1、 甘肃省天水市 2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来。） 1（ 4 分）下列四个数中，小于 0 的数是（ ） A 1 B 0 C 1 D 2（ 4 分）下列计算正确的是（ ） A a3+a2=2a5 B （ 2a3） 2=4a6 C （ a+b） 2=a2+b2 D a6a2=a3 3（ 4 分）下列图形中，中心对称图形有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4（ 4 分）函数 y1=x 和 y2=的图象如图所示，则 y1 y2的 x 取值范围是（ ） A x 1 或
2、 x 1 B x 1 或 0 x 1 C 1 x 0 或 x 1 D 1 x 0 或 0 x 1 5（ 4 分）如图，直线 l1 l2，则 为（ ） A 150 B 140 C 130 D 120 6（ 4 分）一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的边长是方程（ x 2）（ x 4） =0 的根，则这个三角形的周长是（ ） A 11 B 11 或 13 C 13 D 以上选项都不正确 7（ 4 分）一组数据： 3， 2， 1， 2， 2 的众数，中位数，方差分别是（ ） A 2， 1， 0.4 B 2， 2， 0.4 C 3， 1， 2 D 2， 1， 0.2 8（ 4 分）从一块正方
3、形的木板上锯掉 2m 宽的长方形木条，剩下的面积是 48m2，则原来这块木板的面积是（ ） A 100m2 B 64m2 C 121m2 D 144m2 9（ 4 分）如图，已知 O 的半径为 1，锐角 ABC 内接于 O， BD AC 于点 D， OM AB于点 M，则 sin CBD 的值等于（ ） A OM 的长 B 2OM 的长 C CD 的长 D 2CD 的长 10（ 4 分）如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2， E、 F、 G 分别是边 AB、 BC、 CA的点，且 AE=BF=CG，设 EFG 的面积为 y， AE 的长为 x，则 y 与 x 的函数图象大致是（ ） A
4、B C D 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4分，共 32分。只要求填写最后结果） 11（ 4 分）已知点 M（ 3， 2），将它先向左平移 4 个单位，再向上平移 3 个单位后得到点N，则点 N 的坐标是 （ 1， 1） 12（ 4 分）从 1 至 9 这 9 个自然数中任取一个数，使它既是 2 的倍数又是 3 的倍数的概率是 13（ 4 分）已知分式 的值为零，那么 x 的值是 1 14（ 4 分）如图所示，在梯形 ABCD 中， AD BC，对角线 AC BD，且 AC=12， BD=5，则这个梯形中位线的长等于 6.5 15（ 4 分）有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦
5、9000kg 和 15000kg已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少 3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，根据题意，可得方程 16（ 4 分）已知 O1 的半径为 3， O2 的半径为 r， O1 与 O2 只能画出两条不同的公共切线，且 O1O2=5，则 O2 的半径为 r 的取值范围是 2 r 8 17（ 4 分）如图所示，在 ABC 中， BC=4，以点 A为圆心， 2 为半径的 A与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，且 EAF=80，则图中阴影部分的面积是 4 18（ 4 分）观察下列运算过程： S=1+3+32+33+32012+320
6、13 ， 3 得 3S=3+32+33+32013+32014 ， 得 2S=32014 1， S= 运用上面计算方法计算： 1+5+52+53+52013= 三、解答题（本大题共 3 小题，共 28 分。解答时写出必要的文字说明及演算过程） 19（ 10 分） 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来 计算：（ 3） 0+ 2sin45（） 1 20（ 9 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC， BD 交于点 E， BAC=90， CED=45， DCE=30， DE= ， BE=2 求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积 21（ 9 分）某班同学分三组进行数学活动，对七年级 40
7、0 名同学最喜欢喝的饮料情况，八年级 300 名同学零花钱的最主要用途情况，九年级 300 名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇形图、频数分布直方图、表格来描述整理得到的数据 时间 1 小时左右 1.5 小时左右 2 小时左右 2.5 小时左右 人数 50 80 120 50 根据以上信息，请回答下列问题： （ 1）七年级 400 名同学中最喜欢喝 “冰红茶 ”的人数是多少； （ 2）补全八年级 300 名同学中零花钱的最主要用途情况频数分布直方图； （ 3）九年级 300 名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时？（结果保留一位小数） 四、解答题（本大题共 50 分，解答
8、时写出必要的演算步骤及推理过程） 22（ 8 分）如图所示，在天水至宝鸡（天宝）高速公路建设中需要确定某条隧道 AB 的长度，已知在离地面 2700 米高度 C 处的飞机上，测量人员测得正前方 AB 两点处的俯角分别是 60和 30，求隧道 AB 的长（结果保留根号） 23（ 8 分）如图在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=（ x 0）的图象与一次函数 y=kx k 的图象的交点为 A（ m， 2） （ 1）求一次函数的解析式； （ 2）设一次函数 y=kx k 的图象与 y 轴交于点 B，若点 P 是 x 轴上一点，且满足 PAB的面积是 4，直接写出 P 点的坐标 24（ 10 分）某
9、工程机械厂根据市场需求，计划生产 A、 B两种型号的大型挖掘机共 100 台，该厂所筹生产资金不少于 22 400 万元，但不超过 22 500 万元，且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机，所生产的此两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表： 型号 A B 成本（万元 /台） 200 240 售价（万元 /台） 250 300 （ 1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？ （ 2）该厂如何生产能获得最大利润？ （ 3）根据市场调查，每台 B型挖掘机的售价不会改变，每台 A型挖掘机的售价将会提高 m万元（ m 0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润 =售价成本） 25（ 1
10、2 分）如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx（ a0）经过 A（ 3， 0）、 B（ 4， 4）两点 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）将直线 OB向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 D，求 m的值及点 D 的坐标； （ 3）如图 2，若点 N 在抛物线上，且 NBO= ABO，则在（ 2）的条件下，求出所有满足 POD NOB的点 P 坐标（点 P、 O、 D 分别与点 N、 O、 B对应） 26（ 12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知 AOB是等边三角形，点 A的坐标是（ 0，4），点 B在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，连接 AP，并把 A
11、OP 绕着点 A按 逆时针方向旋转，使边 AO 与 AB 重合，得到 ABD （ 1）求直线 AB 的解析式； （ 2）当点 P 运动到点（ ， 0）时，求此时 DP 的长及点 D 的坐标； （ 3）是否存在点 P，使 OPD 的面积等于 ？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 一、 选择题 1-5 ABCCD 6-10 CBBAC 二、 填空题 11、 （ 1， 1） 12、 13、 1 14、 6.5 15、 16、 2 r 8 17、 4 18、 三、解答题 19、 解答： 解： I、 ， 解不等式 得： x 1， 解不等式 得： x 5， 不等式组的解集为 x
12、5， 在数轴上表示不等式组的解集为： II、原式 =1+3 2 8 =1+3 8 = 7+2 20、 解答： 解：过点 D 作 DH AC， CED=45， DH EC， DE= ， EH=DH， EH2+DH2=ED2， EH2=1， EH=DH=1， 又 DCE=30， DC=2， HC= ， AEB=45， BAC=90， BE=2 ， AB=AE=2， AC=2+1+ =3+ ， S 四边形 ABCD=2（ 3+ ） +1（ 3+ ） = 21、 解答： 解：（ 1）冰红茶的百分比为 1 25% 25% 10%=40%，冰红茶的人数为 40040%=160（人）， 即七年级同学最喜欢喝
13、 “冰红茶 ”的人数是 160 人； （ 2）补全频数分布直方图如右图所示 （ 3） （小时） 答：九年级 300 名同学完成家庭作业的平均时间约为 1.8 小时 22、 解答： 解：由题意得 CAO=60， CBO=30， OA=2700tan30=2700 =900 m， OB=2700tan60=2700 m， AB=2700 900 =1800 （ m） 答：隧道 AB 的长为 1800 m 23、 解答： 解：（ 1）将 A（ m， 2）代入 y=（ x 0）得， m=2， 则 A点坐标为 A（ 2， 2）， 将 A（ 2， 2）代入 y=kx k 得， 2k k=2， 解得 k=2
14、，则一次函数解析式为 y=2x 2； （ 2） 一次函数 y=2x 2 与 x 轴的交点为 C（ 1， 0），与 y 轴的交点为（ 0， 2），S ABP=S ACP+S BPC， 2CP+2CP=4，解得 CP=2， 则 P 点坐标为（ 3， 0），（ 1， 0） 24、 解答： 解：（ 1）设生产 A型挖掘机 x 台，则 B型挖掘机（ 100 x）台， 由题意得 22400200x+240（ 100 x） 22500， 解得 37.5x40 x 取非负整数， x 为 38， 39， 40 有三种生产方案 A型 38 台， B型 62 台； A型 39 台， B型 61 台； A型 40 台
15、， B型 60 台 （ 2）设获得利润 W（万元），由题意得 W=50x+60（ 100 x） =6000 10x 当 x=38 时， W 最大 =5620（万元）， 即生产 A型 38 台， B型 62 台时，获得最大利润 （ 3）由题意得 W=（ 50+m） x+60（ 100 x） =6000+（ m 10） x 总之，当 0 m 10，则 x=38 时， W 最大，即生产 A型 38 台， B型 62 台； 当 m=10 时， m 10=0 则三种生产方案获得利润相等； 当 m 10，则 x=40 时， W 最大，即生产 A型 40 台， B型 60 台 25、 解答： 解：（ 1）
16、抛物线 y=ax2+bx（ a0）经过 A（ 3， 0）、 B（ 4， 4） 将 A与 B两点坐标代入得： ，解得： ， 抛物线的解析式是 y=x2 3x （ 2）设直线 OB的解析式为 y=k1x，由点 B（ 4， 4）， 得： 4=4k1，解得： k1=1 直线 OB的解析式为 y=x， 直线 OB向下平移 m 个单位长度后的解析式为： y=x m， 点 D 在抛物线 y=x2 3x 上， 可设 D（ x， x2 3x）， 又 点 D 在直线 y=x m 上， x2 3x=x m，即 x2 4x+m=0， 抛物线与直线只有一个公共点， =16 4m=0， 解得： m=4， 此时 x1=x2
17、=2， y=x2 3x= 2， D 点的坐标为（ 2， 2） （ 3） 直线 OB的解析式为 y=x，且 A（ 3， 0）， 点 A关于直线 OB的对称点 A的坐标是（ 0， 3）， 根据轴对称性质和三线合 一性质得出 ABO= ABO， 设直线 AB的解析式为 y=k2x+3，过点（ 4， 4）， 4k2+3=4，解得： k2=， 直线 AB的解析式是 y= ， NBO= ABO， ABO= ABO， BA和 BN 重合， 即点 N 在直线 AB上， 设点 N（ n， ），又点 N 在抛物线 y=x2 3x 上， =n2 3n， 解得： n1=， n2=4（不合题意，舍去） N 点的坐标为（
18、， ） 方法一： 如图 1，将 NOB沿 x 轴翻折，得到 N1OB1， 则 N1（ ， ）， B1（ 4， 4）， O、 D、 B1 都在直线 y= x 上 P1OD NOB， NOB N1OB1， P1OD N1OB1， ， 点 P1 的坐标为（ ， ） 将 OP1D 沿直线 y= x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2（ ，）， 综上所述，点 P 的坐标是（ ， ）或（ ，） 方法二： 如图 2，将 NOB绕原点顺时针旋转 90，得到 N2OB2， 则 N2（ ，）， B2（ 4， 4）， O、 D、 B1 都在直线 y= x 上 P1OD NOB， NOB N2OB2， P1OD N2
19、OB2， ， 点 P1 的坐标为（ ， ） 将 OP1D 沿直线 y= x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2（ ， ）， 综上所述，点 P 的坐标是（ ， ）或（ ，） 26、 解答： 解：（ 1）如图 1，过点 B作 BE y 轴于点 E，作 BF x 轴于点 F由已知得： BF=OE=2， OF= = ， 点 B的坐标是（ ， 2） 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b（ k0），则有 解得 直线 AB 的解析式是 y= x+4； （ 2）如图 2， ABD 由 AOP 旋转得到， ABD AOP， AP=AD， DAB= PAO， DAP= BAO=60， ADP 是等边三角形， D
20、P=AP= 如图 2，过点 D 作 DH x 轴于点 H，延长 EB 交 DH 于点 G，则 BG DH 方法（一） 在 Rt BDG 中， BGD=90， DBG=60 BG=BDcos60= = DG=BDsin60= = OH=EG= ， DH= 点 D 的坐标为（ ，） 方法（二） 易得 AEB= BGD=90， ABE= BDG， ABE BDG， ；而 AE=2， BD=OP= ， BE=2 ， AB=4， 则有 ，解得 BG= ， DG=； OH= ， DH=； 点 D 的坐标为（ ，） （ 3）假设存在点 P，在它的运动过程中，使 OPD 的面积等于 设点 P 为（ t， 0）
21、，下面分三种情况讨论： 当 t 0 时，如图， BD=OP=t， DG= t， DH=2+ t OPD 的面积等于 ， ， 解得 ， （舍去） 点 P1 的坐标为（ ， 0） 当 D 在 x 轴上时，根据勾股定理求出 BD= =OP， 当 t0 时，如图， BD=OP= t， DG= t， GH=BF=2（ t） =2+ t OPD 的面积等于 ， ， 解得 ， ， 点 P2 的坐标为（ ， 0），点 P3 的坐标为（ ， 0） 当 t 时，如图 3， BD=OP= t， DG= t， DH= t 2 OPD 的面积等于 ， （ t）【（ 2+ t）】 = ， 解得 （舍去）， 点 P4 的坐标为（ ， 0）， 综上所述，点 P 的坐标分别为 P1（ ， 0）、 P2（ ， 0）、 P3（ ，0）、 P4（ ， 0）
