x2 时，综上当 y1 或 y0 时 fY(y)=0当 0y1 时则 )解析：考点 条件概率密度、联合密度
