1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )在复平面内，复数 (i 为虚数单位 )的共轭复数对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析 ： z= = = =1+i， =1-i. 对应的点 (1， -1)位于第四象限， 答案： D. 2.(5 分 )已知全集为 R，集合 ，则A CRB=( ) A. x|x0 B. x|2x4 C. x|0x 2 或 x 4 D. x|0 x2 或 x4 解析 ：
2、1= ， x0 ， A=x|x0 ； 又 x2-6x+80 (x-2)(x-4)0 ， 2x4.B=x|2x4 ， CRB=x|x 2 或 x 4， A CRB=x|0x 2 或 x 4， 答案： C. 3.(5 分 )在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是 “ 甲降落在指定范围 ” ，q 是 “ 乙降落在指定范围 ” ，则命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 可表示为( ) A. ( p)( q) B. p( q) C. ( p) ( q) D. pq 解析 ： 命题 p 是 “ 甲降落在指定范围 ” ，则 p 是 “ 甲没降落在指定范围 ” ， q 是 “ 乙降
3、落在指定范围 ” ，则 q 是 “ 乙没降落在指定范围 ” ， 命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 包括 “ 甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围 ” 或 “ 甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围 ” 或 “ 甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围 ” 三种情况 .所以命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 可表示为 (p)V( q). 答案： A. 4.(5 分 )将函数 的图象向左平移 m(m 0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： y= cosx+sinx=2( cosx+ sinx)=2sin(x
4、+ )， 图象向左平移 m(m 0)个单位长度得到 y=2sin(x+m)+ =2sin(x+m+ )， 所得的图象关于 y 轴对称， m+ =k+ (k Z)，则 m 的最小值为 . 答案： B 5.(5 分 )已知 0 ，则双曲线 C1： - =1 与 C2： -=1 的 ( ) A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 解析 ： 双曲线 的实轴长为 2cos ，虚轴长 2sin ，焦距 2，离心率 ， 双曲线 的实轴长为 2sin ，虚轴长 2sintan ，焦距 2tan ，离心率 ，故它们的离心率相同 . 答案： D. 6.(5 分 )已知点 A(-1，
5、1)， B(1， 2)， C(-2， -1)， D(3， 4)，则向量 在 方向上的投影为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： ， ，则向量 方向上的投影为： cos = = = = ， 答案： A. 7.(5 分 )一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位： s， v 的单位： m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离 (单位： m)是 ( ) A. 1+25ln5 B. 8+25ln C. 4+25ln5 D. 4+50ln2 解析 ： 令 v(t)=7-3t+ ，化为 3t2-4t-32=0，又 t 0，解得 t=4. 由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续
6、行驶的距离 s= =4+25ln5. 答案： C. 8.(5 分 )一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 V1， V2， V3， V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 ( ) A. V1 V2 V4 V3 B. V1 V3 V2 V4 C. V2 V1 V3 V4 D. V2 V3 V1 V4 解析 ： 由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成， 体积分别记 为 V1= = . V2=122=2 ， V3=222=8 V4= = ； ， V 2 V1 V3 V4 答案： C. 9.
7、(5 分 )如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)=( ) A. B. C. D. 解析 ： 由题意可知： X 所有可能取值为 0， 1， 2， 3. 8 个顶点处的 8 个小正方体涂有 3 面， P(X=3)= ； 每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下 3 个，一共有 312=36 个小正方体涂有2 面， P(X=2)= ； 每个表面去掉四条棱上的 16 个小正方形，还剩下 9 个小正方形，因此一共有 96=54 个小正方体涂有一面， P(X=1)= . 由以上可知：还
8、剩下 125-(8+36+54)=27 个内部的小正方体的 6 个面都没有涂油漆，P(X=0)= . 故 X 的分布列为 因此 E(X)= = . 答案： B. 10.(5 分 )已知 a 为常数，函数 f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点 x1， x2(x1 x2)( ) A. B. C. D. 解析 ： =lnx+1-2ax， (x 0) 令 f(x)=0 ，由题意可得 lnx=2ax-1 有两个解 x1， x2函数 g(x)=lnx+1-2ax 有且只有两个零点 g(x) 在 (0， +) 上的唯一的极值不等于 0. . 当 a0 时， g(x) 0， f(x) 单调递增，因此 g(
9、x)=f(x) 至多有一个零点，不符合题意，应舍去 . 当 a 0 时，令 g(x)=0 ，解得 x= ， x ， g(x) 0，函数 g(x)单调递增； 时， g(x) 0，函数 g(x)单调递减 . x= 是函数 g(x)的极大值点，则 0，即 0， ln(2a) 0， 0 2a 1，即 . ， f(x 1)=lnx1+1-2ax1=0， f(x 2)=lnx2+1-2ax2=0. 且 f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1)=x1(ax1-1) x1(-ax1)= 0， f(x2)=x2(lnx2-ax2)=x2(ax2-1) =- .( ). 答案： D. 二
10、、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5小题，每小题 5 分，共 25分 .请将答案填在答题卡对应题号的位置上 .答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 .(一 )必考题 (11-14题 )(二 )选考题 (请考生在第 15、 16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑 .如果全选，则按第 15 题作答结果计分 .) 11.(5分 )从某小区抽取 100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50至 350度之间，频率分布直方图如图所示： ( )直方图中 x 的值为 ； ( )在这些用户中，用电量落在区间 100， 250)内的户数为 .
11、解析 ： () 依题意及频率分布直方图知，0.002450+0.003650+0.006050+x50+0.002450+0.001250=1 ，解得 x=0.0044. (II)样本数据落在 100， 150)内的频率为 0.003650=0.18 ， 样本数据落在 150， 200)内的频率为 0.00650=0.3. 样本数据落在 200， 250)内的频率为 0.004450=0.22 ， 故在这些用户中，用电量落在区间 100， 250)内的户数为 (0.18+0.30+0.22)100=70. 答案： 0.0044； 70. 12.(5 分 )阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序
12、，输出的结果 i= . 解析 ： 框图首先给变量 a 和变量 i 赋值， a=4， i=1. 判断 10=4 不成立，判断 10 是奇数不成立，执行 ， i=1+1=2； 判断 5=4 不成立，判断 5 是奇数成立，执行 a=35+1=16 ， i=2+1=3； 判断 16=4 不成立，判断 16 是奇数不成立，执行 ， i=3+1=4； 判断 8=4 不成立，判断 8 是奇数不成立，执行 ， i=4+1=5； 判断 4=4 成立，跳出循环，输出 i 的值为 5. 答案： 5. 13.(5 分 )设 x， y， z R，且满足： ，则 x+y+z= . 解析 ： 根据柯西不等式，得 (x+2y
13、+3z)2(1 2+22+32)(x2+y2+z2)=14(x2+y2+z2)， 当且仅当 时，上式的等号成立 ， x 2+y2+z2=1， (x+2y+3z) 214 ，结合 ，可得 x+2y+3z 恰好取到最大值 ， = ，可得 x= ， y= ， z= ， 因此， x+y+z= + + = . 答案： 14.(5 分 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1， 3， 6， 10， ，第 n 个三角形数为 .记第 n 个 k 边形数为 N(n， k)(k3 )，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 三角形数 ， 正方形数 N(n， 4)=n2， 五边形
14、数 ， 六边形数 N(n， 6)=2n2-n， 可以推测 N(n， k)的表达式，由此计算 N(10， 24)= 1000 . 解析 ： 原已知式子可化为： ， ， ， ， 由归纳推理可得 ， 故 =1100-100=1000 答案： 1000 15.(5 分 )(选修 4-1：几何证明选讲 ) 如图，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，点 D 在半径 OC 上的射影为 E.若 AB=3AD，则的值为 . 解析 ： 设圆 O 的半径 OA=OB=OC=3x， AB=3AD ， AD=2x ， BD=4x， OD=x 又 点 C 在直径 AB 上的射影为 D， 在 ABC 中，由射
15、影定理得： CD2=ADBD=8x 2， 在 ODC 中，由射影定理得： OD2=OEOC=x 2， CD2=CEOC=8x 2，故 = =8 答案： 8 16.(选修 4-4：坐标系与参数方程 ) 在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的参数方程为 为参数， a b 0).在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，直线 l与圆 O的极坐标方程分别为 为非零常数 )与 =b .若直线 l经过椭圆 C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆 C 的离心率为 . 解析 ： 直线 l 的极坐标方程分别为 为非零常数 )化成直角坐标方程为 x+y
16、-m=0， 它与 x 轴的交点坐标为 (m， 0)，由题意知， (m， 0)为椭圆的焦点，故 |m|=c， 又直线 l 与圆 O： =b 相切， ， 从而 c= b，又 b2=a2-c2， c 2=2(a2-c2)， 3c 2=2a2， = .则椭圆 C 的离心率为 . 答案： . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(12 分 )在 ABC 中，角 A， B， C 对应的边分别是 a， b， c，已知 cos2A-3cos(B+C)=1. ( )求角 A 的大小； ( )若 ABC 的面积 S=5 ， b=5，求 sinBsinC
17、 的值 . 解析 ： (I)利用倍角公式和诱导公式即可得出； (II)由三角形的面积公式 即可得到 bc=20.又 b=5，解得 c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21，即可得出 a.又由正弦定理得即可得到即可得出 . 答案： () 由 cos2A-3cos(B+C)=1，得 2cos2A+3cosA-2=0， 即 (2cosA-1)(cosA+2)=0，解得 (舍去 ).因为 0 A ，所以 . () 由 S= = = ，得到 bc=20.又 b=5，解得 c=4. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21，故 . 又由正弦
18、定理得 . 18.(12 分 )已知等比数列 an满足： |a2-a3|=10， a1a2a3=125. ( )求数列 an的通项公式； ( )是否存在正整数 m，使得 ？若存在，求 m 的最小值；若不存在，说明理由 . 解析 ： (I)设等比数列 an的公比为 q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1， q，进而可求通项公式 () 结合 (I)可知 是等比数列，结合等比数列的求和公式可求 ，即可判断 答案： () 设等比数列 an的公比为 q，则由已知可得 解得 故 . () 若 ，则 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列， 从而 . 若 ，则 是首项为 ，公比为 -1 的等比
19、数列， 从而 故 . 综上，对任何正整数 m，总有 .故不存在正整数 m，使得 成立 . 19.(12 分 )如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A， B 的点，直线 PC 平面 ABC， E，F 分别是 PA， PC 的中点 . ( )记平面 BEF与平面 ABC的交线为 l，试判断直线 l与平面 PAC的位置关系，并加以证明； ( )设 ( )中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D，且点 Q 满足 .记直线 PQ 与平面ABC 所成的角为 ，异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ，二面角 E-l-C 的大小为 .求证：sin=sinsin . 解析 ： (I)直线
20、 l 平面 PAC.连接 EF，利用三角形的中位线定理可得， EFAC ；利用线面平行的判定定理即可得到 EF 平面 ABC.由线面平行的性质定理可得 EFl. 再利用线面平行的判定定理即可证明直线 l 平面 PAC. (II)综合法：利用线面垂直的判定定理可证明 l 平面 PBC.连接 BE， BF，因为 BF 平面 PBC，所以 lBC. 故 CBF 就是二面角 E-l-C 的平面角，即 CBF=. 已知 PC 平面 ABC，可知 CD 是 FD 在平面 ABC内的射影，故 CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC所成的角，即 CDF=. 由 BD 平面 PBC，有 BDBF ，知 BDF=
21、 ，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论； 向量法：以点 C 为原点，向量 所在直线分别为 x， y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角 . 答案： () 直线 l 平面 PAC， 证明如下：连接 EF，因为 E， F 分别是 PA， PC 的中点，所以EFAC ， 又 EF 平面 ABC，且 AC 平面 ABC，所以 EF 平面 ABC. 而 EF 平面 BEF，且平面 BEF 平面 ABC=l，所以 EFl. 因为 l 平面 PAC， EF 平面 PAC，所以直线 l 平面 PAC. ()( 综合法 )如图，连接 BD，由 () 可知交
22、线 l 即为直线 BD，且 lAC. 因为 AB 是 O 的直径，所以 ACBC ，于是 lBC. 已知 PC 平面 ABC，而 l 平面 ABC，所以 PCl. 而 PCBC=C ，所以 l 平面 PBC.连接 BE， BF，因为 BF 平面 PBC，所以 lBF. 故 CBF 就是二面角 E-l-C 的平面角，即 CBF=. 由 ，作 DQCP ，且 . 连接 PQ， DF，因为 F 是 CP 的中点， CP=2PF，所以 DQ=PF， 从而四边形 DQPF 是平行四边形， PQFD. 连接 CD，因为 PC 平面 ABC，所以 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影， 故 CDF 就是
23、直线 PQ 与平面 ABC 所成的角，即 CDF=. 又 BD 平面 PBC，有 BDBF ，知 BDF= ， 于是在 RtDCF ， RtFBD ， RtBCF 中，分别可得 ， 从而 . ()( 向量法 )如图，由 ，作 DQCP ，且 . 连接 PQ， EF， BE， BF， BD，由 () 可知交线 l 即为直线 BD. 以点 C 为原点，向量 所在直线分别为 x， y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 CA=a， CB=b， CP=2c，则有 C(0， 0， 0) ， A(a， 0， 0)， B(0， b， 0)， P(0， 0，2c)， Q(a， b， c)， E(12a
24、， 0， c)， 于是， = ，从而 ， 又取平面 ABC的一个法向量为 ，可得 ， 设平面 BEF 的一个法向量为 ， 所以由 可得 . 于是 ，从而 . 故 ，即 sin=sinsin. 20.(12 分 )假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800， 502)的随机变量 .记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0. ( )求 p0的值； (参考数据：若 X N( ， 2)，有 P( - X+ )=0.6826， P( -2 X+2 )=0.9544， P( -3 X+3 )=0.9974.) ( )某客运公司用 A， B 两种型号的车辆承担甲、乙两
25、地间的长途客运业务，每车每天往返一次， A， B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600元 /辆和 2400 元 /辆 .公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A型车 7 辆 .若每天要以不小于 p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小 ，那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆？ 答案： (I)变量服从正态分布 N(800， 502)，即服从均值为 800，标准差为 50 的正态分布，适合 700 X900 范围内取值即在 ( -2 ， +2) 内取值，其概率为： 95.44%，从而由正态
26、分布的对称性得出不超过 900 的概率为 p0. (II)设每天应派出 A 型 x 辆、 B 型车 y 辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解 . 答案： () 由于随机变量 X 服从正态分布 N(800， 502)，故有 =800 ， =50 ， P(700X900)=0.9544. 由正态分布的对称性，可得 p0=(P(X900)=P(X800)+P(800 X900)=() 设 A 型、 B 型车辆的数量分别为 x， y 辆，则相应的营运成本为 1600x+2400y. 依题意， x， y 还需满足： x+y21 ， yx+7 ， P(X36x+60y)
27、p 0. 由 () 知， p0=P(X900) ，故 P(X360x+60y)p 0等价于 36x+60y900. 于是问题等价于求满足约束条件 且使目标函数 z=1600x+2400y 达到最小值的 x， y. 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5， 12)， Q(7， 14)， R(15， 6). 由图可知，当直线 z=1600x+2400y 经过可行域的点 P 时，直线 z=1600x+2400y在 y 轴上截距最小，即 z 取得最小值 .故应配备 A 型车 5 辆， B 型车 12 辆 . 21.(13 分 )如图，已知椭圆 C1与 C2的中心在坐标原点 O，长轴均为
28、MN且在 x轴上，短轴长分别为 2m， 2n(m n)，过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1， C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A， B， C， D，记 ， BDM 和 ABN 的面积分别为 S1和 S2. ( )当直线 l 与 y 轴重合时，若 S1=S 2，求 的值； ( )当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S 2？并说明理由 . 答案： () 设出两个椭圆的方程，当直线 l 与 y 轴重合时，求出 BDM 和 ABN 的面积 S1和S2，直接由面积比 = 列式求 的值； () 假设存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S 2，设出直线方程，由点到
29、直线的距离公式求出 M和 N到直线 l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到 ，换元后利用非零的 k 值存在讨论 的取值范围 . 答案： 以题意可设椭圆 C1和 C2的方程分别为 ， .其中 a m n 0， . () 如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，即直线 l 的方程为 x=0， 则 ， ，所以 . 在 C1和 C2的方程中分别令 x=0，可得 yA=m， yB=n， yD=-m， 于是 . 若 ，则 ，化简得 2-2 -1=0，由 1，解得 . 故当直线 l 与 y 轴重合时，若 S1=S 2，则 . () 如
30、图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S 2，根据对称性， 不妨设直线 l： y=kx(k 0)，点 M(-a， 0)， N(a， 0)到直线 l 的距离分别为 d1， d2， 则 ，所以 d1=d2. 又 ，所以 ，即 |BD|=|AB|. 由对称性可知 |AB|=|CD|，所以 |BC|=|BD|-|AB|=( -1)|AB|， |AD|=|BD|+|AB|=(+1)|AB| ，于是 . 将 l 的方程分别与 C1和 C2的方程联立，可求得 根据对称性可知 xC=-xB， xD=-xA，于是 从而由 和 可得 令 ，则由 m n，可得 t1 ，于是由 可得 . 因为 k0 ，
31、所以 k2 0.于是 关于 k 有解，当且仅当 ， 等价于 ，由 1，解得 ， 即 ，由 1，解得 ，所以 当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S 2； 当 时，存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S 2. 22.(14 分 )设 n 是正整数， r 为正有理数 . ( )求函数 f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x -1)的最小值； ( )证明： ； ( )设 x R，记 x为不小于 x 的最小整数，例如 .令的值 .(参考数据：. 答案： () 先求出函数 f(x)的导函数 f(x) ，令 f(x)=0，解得 x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为
32、 f(0)=0； () 根据 () 知，即 (1+x)r+11+(r+1)x ，令 代入并化简得 ，再令 得， ，即结论得到证明； () 根据 () 的结论，令 ， n 分别取值 81， 82， 83， ， 125，分别列出不等式，再将各式相加得， ，再由参考数据和条件进行求解 . 答案： () 由题意得 f(x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)(1+x)r-1， 令 f(x)=0，解得 x=0. 当 -1 x 0 时， f(x) 0， f(x) 在 (-1， 0)内是减函数； 当 x 0 时， f(x) 0， f(x) 在 (0， +) 内是增函数 . 故函数 f(x)在 x
33、=0 处，取得最小值为 f(0)=0. () 由 () ，当 x (-1， +) 时，有 f(x)f(0)=0 ， 即 (1+x)r+11+(r+1)x ，且等号当且仅当 x=0 时成立， 故当 x -1 且 x0 ，有 (1+x)r+1 1+(r+1)x， 在 中，令 (这时 x -1 且 x0) ，得 . 上式两边同乘 nr+1，得 (n+1)r+1 nr+1+nr(r+1)，即 ， 当 n 1 时，在 中令 (这时 x -1 且 x0) ， 类似可得 ， 且当 n=1 时， 也成立 . 综合 ， 得 ， () 在 中，令 ， n 分别取值 81， 82， 83， ， 125， 得 ， ， 将以上各式相加，并整理得 . 代入数据计算，可得 由 S的定义，得 S=211.
