1、 辽宁省本溪市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1（ 3 分） 的绝对值是（ ） A 3 B 3 C D 2（ 3 分）如图放置的圆柱体的左视图为（ ） A B C D 3（ 3 分）下列运算正确的是（ ） A a3a2=a6 B 2a（ 3a 1） =6a31 C （ 3a2） 2=6a4 D 2a+3a=5a 4（ 3 分）如图，直线 AB CD，直线 EF 与 AB， CD 分别交于点 E， F， EC EF，垂足为 E，若 1=60，则 2 的度数为（ ） A 15 B 30 C 45 D 60 5（ 3 分）下列说法中，正确的是
2、（ ） A 对载人航天器 “神舟十号 ”的零部件的检查适合采用抽样调查的方式 B 某市天气预报中说 “明天降雨的概率是 80%”，表示明天该市有 80%的地区降雨 C 第一枚硬币，正面朝上的概率为 D 若甲组数据的方差 =0.1，乙组数据的方差 =0.01，则甲组数据比乙组数据稳定 6（ 3 分）甲、乙两盒中各放入分别写有数字 1， 2， 3 的三张卡片，每张卡片除数字外其他完全相同从甲盒中随机抽出一张卡片，再从乙盒中随机摸出一张卡片，摸出的两张卡片上的数字之和是 3 的概率是（ ） A B C D 7（ 3 分）如图，在菱形 ABCD 中， BAD=2 B， E， F 分别为 BC， CD
3、的中点，连接 AE、AC、 AF，则图中与 ABE 全等的三角形（ ABE 除外）有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8（ 3 分）某服装加工厂计划加工 400 套运动服，在加工完 160 套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了 20%，结果共有了 18 天完成全部任务设原计划每天加工 x 套运动服，根据题意可列方程为（ ） A B C D 9（ 3分）如图， O的半径是 3，点 P是弦 AB延长线上的一点，连接 OP，若 OP=4， APO=30，则弦 AB 的长为（ ） A 2 B C 2 D 10（ 3 分）如图，在矩形 OABC 中， AB=2BC，点 A在
4、y 轴的正半轴上，点 C在 x 轴的正半轴上，连接 OB，反比例函数 y=（ k0， x 0）的图象经过 OB的中点 D，与 BC 边交于点 E，点 E 的横坐标是 4，则 k 的值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11（ 3 分）在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 12（ 3 分）一种花粉颗粒的直径约为 0.0000065 米，将 0.0000065 用科学记数法表示为 13（ 3 分）在平面直角坐标系中，点 P（ 5， 3）关于原点对称的点的坐标是 14（ 3 分）在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共 40
5、个，除颜色外其他完全相同小明从这个袋子中随机摸出一球，放回通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在15%附近，则袋中黄色球可能有 个 15（ 3 分）在平面直角坐标系中，把抛物线 y= x2+1 向上平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，则所得抛物线的解析式是 16（ 3 分）已知圆锥底面圆的半径为 6cm，它的侧面积为 60cm2，则这个圆锥的高是 cm 17（ 3 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB=10， AD=4，点 P 是边 AB 上一点，若 APD 与 BPC 相似，则满足条件的点 P 有 个 18（ 3 分）如图，点 B1 是面积为 1 的等边 OBA的两条中线的交
6、点，以 OB1 为一边，构造等边 OB1A1（点 O， B1， A1 按逆时针方向排列），称为第一次构造；点 B2 是 OBA的两条中线的交点，再以 OB2 为一边，构造等边 OB2A2（点 O， B2， A2 按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第 n 次构造出的等边 OBnAn 的边 OAn 与等边 OBA的边OB第一次重合时，构造停止则构造出的最后一个三角形的面积是 三、解答题（共 2 小题，共 22 分） 19（ 10 分）（ 1）计算： +（ x 2） 0 2cos45 （ 2）先化简，再求值：（ + ） +（ 1+），其中 m= 3 20（ 12 分）某校对九年级全体学
7、生进行了一次学业水平测试，成绩评定分为 A， B， C， D四个等级（ A， B， C， D 分别代表优秀、良好、合格、不合格）该校从九年级学生中随机抽取了一部分学生的成绩，绘制成以下 不完整的统计图请你根据统计图提供的信息解答下列问题； （ 1）本次调查中，一共抽取了 名学生的成绩； （ 2）将上面的条形统计图补充完整，写出扇形统计图中等级 C 的百分比 （ 3）若等级 D 的 5 名学生的成绩（单位：分）分别是 55、 48、 57、 51、 55则这 5 个数据的中位数是 分，众数是 分 （ 4）如果该校九年级共有 500 名学生，试估计在这次测试中成绩达到优秀的人数 四、解答题（共 6
8、 小题，满分 74 分） 21（ 12 分）如图， O 是 ACD 的外接圆， AB是直径，过点 D 作直线 DE AB，过点 B作直线 BE AD，两直线交于点 E，如果 ACD=45， O 的半径是 4cm （ 1）请判断 DE 与 O 的位置关系，并说明理由； （ 2）求图中阴影部分的面积（结果用 表示） 22（ 12 分）某中学响应 “阳光体育 ”活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同，若购买 2 个足球和 3 个篮球共需340 元，购买 4 个排球和 5 个篮球共需 600 元 （ 1）求购买一个足球，一个篮球分别需要多少元？
9、 （ 2）该中学根据实际情况，需从体育用品商店一次性购买三种球共 100 个，且购买三种球的总费用不超过 600 元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？ 23（ 12 分）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路 l 旁选取一点 A，在公路 l 上确定点 B、 C，使得 AC l， BAC=60 ，再在 AC 上确定点 D，使得 BDC=75，测得 AD=40 米，已知本路段对校车限速是 50 千米 /时，若测得某校车从 B到 C 匀速行驶用时 10 秒，问这辆车在本 路段是否超速？请说明理由（参考数据：
10、 =1.41， =1.73） 24（ 12 分）某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价 y（元 /千克）与采购量 x（千克）之间的函数关系图象如图中折线 AB BC CD 所示（不包括端点 A） （ 1）当 100 x 200 时，直接写 y 与 x 之间的函数关系式： （ 2）蔬菜的种植成本为 2 元 /千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过 200 千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？ （ 3）在（ 2）的条件 下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418 元的利润？ 25（ 12 分）在 ABC 中，
11、ACB=90， A 45，点 O 为 AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点 O 重合，一边 OE 经过点 C，另一边 OD 与 AC 交于点 M （ 1）如图 1，当 A=30时，求证： MC2=AM2+BC2； （ 2）如图 2，当 A30时，（ 1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由； （ 3）将三角形 ODE 绕点 O 旋转，若直线 OD 与直线 AC 相交于点 M，直线 OE 与直线 BC相交于点 N，连接 MN，则 MN2=AM2+BN2 成立吗？ 答： （填 “成立 ”或 “不成立 ”） 26（ 14 分）如图，在平面直角坐
12、标系中，点 O 是原点，矩形 OABC 的顶点 A在 x 轴的正半轴上，顶点 C在 y 的正半轴上，点 B的坐标是（ 5， 3），抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、 C 两点，与 x 轴的另一个交点是点 D，连接 BD （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）点 M 是抛物线对称轴上的一点，以 M、 B、 D 为顶点的三角形的面积是 6，求点 M 的坐标； （ 3）点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 DB匀速运动，同时点 Q 从点 B出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 BAD 匀速运动，当点 P 到达点 B时， P、 Q 同时停止运动，设运动的时间为 t 秒，当 t 为何
13、值时，以 D、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1 C 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 C 8 B 9 A 10 B 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11 x 12 6.510 6 13 （ 5， 3） 14 6 15 y=（ x+1） 2+4 16 8 17 3 18 三、解答题（共 2 小题，共 22 分） 19解：（ 1）原式 =3+1 5+ = 1； （ 2）原式 = + =（ + ） = = ， 当 m= 3 时，原式 = = 20解：（ 1）根据题
14、意得：（ 12+8） 40%=50（人）， 则本次调查了 50 名学生的成绩； （ 2）等级 A的学生数为 5020%=10（人），即等级 A男生为 4 人； 等级 D 占的百分比为 100%=10%； 等级 C 占的百分比为 1（ 40%+20%+10%） =30%， 等级 C 的学生数为 5030%=15（人），即女生为 7 人， 补全条形统计图，如图所示： （ 3）根据题意得： 50020%=100（人）， 则在这次测试中成绩达到优秀的人数有 100 人 四、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 21解：（ 1） DE 与 O 相切理由如下： 连结 OD，则 ABD= ACD=45，
15、AB 是直径， ADB=90， ADB为等腰直角三角形， 而点 O 为 AB 的中点， OD AB， DE AB， OD DE， DE 为 O 的切线； （ 2） BE AD， DE AB， 四边形 ABED 为平行四边形， DE=AB=8cm， S 阴影部分 =S 梯形 BODE S 扇形 OBD =（ 4+8） 4 =（ 24 4） cm2 22解：（ 1）设购买一个足球需要 x 元，则购买一个排球也需要 x 元，购买一个篮球 y 元， 由题意得： ， 解得： ， 答：购买一个足球需要 50 元，购买一个篮球需要 80 元； （ 2）设该中学购买篮球 m 个， 由题意得： 80m+50（
16、100 m） 600， 解得： m33， m 是整数， m 最大可取 33 答：这所中学最多可以购买篮球 33 个 23解：过点 D 作 DE AB 于点 E， CDB=75， CBD=15， EBD=15（外角的性质）， 在 Rt CBD 和 Rt EBD 中， ， CBD EBD， CD=DE， 在 Rt ADE 中， A=60， AD=40 米， 则 DE=ADsin60=20 米， 故 AC=AD+CD=AD+DE=（ 40+20 ）米， 在 Rt ABC 中， BC=ACtan A=（ 40 +60）米， 则速度 = =4 +612.92 米 /秒， 12.92 米 /秒 =46.5
17、12 千米 /小时， 该车没有超速 24解；（ 1）设当 100 x 200 时， y 与 x 之间的函数关系式为： y=ax+b， ， 解得： y 与 x 之间的函数关系式为： y= 0.02x+8； 故答案为： y= 0.02x+8； （ 2）当采购量是 x 千克时，蔬菜种植基地获利 W 元， 当 0 x100 时， W=（ 6 2） x=4x， 当 x=100 时， W 有最大值 400 元， 当 100 x200 时， W=（ y 2） x =（ 0.02x+6） x = 0.02（ x 150） 2+450， 当 x=150 时， W 有最大值为 450 元， 综上所述，一次性采购量
18、为 150 千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为 450 元； （ 3） 418 450， 根据（ 2）可得， 0.02（ x 150） 2+450=418 解得： x1=110， x 2=190， 答：经销商一次性采购的蔬菜是 110 千克或 190 千克时，蔬菜种植基地能获得 418 元的利润 25 （ 1）证明：如图 1，过 A作 AF AC 交 CO 延长线于 F，连接 MF， ACB=90， BC AF， BOC AOF， = = ， O 为 AB 中点， OA=OB， AF=BC， CO=OF， MOC=90， OM 是 CF 的垂直平分线， CM=MF， 在 Rt AMF 中，由
19、勾股定理得： MF2=AM2+AF2=AM2+BC2， 即 MC2=AM2+BC2； （ 2）解： 不 成立， 理由是：如图 2， 过 A作 AF AC 交 CO 延长线于 F，连接 MF， ACB=90， BC AF， BOC AOF， = = ， OA=OB， AF=BC， CO=OF， MOC=90， OM 是 CF 的垂直平分线， CM=MF， 在 Rt AMF 中，由勾股定理得： MF2=AM2+AF2=AM2+BC2， 即 MC2=AM2+BC2； （ 3）成立 26解：（ 1） 矩形 ABCD， B（ 5， 3）， A（ 5， 0）， C（ 0， 3） 点 A（ 5， 0）， C
20、（ 0， 3）在抛物线 y=x2+bx+c 上， ，解得： b= ， c=3 抛物线的解析式为： y=x2 x+3 （ 2）如答图 1 所示， y=x2 x+3=（ x 3） 2 ， 抛物线的对称轴为直线 x=3 如答图 1 所示，设对称轴与 BD 交于点 G，与 x 轴交于点 H，则 H（ 3， 0） 令 y=0，即 x2 x+3=0，解得 x=1 或 x=5 D（ 1， 0）， DH=2， AH=2， AD=4 tan ADB= =， GH=DHtan ADB=2=， G（ 3，） S MBD=6，即 S MDG+S MBG=6， MGDH+MGAH=6， 即： MG2+MG2=6， 解得
21、： MG=3 点 M 的坐标为（ 3，）或（ 3， ） （ 3）在 Rt ABD 中， AB=3， AD=4，则 BD=5， sinB=， cosB= 以 D、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则： 若 PD=PQ，如答图 2 所示： 此时有 PD=PQ=BQ=t，过点 Q 作 QE BD 于点 E， 则 BE=PE， BE=BQcosB=t， QE=BQsinB=t， DE=t+t=t 由勾股定理得： DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2， 即（ t） 2+（ t） 2=42+（ 3 t） 2， 整理得： 11t2+6t 25=0， 解得： t= 或 t= 5（舍去）， t= ； 若
22、 PD=DQ，如答图 3 所示： 此时 PD=t， DQ=AB+AD t=7 t， t=7 t， t=； 若 PQ=DQ，如答图 4 所示： PD=t， BP=5 t； DQ=7 t， PQ=7 t， AQ=4（ 7 t） =t 3 过点 P 作 PF AB 于点 F，则 PF=PBsinB=（ 5 t） =4 t， BF=PBcosB=（ 5 t） =3 t AF=AB BF=3（ 3 t） =t 过点 P 作 PE AD 于点 E，则 PEAF 为矩形， PE=AF=t， AE=PF=4 t， EQ=AQ AE=（ t 3）（ 4 t） =t 7 在 Rt PQE 中，由勾股定理得： EQ2+PE2=PQ2， 即：（ t 7） 2+（ t） 2=（ 7 t） 2， 整理得： 13t2 56t=0， 解得： t=0（舍去）或 t= t= 综上所述，当 t= ， t=或 t= 时，以 D、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形
