1、 广西贵港市 2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3分，共 36分）每小题都给出标号为（ A）、（ B）、（ C）、（ D）的四个选项，其中只有一个是正确的。请考生用 2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑。 1（ 3 分） 3 的绝对值是（ ） A B C 3 D 3 2（ 3 分）纳米是非常小的长度单位， 1 纳米 =10 9 米某种病菌的长度约为 50 纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果正确的是（ ） A 510 10 米 B 510 9 米 C 510 8 米 D 510 7 米 3（ 3 分）下列四种调查： 调查某班学生的身高情况； 调查某城市的空
2、气质量； 调查某风景区全年的游客流量； 调查某批汽车的抗撞击能力 其中适合用全面调查方式的是（ ） A B C D 4（ 3 分）下列四个式子中， x 的取值范围为 x2 的是（ ） A B C D 5（ 3 分）下列计算结果正确的是（ ） A 3a（ a） =2a B a3（ a） 2=a5 C a5a=a5 D （ a2） 3=a6 6（ 3 分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有 “共 ”字一面的相对面上的字是（ ） A 美 B 丽 C 家 D 园 7（ 3 分）下列四个命题中，属于真命题的是（ ） A 若 ，则 a=m B 若 a b，则 am bm C 两个等腰
3、三角形必定相似 D 位似图形一定是相似图形 8（ 3 分）关于 x 的分式方程 的解是负数，则 m 的取值范围是（ ） A m 1 B m 1 且 m0 C m 1 D m 1 且 m0 9（ 3 分）如图，直线 a b，直线 c 与 a、 b 都相交，从所标识的 1、 2、 3、 4、 5这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是（ ） A B C D 10（ 3 分）如图，已知圆锥的母线长为 6，圆锥的高与母线所夹的角为 ，且 sin=，则该圆锥的侧面积是（ ） A 24 B 24 C 16 D 12 11（ 3 分）如图，点 A（ a， 1）、 B（ 1， b）都在双曲线
4、 y= 上，点 P、 Q 分别是 x 轴、 y 轴上的动点，当四边形 PABQ的周长取最小值时， PQ所在直线的解析式是（ ） A y=x B y=x+1 C y=x+2 D y=x+3 12（ 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点， EBC 的平分线交 CD 于点 F，将 DEF 沿 EF 折叠，点 D 恰好落在 BE 上 M 点处，延长 BC、 EF 交于点 N有下列四个结论： DF=CF； BF EN； BEN 是等边三角形； S BEF=3S DEF其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分
5、） 13（ 3 分）若超出标准质量 0.05 克记作 +0.05 克，则低于标准质量 0.03 克记作 0.03 克 14（ 3 分）分解因式： 3x2 18x+27= 3（ x 3） 2 15（ 3 分）若一组数据 1， 7， 8， a， 4 的平均数是 5、中位数是 m、极差是 n，则 m+n= 12 16（ 3 分）如图， AB 是 O 的弦， OH AB 于点 H，点 P 是优弧上一点，若 AB=2 ，OH=1，则 APB的度数是 60 17（ 3 分）如图， ABC 和 FPQ 均是等边三角形，点 D、 E、 F 分别是 ABC 三边的中点，点 P 在 AB 边上，连接 EF、 QE
6、若 AB=6， PB=1，则 QE= 2 18（ 3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若动点 P 在抛物线 y=ax2上， P 恒过点 F（ 0， n），且与直线 y= n 始终保持相切，则 n= （用含 a 的代数式表示） 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 66分。解答应写出额文字说 明、证明过程或演算步骤。） 19（ 10 分）（ 1）计算： 2cos60； （ 2）先化简：（ ） ，再选择一个恰当的 x 值代入求值 20（ 5 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（ 4， 3）、B（ 3， 1）、 C（ 1， 3） （ 1）请按下列要求画图：
7、 将 ABC 先向右平移 4 个单位长度、再向上平移 2 个单位长度，得到 A1B1C1，画出 A1B1C1； A2B2C2 与 ABC 关于原点 O 成中心对称，画出 A2B2C2 （ 2）在（ 1）中所得的 A1B1C1 和 A2B2C2 关于点 M 成中心对称，请直接写出对称中心M 点的坐标 21（ 7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 的边 AC 在 x 轴上，边 BC x 轴，双曲线 y= 与边 BC 交于点 D（ 4， m），与边 AB 交于点 E（ 2， n） （ 1）求 n 关于 m 的函数关系式； （ 2）若 BD=2， tan BAC=，求 k 的值和点 B
8、的坐标 22（ 8 分）在以 “关爱学生、安全第一 ”为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有： A结伴步行、 B自行乘车、 C家人接送、 D其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图请根据图中信息，解答下列问题： （ 1）本次抽查的学生人数是多少人？ （ 2）请补全条形统计图； （ 3）请补全扇形统计图，并在图中标出 “自行乘车 ”对应扇形的圆心角的度数； （ 4）如果该校学生有 2080 人，请你估计该校 “家人接送 ”上学的学生约有多少人？ 23（ 7 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC
9、， B=90， AG CD 交 BC 于点 G，点E、 F 分别为 AG、 CD 的中点，连接 DE、 FG （ 1）求证：四边形 DEGF 是平行四边形； （ 2）当点 G 是 BC 的中点时，求证：四边形 DEGF 是菱形 24（ 8 分）在校园文化建设中，某学校原计划按每班 5 幅订购了 “名人字画 ”共 90 幅由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅 “名人字画 ”一起分发，如果每班分 4 幅，则剩下17 幅；如果每班分 5 幅，则最后一班不足 3 幅，但不少于 1 幅 （ 1）该校原有的班数是多少个？ （ 2）新学期所增加的班数是多少个？ 25（ 10 分）如图，在边长为 2 的
10、正方形 ABCD 中，以点 D 为圆心、 DC 为半径作 ，点 E在 AB 上，且与 A、 B两点均不重合，点 M 在 AD 上，且 ME=MD，过点 E 作 EF ME，交 BC 于点 F，连接 DE、 MF （ 1）求证： EF 是 所在 D 的切线； （ 2）当 MA=时，求 MF 的长； （ 3）试探究： MFE 能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出 MF 的长度；若不是，请说明理由 26（ 11 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 交 y 轴于点 C（ 0， 4），对称轴 x=2 与 x 轴交于点 D，顶点为 M，且 DM=OC+OD （ 1）求该
11、抛物线的解析式； （ 2）设点 P（ x， y）是第一象限内该抛物线上的一个动点， PCD 的面积为 S，求 S 关于x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若经过点 P 的直线 PE与 y 轴交于点 E，是否存在以 O、 P、 E 为顶点的三角形与 OPD 全等？若存在，请求出直线 PE 的解析式；若不存在，请说明理由 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3分，共 36分）每小题都给出标号为（ A）、（ B）、（ C）、（ D）的四个选项，其中只有一个是正确的。请考生用 2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑。 1 D 2 C 3 A 4 C 5
12、B 6 D 7 D 8 B 9 A 10 D 11 C 12 B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分） 13 0.03 14 3（ x 3） 2 15 12 16 60 17 2 18 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 66分。解答应写出额文字说明、证明过程或演算步骤。） 19解：（ 1） （） 1+（ 2 ） 0 2cos60 =3 2+1 2 =3 2+1 1 =1； （ 2）（ 1） = = =1 x， 要使分式有意义，则（ x+1）（ x 1） 0， x0， 解得 x1， x0， 所以， x=2 时，原式 =1 2= 1 20解：（ 1） A1B1C1 如图所
13、示； A2B2C2 如图所示； （ 2）连接 B1B2， C1C2，得到对称中心 M 的坐标为（ 2， 1） 21解：（ 1） 点 D（ 4， m），点 E（ 2， n）在双曲线 y= ， 4m=2n，解得 n=2m； （ 2）过点 E 作 EF BC 于点 F， 由（ 1）可知 n=2m， DF=m， BD=2， BF=2 m， 点 D（ 4， m），点 E（ 2， n）， EF=4 2=2， EF x 轴， tan BAC=tan BEF= = =，解得 m=1， D（ 4， 1）， k=41=4， B（ 4， 3） 22解：（ 1）根据题意得： 3025%=120（人）， 则本次抽查的学
14、生人数是 120 人； （ 2） “结伴步行 ”的人数为 120（ 42+30+18） =30（人）， 补全统计图，如图所示： （ 3） “结伴步行 ”所占的百分比为 100%=25%； “自行乘车 ”所占的百分比为100%=35%， “自行乘车 ”在扇形统计图中占的度数为 360 35%=126，补全扇形统计图，如图所示； （ 4）估计该校 “家人接送 ”上学的学生约有 208025%=520（人） 23证明：（ 1） AG DC， AD BC， 四边形 AGCD 是平行四边形， AG=DC， E、 F 分别为 AG、 DC 的中点， GE=AG， DF=DC， 即 GE=DF， GE DF
15、， 四边形 DEGF 是平行四边形； （ 2）连接 DG， 四边形 AGCD 是平行四边形， AD=CG， G 为 BC 中点， BG=CG=AD， AD BG， 四边形 ABGD 是平行四边形， AB DG， B=90， DGC= B=90， F 为 CD 中点， GF=DF=CF， 即 GF=DF， 四边形 DEGF 是平行四边形， 四边形 DEGF 是菱形 24解：（ 1）原有的班数为： =18 个； （ 2）设增加后的班数为 x，则 “名人字画 ”有 4x+17， 由题意得， ， 解得： 19 x21， x 为正整数， x 可取 20， 21， 故新学期所增加的班数为 2 个或 3 个
16、 25 （ 1）证明：过点 D 作 DG EF 于 G， ME=MD， MDE= MED， EF ME， DME+ GED=90， DAB=90， MDE+ AED=90， AED= GED， 在 ADE 和 GDE 中， ， ADE GDE（ AAS）， AD=GD， 的半径为 DC，即 AD 的长度， EF 是 所在 D 的切线； （ 2） MA=时， ME=MD=2 =， 在 Rt AME 中， AE= = =1， BE=AB AE=2 1=1， EF ME， 1+ 2=180 90=90， B=90， 2+ 3=90， 1= 3， 又 DAB= B=90， AME BEF， = ， 即
17、 = ， 解得 EF=， 在 Rt MEF 中， MF= = = ； （ 3）假设 MFE 能是等腰直角三角形， 则 ME=EF， 在 AME 和 BEF 中， ， AME BEF（ AAS）， MA=BE， 设 AM=BE=x， 则 MD=AD MA=2 x， AE=AB BE=2 x， ME=MD， ME=2 x， ME=AE， ME、 AE 分别是 Rt AME 的斜边与直角边， MEAE， 假设不成立， 故 MFE 不能是等腰直角三角形 26解：（ 1）由题意得： OC=4， OD=2， DM=OC+OD=6， 顶点 M 坐标为（ 2， 6） 设抛物线解析式为： y=a（ x 2） 2
18、+6， 点 C（ 0， 4）在抛物线上， 4=4a+6， 解得 a= 抛物线的解析式为： y= （ x 2） 2+6= x2+2x+4 （ 2）如答图 1，过点 P 作 PE x 轴于点 E P（ x， y），且点 P 在第一象限， PE=y， OE=x， DE=OE OD=x 2 S=S 梯形 PEOC S COD S PDE =（ 4+y） x 24（ x 2） y =y+2x 4 将 y= x2+2x+4 代入上式得： S= x2+2x+4+2x 4= x2+4x 在抛物线解析式 y= x2+2x+4 中，令 y=0，即 x2+2x+4=0，解得 x=2 设抛物线与 x 轴交于点 A、
19、B，则 B（ 2+ ， 0）， 0 x 2+ S 关于 x 的函数关系式为： S= x2+4x（ 0 x 2+ ） （ 3）存在 若以 O、 P、 E 为顶点的三角形与 OPD 全等，可能有以下情形： （ I） OD=OP 由图象可知， OP 最小值为 4，即 OPOD，故此种情形不存在 （ II） OD=OE 若点 E 在 y 轴正半轴上，如答图 2 所示： 此时 OPD OPE， OPD= OPE，即点 P 在第一象限的角平分线上， 直线 PE 的解析式为： y=x； 若点 E 在 y 轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在 （ III） OD=PE OD=2， 第一象限内对称轴右侧的点到 y 轴的距离均大于 2， 则点 P 只能位于对称轴左侧或与顶点 M 重合 若点 P 位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知 OPE 为钝角三角形，而 OPD 为锐角三角形，则不可能全等； 若点 P 与点 M 重合，如答图 3 所示，此时 OPD OPE，四边形 PDOE 为矩形， 直线 PE 的解析式为： y=6 综上所述，存在以 O、 P、 E 为顶点的三角形与 OPD 全等 ，直线 PE 的解析式为 y=x 或 y=6
