1、 湖北省恩施州 2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3分，共 36分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的。） 1（ 3 分）（ 2013恩施州） 的相反数是（ ） A B C 3 D 3 解答： 解：的相反数是 故选 A 2（ 3 分）（ 2013恩施州）今年参加恩施州初中毕业学业考试的考试约有 39360 人，请将数 39360 用科学记数法表示为（保留三位有效数字）（ ） A 3.93104 B 3.94104 C 0.39105 D 394102 解答： 解： 39360=3.9361043.94104 故选： B 3（ 3 分）（ 2013恩
2、施州）如图所示， 1+ 2=180， 3=100，则 4 等于（ ） A 70 B 80 C 90 D 100 解答： 解： 1+ 5=180， 1+ 2=180， 2= 5， a b， 3= 6=100， 4=100 故选： D 4（ 3 分）（ 2013恩施州）把 x2y 2y2x+y3 分解因式正确的是（ ） A y（ x2 2xy+y2） B x2y y2（ 2x y） C y（ x y） 2 D y（ x+y） 2 解答： 解： x2y 2y2x+y3 =y（ x2 2yx+y2） =y（ x y） 2 故选： C 5（ 3 分）（ 2013恩施州）下列运算正确的是（ ） A x3x
3、2=x6 B 3a2+2a2=5a2 C a（ a 1） =a2 1 D （ a3） 4=a7 解答： 解： A、 x3x2=x5，故本选项错误； B、 3a2+2a2=5a2，故本选项正确； C、 a（ a 1） =a2 a，故本选项错误； D、（ a3） 4=a12，故本选项错误； 故选 B 6（ 3 分）（ 2013恩施州）如图所示，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是（ ） A B C D 解答： 解：选项 A， B， D 折叠后都可以围成正方体； 而 C 折叠后折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体 故选 C 7（ 3 分）（ 2013恩施州）下列命题正确的
4、是（ ） A 若 a b， b c，则 a c B 若 a b，则 ac bc C 若 a b，则 ac2 bc2 D 若 ac2 bc2，则 a b 解答： 解： A、可设 a=4， b=3， c=4，则 a=c故本选项错误； B、当 c=0 或 c 0 时，不等式 ac bc 不成立故本选项错误； C、当 c=0 时，不等式 ac2 bc2不成立故本选项错误； D、由题意知， c2 0，则在不等式 ac2 bc2的两边同时除以 c2，不等式仍成立，即 ac2 bc2，故本选项正确 故选 D 8（ 3 分）（ 2013恩施州）如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概
5、率为（ ） A B C D 解答： 解： 四边形是平行四边形， 对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 观察发现：图中阴影部分面积 =S 四边形 ， 针头扎在阴影区域内的概率为， 故选： B 9（ 3 分）（ 2013恩施州）把抛物线 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A B C D 解答： 解：抛物线 y=x2 1 的顶点坐标为（ 0， 1）， 向右平移一个单位，再向下平移 2 个单位， 平移后的抛物线的顶点坐标为（ 1， 3）， 得到的抛物线的解析式为 y=（ x 1） 2 3 故选 B 10（ 3 分）（ 2013恩施州）如图所示，在平行四边
6、形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O， E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF： FC=（ ） A 1： 4 B 1： 3 C 2： 3 D 1： 2 解答： 解：在平行四边形 ABCD 中， AB DC， 则 DFE BAE， = ， O 为对角线的交点， DO=BO， 又 E 为 OD 的中点， DE=DB， 则 DE： EB=1： 3， DF： AB=1： 3， DC=AB， DF： DC=1： 3， DF： FC=1： 2 故选 D 11（ 3 分）（ 2013恩施州）如甲、乙两图所示，恩施州统计局对 2009 年恩施州各县市的固定资产投资情况
7、进行了统计，并绘成了以下图表，请根据相关信息解答下列问题： 2009 年恩施州各县市的固定资产投资情况表：（单位：亿元） 单位 恩施市 利川县 建始县 巴东县 宜恩县 咸丰县 来凤县 鹤峰县 州直 投资额 60 28 24 23 14 16 15 5 下列结论不正确的是（ ） A 2009 年恩施州固定资产投资总额为 200 亿元 B 2009 年恩施州各单位固定资产投资额的中位数是 16 亿元 C 2009 年来凤县固定资产投资额为 15 亿元 D 2009 年固定资产投资扇形统计图中表示恩施市的扇形的圆心角为 110 解答： 解： A、 2412%=200（亿元），故此选项不合题意； B、
8、来凤投资额： 200 60 28 25 23 14 16 15 5=15（亿元）， 把所有的数据从小到大排列： 60， 28， 24， 23， 16， 15， 15， 14， 5，位置处于中间的数是 16，故此选项不合题意； C、来凤投资额： 200 60 28 25 23 14 16 15 5=15（亿元），故此选项不合题意； D、 360 =108，故此选项符合题意； 故选： D 12（ 3 分）（ 2013恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为 1 的正方形 ABCD，将正方形 ABCD沿 x 轴的正方向无滑动的在 x 轴上滚动，当点 A离开原点后第一次落在 x 轴上时，点 A运
9、动的路径线与 x轴围成的面积为（ ） A B C +1 D 解答： 解：如图所示： 点 A运动的路径线与 x 轴围成的面积 =S1+S2+S3+2a= + + +2（ 11） =+1 故选 C 二、填空题（本大题共有 4小题，每小题 3 分，共 12 分。不要求写出解答过程，请把答案直接填写在相应的位置上） 13（ 3 分）（ 2013恩施州） 25 的平方根是 5 解答： 解： （ 5） 2=25 25 的平方根 5 故答案为： 5 14（ 3 分）（ 2013恩施州）函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x3 且 x 2 解答： 解：根据题意得， 3 x0 且 x+20， 解得 x3 且
10、 x 2 故答案为： x3 且 x 2 15（ 3 分）（ 2013恩施州）如图所示，一半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60的扇形，则扇形的周长为 6+ 解答： 解：如图所示：设 O 与扇形相切于点 A， B， 则 CAO=90， AOB=30， 一半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60的扇形， AO=1， CO=2AO=2， BC=2=1=3， 扇形的弧长为： =， 则扇形的周长为： 3+3+=6+ 故答案为： 6+ 16（ 3 分）（ 2013恩施州）把奇数列成下表， 根据表中数的排列规律，则上起第 8 行，左起第 6 列的数是 171 解答： 解：由图表可得出：第 6 列数字从 3
11、1 开始，依次加 14， 16， 18 则第 8 行，左起第 6 列的数为： 31+14+16+18+20+22+24+26=171 故答案为： 171 三、解答题（本大题共有 8 个小题，共 72分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（ 8 分）（ 2013恩施州）先简化，再求值： ，其中 x= 解答： 解：原式 = = = ， 当 x= 2 时，原式 = = 18（ 8 分）（ 2013恩施州）如图所示，在梯形 ABCD 中， AD BC， AB=CD， E、 F、 G、 H分别为边 AB、BC、 CD、 DA 的中点，求证：四边形 EFGH为菱形 解答： 证明：如图，连接
12、AC、 BD， AD BC， AB=CD， AC=BD， E、 F、 G、 H分别为边 AB、 BC、 CD、 DA的中点， 在 ABC 中， EF=AC， 在 ADC 中， GH=AC， EF=GH=AC， 同理可得， HE=FG=BD， EF=FG=GH=HE， 四边形 EFGH为菱形 19（ 8 分）（ 2013恩施州）一个不透明的袋子里装有编号分别为 1、 2、 3 的球（除编号以为，其余都相同），其中 1 号球 1 个， 3 号球 3 个，从中随机摸出一个球是 2 号球的概率为 （ 1）求袋子里 2 号球的个数 （ 2）甲、乙两人分别从袋中摸出一个球（不放回），甲摸出球的编号记为 x
13、，乙摸出球的编号记为 y，用列表法求点 A（ x， y）在直线 y=x 下方的概率 解答： 解：（ 1）设袋子里 2 号球的个数为 x 个 根据题意得： =， 解得： x=2， 经检验： x=2 是原分式方程的解， 袋子里 2 号球的个数为 2 个 （ 2）列表得： 3 （ 1， 3） （ 2， 3） （ 2， 3） （ 3， 3） （ 3， 3） 3 （ 1， 3） （ 2， 3） （ 2， 3） （ 3， 3） （ 3， 3） 3 （ 1， 3） （ 2， 3） （ 2， 3） （ 3， 3） （ 3， 3） 2 （ 1， 2） （ 2， 2） （ 3， 2） （ 3， 2） （ 3， 2
14、） 2 （ 1， 2） （ 2， 2） （ 3， 2） （ 3， 2） （ 3， 2） 1 （ 2， 1） （ 2， 1） （ 3， 1） （ 3， 1） （ 3， 1） 1 2 2 3 3 3 共有 30 种等可能的结果，点 A（ x， y）在直线 y=x 下方的有 11 个， 点 A（ x， y）在直线 y=x 下方的概率为： 20（ 8 分）（ 2013恩施州）如图所示，等边三角形 ABC 放置在平面直角坐标系中，已知 A（ 0， 0）、 B（ 6，0），反比例函数的图象经过点 C （ 1）求点 C 的坐标及反比例函数的解析式 （ 2）将等边 ABC 向上平移 n 个单位，使点 B恰好落
15、在双曲线上，求 n 的值 解答： 解：（ 1）过 C 点作 CD x 轴，垂足为 D，设反比例函数的解析式为 y=， ABC 是等边三角形， AC=AB=6， CAB=60， AD=3， CD=sin60 AC= 6=3 ， 点 C 坐标为（ 3， 3 ）， 反比例函数的图象经过点 C， k=9 ， 反比例函数的解析式 y= ； （ 2）若等边 ABC 向上平移 n 个单位，使点 B恰好落在双曲线上， 则此时 B点的横坐标为 6， 即纵坐标 y= = ，也是向上平移 n= 21（ 8 分）（ 2013恩施州） “一炷香 ”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上
16、的 A处测得 “香顶 ”N 的仰角为 45，此时，他们刚好与 “香底 ”D 在同一水平线上然后沿着坡度为 30的斜坡正对着 “一炷香 ”前行 110，到达 B处，测得 “香顶 ”N 的仰角为 60根据以上条件求出 “一炷香 ”的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 1 米，参考数据： ， ） 解答： 解：过点 B作 BF DN 于点 F，过点 B作 BE AD 于点 E， D=90， 四边形 BEDF 是矩形， BE=DF， BF=DE， 在 Rt ABE 中， AE=ABcos30=110 =55 （米）， BE=ABsin30=110=55（米）； 设 BF=x 米，则 AD=AE+ED
17、=55 +x（米）， 在 Rt BFN 中， NF=BFtan60= x（米）， DN=DF+NF=55+ x（米）， NAD=45， AD=DN， 即 55 +x= x+55， 解得： x=55， DN=55+ x150（米） 答： “一炷香 ”的高度为 150 米 22（ 10 分）（ 2013恩施州）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半， 进 3 件甲商品和 1 件乙商品恰好用 200 元甲、乙两种商品的售价每件分别为 80 元、 130 元，该商店决定用不少于 6710元且不超过 6810 元购进这两种商品共 100 件 （ 1）求这两种商品的进价 （ 2）该商店有
18、几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 解答： 解：设甲商品的进价为 x 元，乙商品的进价为 y 元，由题意，得 ， 解得： 答：商品的进价为 40 元，乙商品的进价为 80 元； （ 2）设购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品（ 100 m）件，由题意，得 ， 解得： 29m32 m 为整数， m=30， 31， 32， 故有三种进货方案： 方案 1，甲种商品 30 件，乙商品 70 件， 方案 2，甲种商品 31 件，乙商品 69 件， 方案 3，甲种商品 32 件，乙商品 68 件， 设利润为 W 元，由题意，得 W=40m+50（ 100 m）， = 10m+500
19、0 k= 10 0， W 随 m 的增大而减小， m=30 时， W 最大 =4700 23（ 10 分）（ 2013恩施州）如图所示， AB是 O 的直径， AE 是弦， C 是劣弧 AE 的中点，过 C 作 CD AB于点 D， CD 交 AE 于点 F，过 C 作 CG AE 交 BA 的延长线于点 G （ 1）求证： CG 是 O 的切线 （ 2）求证： AF=CF （ 3）若 EAB=30， CF=2，求 GA 的长 解答： （ 1）证明：连结 OC，如图， C 是劣弧 AE 的中点， OC AE， CG AE， CG OC， CG 是 O 的切线； （ 2）证明：连结 AC、 BC
20、， AB 是 O 的直径， ACB=90， 2+ BCD=90， 而 CD AB， B+ BCD=90， B= 2， AC 弧 =CE 弧， 1= B， 1= 2， AF=CF； （ 3）解：在 Rt ADF 中， DAF=30， FA=FC=2， DF=AF=1， AD= DF= ， AF CG， DA： AG=DF： CF，即 ： AG=1： 2， AG=2 24（ 12 分）（ 2013恩施州）如图所示，直线 l： y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B把 AOB沿 y轴翻折，点 A落到点 C，抛物线过点 B、 C 和 D（ 3， 0） （ 1）求直线 BD 和抛物线的
21、解析式 （ 2）若 BD 与抛物线的对称轴交于点 M，点 N 在坐标轴上，以点 N、 B、 D 为顶点的三角形与 MCD 相似，求所有满足条件的点 N 的坐标 （ 3）在抛物线上是否存在点 P，使 S PBD=6？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 解答： 解：（ 1） 直线 l： y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， A（ 1， 0）， B（ 0， 3）； 把 AOB沿 y 轴翻折，点 A落到点 C， C（ 1， 0） 设直线 BD 的解析式为： y=kx+b， 点 B（ 0， 3）， D（ 3， 0）在直线 BD 上， ， 解得 k= 1， b=3， 直线
22、 BD 的解析式为： y= x+3 设抛物线的解析式为： y=a（ x 1）（ x 3）， 点 B（ 0， 3）在抛物线上， 3=a（ 1） （ 3）， 解得： a=1， 抛物线的解析式为： y=（ x 1）（ x 3） =x2 4x+3 （ 2）抛物线的解析式为： y=x2 4x+3=（ x 2） 2 1， 抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（ 2， 1） 直线 BD： y= x+3 与抛物线的对称轴交于点 M，令 x=2，得 y=1， M（ 2， 1） 设对称轴与 x 轴交点为点 F，则 CF=FD=MN=1， MCD 为等腰直角三角形 以点 N、 B、 D 为顶点的三角形与 MCD
23、 相似， BND 为等腰直角三角形 如答图 1 所示： （ I）若 BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点 O， N1（ 0， 0）； （ II）若 BD 为直角边， B为直角顶点，则点 N 在 x 轴负半轴上， OB=OD=ON2=3， N2（ 3， 0）； （ III）若 BD 为直角边， D 为直角顶点，则点 N 在 y 轴负半轴上， OB=OD=ON3=3， N3（ 0， 3） 满足条件的点 N 坐标为：（ 0， 0），（ 3， 0）或（ 0， 3） （ 3）假设存在点 P，使 S PBD=6，设点 P 坐标为（ m， n） （ I）当点 P 位于直线 BD 上方时，如答图 2 所示：
24、 过点 P 作 PE x 轴于点 E，则 PE=n， DE=m 3 S PBD=S 梯形 PEOB S BOD S PDE=（ 3+n） m 33（ m 3） n=6， 化简得： m+n=7 ， P（ m， n）在抛物线上， n=m2 4m+3， 代入 式整理得： m2 3m 4=0， 解得： m1=4， m2= 1， n1=3， n2=8， P1（ 4， 3）， P2（ 1， 8）； （ II）当点 P 位于直线 BD 下方时，如答图 3 所示： 过点 P 作 PE y 轴于点 E，则 PE=m， OE= n， BE=3 n S PBD=S 梯形 PEOD+S BOD S PBE=（ 3+m） （ n） +33（ 3 n） m=6， 化简得： m+n= 1 ， P（ m， n）在抛物线上， n=m2 4m+3， 代入 式整理得： m2 3m+4=0， = 7 0，此方程无解 故此时点 P 不存在 综上所述，在抛物线上存在点 P，使 S PBD=6，点 P 的坐标为（ 4， 3）或（ 1， 8）
