1、2013 年浙江省丽水市中考真题数学 一、选择题 (本题有 10 小题，每小题 3分，共 30分 ) 1.(3 分 )在数 0， 2， -3， -1.2 中，属于负整数的是 ( ) A. 0 B. 2 C. -3 D. -1.2 解析 ：在这些数 0， 2， -3， -1.2 中，属于负数的有 -3， -1.2，则属于负整数的是 -3. 答案： C. 2.(3 分 )化简 -2a+3a 的结果是 ( ) A. -a B. a C. 5a D. -5a 解析 ： -2a+3a=(-2+3)a=a. 答案： B. 3.(3 分 )用 3 个相同的立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是 ( )
2、A. B. C. D. 解析 ： 由图可知：右上角有 1 个小正方形，下面有 2 个小正方形， 答案： A. 4.(3 分 )若关于 x 的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是 ( ) A. x2 B. x 1 C. 1x 2 D. 1 x2 解析 ： 根据题意得：不等式组的解集为 1 x2 . 答案： D 5.(3 分 )如图， ABCD ， AD 和 BC 相交于点 O， A=20 ， COD=100 ，则 C 的度数是 ( ) A. 80 B. 70 C. 60 D. 50 解析 ： ABCD ， D=A=20 ， COD=100 ， C=180 -D -COD=60
3、 ， 答案： C. 6.(3 分 )王老师对本班 40 名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班 A 型血的人数是 ( ) A. 16 人 B. 14 人 C. 4 人 D. 6 人 解析 ： 本班 A 型血的人数为： 400.4=16 . 答案： A. 7.(3 分 )一元二次方程 (x+6)2=16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是 ( ) A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 解析 ： (x+6)2=16，两边直接开平方得： x+6=4 ，则： x+6=4， x+6=-4， 答案： D. 8.(
4、3 分 )一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB=10，水面宽 AB=16，则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 解析 ： OCAB ， OC 过圆心 O 点， BC=AC= AB= 16=8 ， 在 RtOCB 中，由勾股定理得： OC= = =6， 答案： C. 9.(3 分 )若二次函数 y=ax2的图象经过点 P(-2， 4)，则该图象必经过点 ( ) A. (2， 4) B. (-2， -4) C. (-4， 2) D. (4， -2) 解析 ： 二次函数 y=ax2的对称轴为 y 轴， 若图象经过点 P(-2， 4)，则该
5、图象必经过点 (2，4). 答案： A. 10.(3 分 )如图 1，在 RtABC 中， ACB=90 ，点 P 以每秒 1cm 的速度从点 A 出发，沿折线AC-CB 运动，到点 B 停止，过点 P作 PDAB ，垂足为 D， PD 的长 y(cm)与点 P 的运动时间 x(秒 )的函数图象如图 2 所示，当点 P 运动 5 秒时， PD 的长是 ( ) A.1.5cm B.1.2cm C.1.8cm D.2cm 解析 ：由图 2 可得， AC=3， BC=4，当 t=5 时，如图所示： ， 此时 AC+CP=5，故 BP=AC+BC-AC-CP=2， sinB= = ， PD=BPsin
6、B=2 = =1.2cm. 答案： B. 二、填空题 (本题有 6 小题，每小题 4分，共 24分 ) 11.(4 分 )分解因式： x2-2x= . 解析 ： x2-2x=x(x-2). 答案： x(x-2). 12.(4 分 )分式方程 -2=0 的解是 . 解析 ： 去分母得： 1-2x=0，解得： x= ，经检验 x= 是方程的解 . 答案： x= 13.(4 分 )合作小组的 4 位同学坐在课桌旁讨论问题，学生 A 的座位如图所示，学生 B， C， D随机坐到其他三个座位上，则学生 B 坐在 2 号座位的概率是 . 解析 ： 根据题意得： 所有可能的结果有 6 种，其中学生 B 坐在
7、 2 号座位的情况有 2种，则 P= = . 答案： 14.(4 分 )如图，在 RtABC 中， A=90 ， ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D， AD=3， BC=10，则 BDC 的面积是 . 解析 ： 过 D 作 DEBC 于 E， A=90 ， DAAB ， BD 平分 ABC ， AD=DE=3 ， BDC 的面积是 DEBC= 103=15 ， 答案： 15. 15.(4 分 )如图，四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都是菱形，其中点 C 在 AF 上，点 E， G 分别在BC， CD 上，若 BAD=135 ， EAG=75 ，则 = . 解析 ： BAD=135
8、 ， EAG=75 ，四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都是菱形， B=180 -BAD=45 ， BAE=BAC -EAC=30 ， 过点 E 作 EMAB 于点 M，设 EM=x， 在 RtAEM 中， AE=2EM=2x， AM= x，在 RtBEM 中， BM=x，则 = = . 答案： . 16.(4 分 )如图，点 P 是反比例函数 y= (k 0)图象上的点， PA 垂直 x 轴于点 A(-1， 0)，点C 的坐标为 (1， 0)， PC 交 y 轴于点 B，连结 AB，已知 AB= . (1)k 的值是 ； (2)若 M(a， b)是该反比例函数图象上的点，且满足 MBA
9、ABC ，则 a 的取值范围是 . 解析 ： (1)如图， PA 垂直 x 轴于点 A(-1， 0)， OA=1 ，可设 P(-1， t). 又 AB= ， OB= = =2， B (0， 2). 又 点 C 的坐标为 (1， 0)， 直线 BC 的解析式是： y=-2x+2. 点 P 在直线 BC 上， t=2+2=4 点 P 的坐标是 (-1， 4)， k= -4. 答案： -4； 三、解答题 (本题有 8 小题，第 17-19 题每题 6 分，第 20、 21 题每题 8 分，第 22、 23 题每题 10，第 24 题 12分，共 66 分，各小题必须写出解答过程 ) 17.(6 分
10、)计算： -|- |+(- )0. 解析 ： 本题涉及二次根式化简、绝对值、零指数幂三个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： -|- |+(- )0=2 - +1= +1. 18.(6 分 )先化简，再求值： (a+2)2+(1-a)(1+a)，其中 a=- . 解析 ： 原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 =a2+4a+4+1-a2=4a+5， 当 a=- 时，原式 =4 (- )+5=-3+5=2. 19.(6分 )一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至
11、如图位置时， AB=3m，已知木箱高 BE= ，斜面坡角为 30 ，求木箱端点 E 距地面 AC 的高度 EF. 解析 ： 连接 AE，在 RtABE 中求出 AE，根据 EAB 的正切值求出 EAB 的度数，继而得到 EAF的度数，在 RtEAF 中，解出 EF 即可得出答案 . 答案： 连接 AE， 在 RtABE 中， AB=3m， BE= m，则 AE= =2 m， 又 tanEAB= = ， EAB=30 ， 在 RtAEF 中， EAF=EAB+BAC=60 ， EF=AEsinEAF=2 =3m. 答：木箱端点 E 距地面 AC 的高度为 3m. 20.(8 分 )如图，科技小组
12、准备用材料围建一个面积为 60m2的矩形科技园 ABCD，其中一边 AB靠墙，墙长为 12 m.设 AD 的长为 x m， DC 的长为 y m. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)若围成矩形科技园 ABCD 的三边材料总长不超过 26m，材料 AD 和 DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案 . 解析 ： (1)根据面积为 60m2，可得出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)由 (1)的关系式，结合 x、 y 都是正整数，可得出 x 的可能值，再由三边材料总长不超过26m， DC 的长 12，可得出 x、 y 的值，继而得出可行的方案 . 答案： (1)由题意得，
13、 S 矩形 ABCD=ADDC=xy ，故 y= . (2)由 y= ，且 x、 y 都是正整数， 可得 x 可取 1， 2， 3， 4， 5， 6， 10， 12， 15， 20， 30， 60， 2x+y26 ， 0 y12 ， 符合条件的围建方案为： AD=5m， DC=12m或 AD=6m， DC=10m或 AD=10m，DC=6m. 21.(8 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC， BAC=54 ，以 AB 为直径的 O 分别交 AC， BC 于点 D，E，过点 B 作 O 的切线，交 AC 的延长线于点 F. (1)求证： BE=CE； (2)求 CBF 的度数； (3)若
14、AB=6，求 的长 . 解析 ： (1)连接 AE，求出 AEBC ，根据等腰三角形性质求出即可； (2)求出 ABC ，求出 ABF ，即可求出答案； (3)求出 AOD 度数，求出半径，即可求出答案 . 答案： (1)连接 AE， AB 是 O 直径， AEB=90 ，即 AEBC ， AB=AC ， BE=CE . (2)BAC=54 ， AB=AC， ABC=63 ， BF 是 O 切线， ABF=90 ， CBF=ABF -ABC=27 . (3)连接 OD， OA=OD ， BAC=54 ， AOD=72 ， AB=6 ， OA=3 ， 弧 AD 的长是 = . 22.(10 分
15、)本学期开学初，学校体育组对九年级某班 50 名学生进行了跳绳项目的测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图 . 根据统计图解答下列问题： (1)本次测试的学生中，得 4 分的学生有多少人？ (2)本次测试的平均分是多少分？ (3)通过一段时间的训练，体育组对该班学生的跳绳项目进行第二次测试，测得成绩的最低分为 3 分，且得 4 分和 5 分的人数共有 45人，平均分比第一次提高了 0.8分，问第二次测试中得 4 分、 5 分的学生各有多少人？ 解析 ： (1)用总人数乘以得 4 分的学生所占的百分百即可得出答案； (2)根据平均数的计算公式把所有人的得分加起来，再除以总人数即可； (3)先设第
16、二次测试中得 4 分的学生有 x 人，得 5 分的学生有 y人，再根据成绩的最低分为3 分，得 4 分和 5 分的人数共有 45 人，平均分比第一次提高了 0.8 分，列出方程组，求出 x，y 的值即可 . 答案 ： (1)根据题意得：得 4 分的学生有 5050%=25 (人 )， 答：得 4 分的学生有 25 人； (2)根据题意得：平均分 = =3.7(分 )； (3)设第二次测试中得 4 分的学生有 x 人，得 5 分的学生有 y人， 根据题意得： ，解得： ， 答：第二次测试中得 4 分的学生有 15 人，得 5 分的学生有 30人 . 23.(10 分 )如图，已知抛物线 y= x
17、2+bx 与直线 y=2x 交于点 O(0， 0)， A(a， 12).点 B 是抛物线上 O， A 之间的一个动点，过点 B 分别作 x 轴、 y 轴的平行线与直线 OA 交于点 C， E. (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点 C 为 OA 的中点，求 BC 的长； (3)以 BC， BE 为边构造矩形 BCDE，设点 D 的坐标为 (m， n)，求出 m， n 之间的关系式 . 解析 ： (1)将点 A 的坐标代入直线解析式求出 a 的值，继而将点 A 的坐标代入抛物线解析式可得出 b 的值，继而得出抛物线解析式； (2)根据点 A 的坐标，求出点 C 的坐标，将点 B 的纵坐标代入
18、求出点 B的横坐标，继而可求出 BC 的长度； (3)根据点 D 的坐标，可得出点 E 的坐标，点 C 的坐标，继而确定点 B的坐标，将点 B的坐标代入抛物线解析式可求出 m， n 之间的关系式 . 答案： (1) 点 A(a， 12)在直线 y=2x 上， 12=2a ，解得： a=6， 又 点 A 是抛物线 y= x2+bx 上的一点， 将点 A(6， 12)代入 y= x2+bx，可得 b=-1， 抛物线解析式为 y= x2-x. (2) 点 C 是 OA 的中点， 点 C 的坐标为 (3， 6)， 把 y=6 代入 y= x2-x，解得： x1=1+ ， x2=1- (舍去 )，故 B
19、C=1+ -3= -2. (3) 直线 OA 的解析式为： y=2x，点 D 的坐标为 (m， n)， 点 E 的坐标为 ( n， n)，点 C 的坐标为 (m， 2m)， 点 B 的坐标为 ( n， 2m)， 把点 B( n， 2m)代入 y= x2-x，可得 m= n2- n， m 、 n 之间的关系式为 m= n2- n. 24.(12 分 )如图 1，点 A 是 x 轴正半轴上的动点，点 B 坐标为 (0， 4)， M 是线段 AB 的中点，将点 M 绕点 A 顺时针方向旋转 90 得到点 C，过点 C作 x轴的垂线，垂足为 F，过点 B作 y轴的垂线与直线 CF 相交于点 E，点 D
20、 是点 A 关于直线 CF 的对称点，连结 AC， BC， CD，设点A 的横坐标为 t. (1)当 t=2 时，求 CF 的长； (2) 当 t 为何值时，点 C 落在线段 BD 上； 设 BCE 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式； (3)如图 2，当点 C 与点 E 重合时，将 CDF 沿 x 轴左右平移得到 CDF ，再将 A， B，C ， D 为顶点的四边形沿 CF 剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形 .请直接写出所有符合上述条件的点 C 的坐标 . 解析 ： (1)由 RtACFRtBAO ，得 CF= OA= t，由此求出 CF 的值
21、； (2) 由 RtACFRtBAO ，可以求得 AF的长度；若点 C落在线段 BD上，则有 DCFDBO ，根据相似比例式列方程求出 t 的值； 有两种情况，需要分类讨论：当 0 t8 时，如题图 1 所示；当 t 8 时，如答图 1 所示 . (3)本问涉及图形的剪拼 .在 CDF 沿 x 轴左右平移的过程中，符合条件的剪拼方法有三种，需要分类讨论，分别如答图 2-4 所示 . 答案： (1)由题意，易证 RtACFRtBAO ， . AB=2AM=2AC ， CF= OA= t.当 t=2 时， CF=1. (2) 由 (1)知， RtACFRtBAO ， ， AF= OB=2， FD=
22、AF=2 ， . 点 C 落在线段 BD 上， DCFDBO ， ，即 ， 解得 t= -2 或 t=- -2(小于 0，舍去 ) 当 t= -2 时，点 C 落在线段 BD 上； 当 0 t 8 时，如题图 1 所示： S= BE CE= (t+2) (4- t)= t2+ t+4； 当 t 8 时，如答图 1 所示： S= BE CE= (t+2) ( t-4)= t2- t-4. (3)符合条件的点 C 的坐标为： (12， 4)， (8， 4)或 (2， 4). 理由如下：在 CDF 沿 x 轴左右平移的过程中，符合条件的剪拼方法有三种： 方法一：如答图 2 所示，当 FC=AF 时，点 F 的坐标为 (12， 0)， 根据 CDFAHF ， BCH 为拼成的三角形，此时 C 的坐标为 (12， 4)； 方法二：如答图 3 所示，当点 F 与点 A 重合时，点 F 的坐标为 (8， 0)， 根据 OCABAC ，可知 OCD 为拼成的三角形，此时 C 的坐标为 (8， 4)； 方法三：当 BC=FD 时，点 F 的坐标为 (2， 0)， 根据 BCHDFH ，可知 AFC 为拼成的三角形，此时 C 的坐标为 (2， 4).
