1、2013 年浙江省杭州市中考真题数学 一、仔细选一选 (本题有 10 个小题，每小题 3分，共 30 分 ) 1.(3 分 )下列 “ 表情图 ” 中，属于轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确； 答案： D. 2.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. m3+m2=m5 B. m3 m2=m6 C. (1-m)(1+m)=m2-1 D. 解析 ： A、不是同类项，不能合并， 答案： 项错误； B、 m3 m2=m5， 答案： 项错误
2、； C、 (1-m)(1+m)=1-m2，选项错误； D、正确 . 答案： D. 3.(3 分 )在 ABCD 中，下列结论一定正确的是 ( ) A.ACBD B.A+B=180 C.AB=AD D.AC 解析 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， A+B=180 . 答案： B. 4.(3 分 )若 a+b=3， a-b=7，则 ab=( ) A. -10 B. -40 C. 10 D. 40 解析 ： 联立得： ，解得： a=5， b=-2，则 ab=-10. 答案： A. 5.(3 分 )根据 2008 2012 年杭州市实现地区生产总值 (简称 GDP，单位：亿元 )统计
3、图所提供的信息，下列判断正确的是 ( ) A.2010 2012 年杭州市每年 GDP 增长率相同 B.2012 年杭州市的 GDP 比 2008 年翻一番 C.2010 年杭州市的 GDP 未达到 5500 亿元 D.2008 2012 年杭州市的 GDP 逐年增长 解析 ： A、 2010 年 2011年 GDP 增长率约为： = ， 2011 年 2012年 GDP 增长率约为 = ，增长率不同，故此选项错误； B、 2012 年杭州市的 GDP 约为 7900， 2008 年 GDP 约为 4900，故此选项错误； C、 2010 年杭州市的 GDP 超过到 5500 亿元，故此选项错
4、误； D、 2008 2012 年杭州市的 GDP 逐年增长，故此选项正确， 答案： D. 6.(3 分 )如图，设 k= (a b 0)，则有 ( ) A. k 2 B. 1 k 2 C. D. 解析 ： 甲图中阴影部分面积为 a2-b2， 乙图中阴影部分面积为 a(a-b)，则 k= = = =1+ ， a b 0， 0 1， 答案： B. 7.(3 分 )在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是 ( ) A. 若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 B. 若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有 4 个公共点 C. 若两条弦所在直线不平行，则这两条
5、弦可能在圆内有公共点 D. 若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径 解析 ： A、圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故本选项错误； B、当圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点； C、两条平行弦所在直线没有交点，故本选项正确； D、两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误， 答案： C. 8.(3 分 )如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由三视图可看出：该几何体是 -个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为 6，高是 2， 所以该几何体的体积 =6 6 22=108 . 答案： C
6、. 9.(3 分 )在 RtABC 中， C=90 ，若 AB=4， sinA= ，则斜边上的高等于 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据题意画出图形，如图所示， 在 RtABC 中， AB=4， sinA= ， BC=ABsinA=2.4 ， 根据勾股定理得： AC= =3.2， S ABC = AC BC= AB CD， CD= = . 答案： B 10.(3 分 )给出下列命题及函数 y=x， y=x2和 y= 的图象： 如果 ，那么 0 a 1； 如果 ，那么 a 1； 如果 ，那么 -1 a 0； 如果 时，那么 a -1. 则 ( ) A. 正确的命题是 B. 错误的命题
7、是 C. 正确的命题是 D. 错误的命题只有 解析 ： 易求 x=1 时，三个函数的函数值都是 1，所以，交点坐标为 (1， 1)， 根据对称性， y=x 和 y= 在第三象限的交点坐标为 (-1， -1)， 如果 ，那么 0 a 1，故 正确； 如果 ，那么 a 1 或 -1 a 0，故 错误； 如果 ，那么 a 值不存在，故 错误； 如果 时，那么 a -1，故 正确 . 综上所述，正确的命题是 ，错误的命题是 . 答案： A. 二、认真填一填 (本题有 6 个小题，每小题 4分，共 24 分 ) 11.(4 分 )323.14+3 (-9.42)= . 解析 ： 原式 =39.42+3
8、(-9.42)=39.42+ (-9.42)=30=0 . 答案： 0. 12.(4 分 )把 7 的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 . 解析 ： 7 的平方根为 - ， ； 7 的立方根为 ， 所以 7 的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 - . 答案： - . 13.(4 分 )在 RtABC 中， C=90 ， AB=2BC，现给出下列结论： sinA= ； cosB= ；tanA= ； tanB= ，其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号 ) 解析 ： 如图所示： 在 RtABC 中， C=90 ， AB=2BC， sinA= = ，故 错误； A=30 ， B=60 ，
9、 cosB=cos60= ，故 正确； A=30 ， tanA=tan30= ，故 正确； B=60 ， tanB=tan60= ，故 正确 . 答案： . 14.(4 分 )杭州市某 4 所高中近两年的最低录取分数线如下表 (单位：分 )，设 4 所高中 2011年和 2012 年的平均最低录取分数线分别为 ， ，则 = 分 杭州市某 4 所高中最低录取分数线统计表 解析 ： 2011 年的平均最低录取分数线 =(438+435+435+435)4=435.75 (分 )， 2012 年的平均最低录取分数线 =(442+442+439+439)4=440.5 (分 )， 则 =440.5-4
10、35.75=4.75(分 )； 答案： 4.75. 15.(4 分 )四边形 ABCD 是直角梯形， ABCD ， ABBC ，且 BC=CD=2， AB=3，把梯形 ABCD 分别绕直线 AB， CD 旋转一周，所得几何体的表面积分别为 S1， S2，则 |S1-S2|= (平方单位 ) 解析 ： 绕 AB 旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是： 222=8 ； 绕 CD 旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是： 223=12 ，则 |S1-S2|=4 . 答案： 4 . 16.(4分 )射线 QN与等边 ABC 的两边 AB， BC 分别交于点 M， N，且 ACQN ， AM=MB=2cm， QM
11、=4cm.动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动，经过 t 秒，以点 P 为圆心，cm 为半径的圆与 ABC 的边相切 (切点在边上 )，请写出 t 可取的一切值 (单位：秒 ) 解析 ： ABC 是等边三角形， AB=AC=BC=AM+MB=4cm ， A=C=B=60 ， QNAC ， AM=BM.N 为 BC 中点， MN= AC=2cm， BMN=BNM=C=A=60 ， 分为三种情况： 如图 1， 当 P 切 AB 于 M 时，连接 PM ，则 PM= cm， PMM=90 ， PMM=BMN=60 ， MM=1cm ， PM=2MM=2cm ， QP
12、=4cm -2cm=2cm，即 t=2； 如图 2， 当 P 于 AC 切于 A 点时，连接 PA，则 CAP=APM=90 ， PMA=BMN=60 ， AP= cm， PM=1cm ， QP=4cm -1cm=3cm，即 t=3， 当 P 于 AC 切于 C 点时，连接 PC ， 则 CPN=ACP=90 ， PNC=BNM=60 ， CP= cm， PN=1cm ， QP=4cm+2cm+1cm=7cm ，即当 3t7 时， P 和 AC 边相 切； 如图 3， 当 P 切 BC 于 N 时，连接 PN 则 PN= cm， PNN=90 ， PNN=BNM=60 ， NN=1cm ， P
13、N=2NN=2cm ， QP=4cm+2cm+2cm=8cm ，即 t=8； 答案： t=2 或 3t7 或 t=8. 三、全面答一答 (本题有 7 个小题，共 66分 ) 17.(6 分 )如图，四边形 ABCD 是矩形，用直尺和圆规作出 A 的平分线与 BC 边的垂直平分线的交点 Q(不写作法，保留作图痕迹 ).连结 QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条 . 解析 ： 根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出 Q 点位置，进而利用垂直平分线的作法得出答案即可 . 答案： 如图所示：发现： DQ=AQ 或者 QAD=QDA 等等 . 18.(8 分 )当 x 满足条件 时，求出方
14、程 x2-2x-4=0 的根 . 解析 ： 通过解一元一次方程组求得 2 x 4.然后利用求根公式 x= 求得方程 x2-2x-4=0 的根，由 x 的取值范围来取舍该方程的根 . 答案： 由 ， 求得 ，则 2 x 4. 解方程 x2-2x-4=0 可得 x1=1+ ， x2=1- ， 2 3， 3 1+ 4，符合题意 x=1+ . 19.(8 分 )如图，在等腰梯形 ABCD 中， ABDC ，线段 AG， BG 分别交 CD 于点 E， F， DE=CF. 求证： GAB 是等腰三角形 . 解析 ： 由在等腰梯形 ABCD 中， ABDC ， DE=CF，利用 SAS，易证得 ADEBC
15、F ，即可得DAE=CBF ，则可得 GAB=GBA ，然后由等角对等边，证得： GAB 是等腰三角形 . 答案： 在等腰梯形中 ABCD 中， AD=BC， D=C ， DAB=CBA ， 在 ADE 和 BCF 中， ， ADEBCF (SAS)， DAE=CBF ， GAB=GBA ， GA=GB ，即 GAB 为等腰三角形 . 20.(10 分 )已知抛物线 y1=ax2+bx+c(a0 )与 x 轴相交于点 A， B(点 A， B 在原点 O 两侧 )，与y 轴相交于点 C，且点 A， C 在一次函数 y2= x+n 的图象上，线段 AB 长为 16，线段 OC长为8，当 y1随着
16、x 的增大而减小时，求自变量 x 的取值范围 . 解析 ： 根据 OC 的长度确定出 n 的值为 8 或 -8，然后分 n=8 时求出点 A 的坐标，然后确定抛物线开口方向向下并求出点 B 的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出 x 的取值范围； n= -8 时求出点 A 的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点 B 的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出 x 的取值范围 . 答案： 根据 OC 长为 8 可得一次函数中的 n 的值为 8或 -8. 分类讨论： n=8 时，易得 A(-6， 0)如图 1， 抛物线经过点 A、 C，且与 x
17、轴交点 A、 B 在原点的两侧， 抛物线开口向下，则 a 0， AB=16 ，且 A(-6， 0)， B (10， 0)，而 A、 B 关于对称轴对称， 对称轴直线 x= =2， 要使 y1随着 x 的增大而减小，且 a 0， x2 ； n= -8 时，易得 A(6， 0)，如图 2， 抛物线过 A、 C 两点，且与 x 轴交点 A， B 在对称轴两侧， 抛物线开口向上，则 a 0， AB=16 ，且 A(6， 0)， B (-10， 0)，而 A、 B 关于对称轴对称， 对称轴直线 x= =-2， 要使 y1随着 x 的增大而减小，且 a 0， x -2. 综上所述， x2 或 x -2.
18、21.(10 分 )某班有 50 位学生，每位学生都有一个序号，将 50 张编有学生序号 (从 1 号到 50号 )的卡片 (除序号不同外其它均相同 )打乱顺序重新排列，从中任意抽取 1 张卡片 . (1)在序号中，是 20 的倍数的有： 20， 40，能整除 20 的有： 1， 2， 4， 5， 10(为了不重复计数， 20 只计一次 )，求取到的卡片上序号是 20 的倍数或能整除 20 的概率； (2)若规定：取到的卡片上序号是 k(k 是满足 1k50 的整数 )，则序号是 k 的倍数或能整除 k(不重复计数 )的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由； (3)请你设计一个规定
19、，能公平地 选出 10 位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的 . 解析 ： (1)由在序号中，是 20 的倍数的有： 20， 40，能整除 20 的有： 1， 2， 4， 5， 10(为了不重复计数， 20 只计一次 )，直接利用概率公式求解即可求得答案； (2)无论 k 取何值，都能被 1 整除，则序号为 1 的学生被抽中的概率为 1，即 100%，而很明显抽到其他序号学生概率不为 100%.可知此游戏不公平； (3)可设计为：先抽出一张，记下数字，然后放回 .若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取 .不断重复，直至抽满 10 个不同的数字为止 . 答案：
20、(1) 在序号中，是 20 的倍数的有： 20， 40，能整除 20 的有： 1， 2， 4， 5， 10(为了不重复计数， 20 只计一次 )， 是 20 倍数或者能整除 20 的数有 7 个， 则取到的卡片上序号是 20 的倍数或能整除 20 的概率为： ； (2)不公平； 无论 k 取何值，都能被 1 整除，则序号为 1 的学生被抽中的概率为 1，即 100%， 而很明显抽到其它序号学生概率不为 100%. 不公平； (3)先抽出一张，记下数字，然后放回 .若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取 .不断重复，直至抽满 10 个不同的数字为止 . (为保证每个数字每
21、次被抽到的概率都是 ) 22.(12 分 )(1)先求解下列两题： 如图 ，点 B， D 在射线 AM 上，点 C， E 在射线 AN 上，且 AB=BC=CD=DE，已知 EDM=84 ，求 A 的度数； 如图 ，在直角坐标系中，点 A 在 y 轴正半轴上， ACx 轴，点 B， C 的横坐标都是 3，且BC=2，点 D 在 AC 上，且横坐标为 1，若反比例函数 的图象经过点 B， D，求k 的值 . (2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出 . 解析 ： (1) 根据等边对等角可得 A=BCA ， CBD=BDC ， ECD=CED ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻
22、的两个内角的和可得 A+BCA=CBD ， A+CDB=ECD ，A+CED=EDM ，然后用 A 表示出 EDM ，计算即可求解； 先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点 B 的坐标，再表示出点 C 的坐标，然后根据 ACx 轴可得点 C、 D 的纵坐标相同，从而表示出点 D 的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解 . (2)从数学思想上考虑解答 . 答案： (1)AB=BC=CD=DE ， A =BCA ， CBD=BDC ， ECD=CED ， 根据三角形的外角性质， A+BCA=CBD ， A+CDB=ECD ， A+CED=EDM ， 又 EDM=84 ， A+3A=8
23、4 ，解得， A=21 ； 点 B 在反比例函数 y= 图象上，点 B， C 的横坐标都是 3， 点 B(3， )， BC=2 ， 点 C(3， +2)， ACx 轴，点 D 在 AC 上，且横坐标为 1， D (1， +2)， 点 D 也在反比例函数图象上， +2=k，解得， k=3； (2)用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法 .(开放题 ) 23.(12 分 )如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对称中心为点 P，点 F为 BC 边上一个动点，点 E 在 AB 边上，且满足条件 EPF=45 ，图中两块阴影部分图形关于直线 AC 成轴对称，设它们的面积和为 S1.
24、 (1)求证： APE=CFP ； (2)设四边形 CMPF 的面积为 S2， CF=x， . 求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围，并求出 y的最大值； 当图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称时，求 y 的值 . 解析 ： (1)利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论； (2)本问关键是求出 y 与 x 之间的函数解析式 . 首先分别用 x 表示出 S1与 S2，然后计算出 y与 x 的函数解析式 .这是一个二次函数，求出其最大值； 注意中心对称、轴对称的几何性质 . 答案： (1)EPF=45 ， APE+FPC=180 -45=135 ； 而在 PFC
25、中，由于 PC 为正方形 ABCD 的对角线，则 PCF=45 ， 则 CFP+FPC=180 -45=135 ， APE=CFP . (2)APE=CFP ，且 FCP=PAE= 45 ， APECFP ，则 . 而在正方形 ABCD 中， AC 为对角线，则 AC= AB= ， 又 P 为对称中心，则 AP=CP= ， AE= = = . 如图，过点 P 作 PHAB 于点 H， PGBC 于点 G， P 为 AC 中点，则 PHBC ，且 PH= BC=2，同理 PG=2.SAPE = = 2 = ， 阴影部分关于直线 AC 轴对称， APE 与 APN 也关于直线 AC 对称， 则 S
26、 四边形 AEPN=2SAPE = ；而 S2=2SPFC =2 =2x， S 1=S 正方形 ABCD-S 四边形 AEPN-S2=16- -2x， y= = = + -1. E 在 AB 上运动， F 在 BC 上运动，且 EPF=45 ， 2x4 . 令 =a，则 y=-8a2+8a-1，当 a= = ，即 x=2 时， y 取得最大值 . 而 x=2 在 x 的取值范围内，代入 x=2，则 y 最大 =4-2-1=1. y 关于 x 的函数解析式为： y= + -1(2x4 )， y 的最大值为 1. 图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称， 而此两块图形也关于直线 AC 成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线 BD 对称， 则 EB=BF，即 AE=FC， =x，解得 x= ，代入 x= ，得 y= -2.
