1、 2012年浙江省杭州市中考数学试卷 解析版 一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）下面每小题给出四个选项中，只有一个是正确的注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案 1（ 2012杭州）计算（ 2 3） +（ 1）的结果是（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 考点 ： 有理数的加减混合运算。 专题 ： 计算题。 分析： 根据有理数的加减混合运算的法则进行计算即可得解 解答： 解：（ 2 3） +（ 1）， = 1+（ 1）， = 2 故选 A 点评： 本题主要 考查了有理数的加减混合运算，是基础题比较简单 2（ 2012杭州）若两圆的半径分别为 2cm和 6c
2、m，圆心距为 4cm，则这两圆的位置关系是（ ） A内含 B内切 C外切 D外离 考点 ： 圆与圆的位置关系。 分析： 两圆的位置关系有 5 种： 外离； 外切； 相交； 内切； 内含 若 d R+r 则两圆相离，若 d=R+r 则两圆外切，若 d=R r 则两圆内切，若 R r d R+r 则两圆相交本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况 解答： 解： 两圆的半径分别为 2cm和 6cm，圆心距为 4cm 则 d=6 2=4， 两圆内切 故选 B 点评： 本题主要考查两圆的位置关系两圆的位置关系有：外离（ d R+r）、内含（ d Rr）、相切（外切： d=R+r 或内切： d=R r）、相
3、交（ R r d R+r） 3（ 2012杭州）一个不透明的盒子中装有 2 个红球和 1 个白球，它们除颜色外都相同若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ） A摸到红球是必然事件 B摸到白球是不可能事件 C摸到红球比摸到白球的可能性相等 D摸到红球比摸到白球的可能性大 考点 ： 可能性的 大小；随机事件。 分析： 利用随机事件的概念，以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可 解答： 解： A摸到红球是随机事件，故此选项错误； B摸到白球是随机事件，故此选项错误； C摸到红球比摸到白球的可能性相等， 根据不透明的盒子中装有 2个红球和 1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项
4、错误； D根据不透明的盒子中装有 2 个红球和 1 个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确； 故选： D 点评： 此题主要考查了随机事件以及可能性大小，利用可能性大小的比较：只要总情况数目相 同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等得出是解题关键 4（ 2012杭州）已知平行四边形 ABCD 中， B=4 A，则 C=（ ） A 18 B 36 C 72 D 144 考点 ： 平行四边形的性质；平行线的性质。 专题 ： 计算题。 分析： 关键平行四边形性质求出 C= A， BC AD，推出 A+ B=180，求出 A 的度数，
5、即可求出 C 解答： 解： 四边形 ABCD 是平行四边形， C= A， BC AD， A+ B=180， B=4 A， A=36， C= A=36， 故选 B 点评： 本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大 5（ 2012杭州）下列计算正确的是（ ） 来源 :学科网 A（ p2q） 3= p5q3 B（ 12a2b3c） （ 6ab2） =2ab C 3m2（ 3m 1） =m 3m2 D（ x2 4x） x 1=x 4 考点 ： 整式的混合运算；负整数指数幂。 分析： 根据幂的乘方，积的乘方、整式的乘法、同底数幂的
6、乘法和除法分别进行计算，即可判断 解答： 解： A、（ p2q） 3= p6q3，故本选项错误； B、 12a2b3c） （ 6ab2） =2a bc， 故本选项错误； C、 3m2（ 3m 1） = ，故本选项错误； D、（ x2 4x） x 1=x 4，故本选项正确； 故选 D 点评： 此题考查了整式的混合运算，用到的知识点是幂的乘方，积的乘方、整式的乘法、同底数幂的乘法和除法等，需熟练掌握运算法则，才不容易出错 6（ 2012杭州）如图是杭州市区人口的统计 图则根据统计图得出的下列判断，正确的是（ ） A其中有 3 个区的人口数都低于 40 万 B只有 1 个区的人口数超过百万 C上城区
7、与下城区的人口数之和超过江干区的人口数 D杭州市区的人口数已超过 600 万 考点 ： 条形统计图。 分析： 根据条形统计图可以看出每个区的人口数，根据每个区的人口数进行判断，可选出答案 解答： 解： A、只有上城区人口数都低于 40 万，故此选项错误； B、萧山区、余杭区两个区的人口超过 100 万，故此选项错误； C、上城区与下城区的人口数之和低于江干区的人口数，故此 选项错误； D、杭州市区的人口数已超过 600 万，故此选项正确； 故选： D 点评： 此题主要考查了条形统计图，关键是从图中获取正确信息，从条形统计图中很容易看出数据的大小，便于比较 7（ 2012杭州）已知 m= ，则有
8、（ ） A 5 m 6 B 4 m 5 C 5 m 4 D 6 m 5 考点 ： 二次根式的乘除法；估算无理数的大小。 专题 ： 推理填空题。 分析： 求出 m的值，求出 2 （ ）的范围 5 m 6，即可得出选项 解答： 解： m=（ ） （ 2 ）， = ， = 3 ， =2 = ， 来源 :Z|xx| k.Com ， 5 6， 即 5 m 6， 故选 A 点评： 本题考查了二次根式的乘法运算和估计无理数的大小的应用，注意： 5 6，题目比较好，难度不大 8（ 2012杭州）如图，在 Rt ABO 中，斜边 AB=1若 OC BA， AOC=36，则（ ） A点 B 到 AO 的距离为 s
9、in54 B点 B 到 AO 的距离为 tan36 C点 A 到 OC的距离为 sin36sin54 D点 A 到 OC 的距离为 cos36sin54 考点 ： 解直角三角形；点到直线的距离；平行线的性质。 分析： 根据图形得出 B 到 AO 的距离是指 BO 的长，过 A作 AD OC 于 D，则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离，根据锐角三角形函数定义得出 BO=ABsin36，即可判断 A、 B；过 A 作 AD OC 于 D，则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离，根据锐角三角形函数定义得出 AD=AOsin36， AO=ABsin54，求出 AD，即可判断 C、 D 解答：
10、解： A、 B 到 AO 的距离是指 BO 的长， AB OC， BAO= AOC=36， 在 Rt BOA 中， BOA=90， AB=1， sin36= ， BO=ABsin36=sin36， 故本选项错误； B、由以上可知，选项错误； C、过 A 作 AD OC 于 D，则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离， BAO=36， AOB=90， ABO=54， sin36= ， AD=AOsin36， sin54= ， AO=ABsin54， AD=ABsin54sin36=sin54sin36， 故本选项正确 ； D、由以上可知 ， 选项错误 ； 故选 C 点评： 本题考查了对解直角三
11、角 形和点到直线的距离的应用，解此题的关键是 找出点 A到 OC 的距离和 B 到 AO 的距离， 熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式，题目较好，但是一道比较容易出错的题目 9（ 2012杭州）已知抛物线 y=k（ x+1）（ x ）与 x 轴交于点 A， B，与 y 轴交于点 C，则能使 ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 考点 ： 抛物线与 x 轴的交点。 分析： 根据抛物线的解析式可得 C（ 0， 3），再表示出抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，再根据 ABC 是等腰三角形分三种情况讨 论，求得 k 的值，即可求出答案 解答： 解：根据题意
12、，得 C（ 0， 3） 令 y=0，则 k（ x+1）（ x ） =0， x= 1 或 x= ， 设 A 点的坐标为（ 1， 0），则 B（ ， 0）， 当 AC=BC 时， OA=OB=1， B 点的坐标为（ 1， 0）， =1， k=3； 当 AC=AB 时，点 B 在点 A 的右面时， AC= = ， 则 AB=AC= ， B 点的坐标为（ 1， 0）， = 1， k= ； 当 AC=AB 时，点 B 在点 A 的左面时， B 点的坐标为（ ， 0）， = ， k= ； 所以能使 ABC 为等腰三角 形的抛物线的条数是 3 条； 故选 B 点评： 此题考查了抛物线与 x 轴的交点，此题要
13、能够根据解析式分别求得抛物线与坐标轴的交点，结合等腰三角形的性质和勾股定理列出关于 k 的方程进行求解是解题的关键 10（ 2012杭州）已知关于 x， y 的方程组 ，其中 3a1，给出下列结论： 是方程组的解； 当 a= 2 时， x， y 的值互为相反数； 当 a=1 时，方程组的解也是方程 x+y=4 a 的解； 若 x1，则 1y4 其中正确的是（ ） A B C D 考点 ： 二元一次方程组的解；解一元一次不等式组。 分析： 解方程组得出 x、 y 的表达式，根据 a 的取值范围确定 x、 y 的取值范围，逐一判断 解答： 解：解方程组 ，得 ， 3a1， 5x3， 0y4， 不符
14、合 5x3， 0y4，结论错误； 当 a= 2 时， x=1+2a= 3， y=1 a=3， x， y 的值互为相反数，结论正确； 当 a=1 时， x+y=2+a=3， 4 a=3，方程 x+y=4 a 两边相等，结论正确； 当 x1 时， 1+2a1，解得 a0， y=1 a1，已知 0y4， 故当 x1 时， 1y4，结论正确， 故选 C 点评： 本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组关键是根据条件，求出 x、y 的表达式及 x、 y 的取值范围 二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整的填写答案 11（
15、 2012杭州）数据 1， 1， 1， 3， 4 的平均数是 2 ；众数是 1 考点 ： 众数；算术平均数。 分析： 利用算术平均数的求法求平均数，众数的定义求众数即可 解答： 解：平均数为：（ 1+1+1+3+4） 5=2； 数据 1 出现了 3 次，最多，众数为 1 故答案为 2， 1 点评： 本题考查了众数及算术平均数的求法，属于基础题，比较简单 12（ 2012杭州）化简 得 ；当 m= 1 时，原式的值为 1 考点 ： 约分；分式的值。 专题 ： 计算题。 分析： 先把分式的分子和分母分解因式得出 ，约分后得出 ，把 m= 1 代入上式即可求出答案 解答： 解： ， = ， = ，
16、当 m= 1 时，原式 = =1， 故答案为： ， 1 点评： 本题主要考查了分式的约分，关键是找出分式的分子和分母的公因式，题目比较 典型，难度适中 13（ 2012杭州）某企业向银行贷款 1000 万元，一年后归还银行 1065.6 多万元，则年利率高于 6.56 % 考点 ： 有理数的混合运算。 分析： 根据题意和年利率的概念列出代数式，再进行计算即可求出答案 解答： 解：因为向银行贷款 1000 万元，一年后归还银行 1065.6 多万元， 则年利率是（ 1065.6 1000） 1000100%=6.56%， 则年利率高于 6.56%； 来源 :学科网 故答案为： 6.56 点评：
17、此题考查了有理数的混合运算，关键是根据年利率的 概念列出代数式，进行计算 14（ 2012杭州）已知 （ a ） 0，若 b=2 a，则 b 的取值范围是 2 b 2 考点 ： 二次根式有意义的条件；不等式的性质。 专题 ： 常规题型。 分析： 根据被开方数大于等于 0 以及不等式的基本性质求出 a 的取值范围，然后再求出 2 a的范围即可得解 解答： 解： （ a ） 0， 0， a 0， 解得 a 0 且 a ， 0 a ， a 0， 2 2 a 2， 即 2 b 2 故答案为： 2 b 2 点评： 本题考 查了二次根式有意义的条件，不等式的基本性质，先确定出 a 的取值范围是解题的关键
18、15（ 2012杭州）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3，则这个棱柱的下底面积为 15 cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为 200cm2，记底面菱形的顶点依次为A， B， C， D， AE 是 BC 边上的高，则 CE 的长为 1 cm 考点 ： 菱形的性质；认识立体图形；几何体的展开图。 分析： 由底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3，由体积 =底面积 高，即可求得这个棱柱的下底面积，又由该棱柱 侧面展开图的面积为 200cm2，即可求得底面菱形的周长与 BC 边上的高 AE 的长，由勾股定理求得 BE 的长，继而求得 CE 的长 解答： 解
19、： 底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3， 这个棱柱的下底面积为： 15010=15（ cm2）； 该棱柱侧面展开图的面积为 200cm2，高为 10cm， 底面菱形的周长为： 20010=20（ cm）， AB=BC=CD=AD=204=5（ cm）， AE=S 菱形 ABCDBC=155=3（ cm）， BE= =4（ cm）， EC=BC B E=5 4=1（ cm） 故答案为： 15， 1 点评： 此题考查了菱形的性质、直棱柱的性质以及勾股定理此题难度不大，注意审题，掌握直棱柱体积与侧面积的求解方法 16（ 2012杭州）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐
20、标均为整数若在此平面直角坐标系内移动点 A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点 A 的横坐标仍是整数，则移动后点 A 的坐标为 （ 1， 1），（ 2， 2） 考点 ： 利用轴对称设计图案。 分析： 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁 的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把 A 进行移动可得到点的坐标，注意考虑全面 解答： 解：如图所示： A（ 1， 1）， A（ 2， 2）， 故答案为：（ 1， 1），（ 2， 2） 点评： 此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据 3 个定点所在位置，找出 A 的位置
21、三、全面答一答（本题有 7 个小题，共 66 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以 17（ 2012杭州）化 简： 2（ m 1） m+m（ m+1） （ m 1） m m（ m+1） 若 m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？ 考点 ： 整式的混合运算 化简求值。 分析： 根据单项式乘以多项式法则先计算括号里的乘法，再去括号合并同类项，即可算出结果 解答： 解： 2（ m 1） m+m（ m+1） （ m 1） m m（ m+1） ， =2（ m2 m+m2+m）（ m2 m m2 m）， = 8m3
22、， 原式 =（ 2m） 3，表示 3 个 2m相乘 点 评： 此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握计算顺序，先 算乘法，后算加减，注意符号的变化，运用乘法分配律是不要漏乘 18（ 2012杭州）当 k 分别取 1， 1， 2 时，函数 y=（ k 1） x2 4x+5 k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值 考点 ： 二次函数的最值。 分析： 首先根据函数有最大值得到 k 的取值范围，然后判断即可 解答： 解： 当开口向下时函数 y=（ k 1） x2 4x+5 k 都最大值 k 1 0 解得 k 1 当 k= 1 时函数 y=（ k 1） x2 4x+5 k 有
23、最大值 函数 y= 2x2 4x+6= 2（ x+1） 2+8 故最大值为 8 点评： 本题考查了二次函数的最值，解题的关键是首先根据函数取得最大值得到开口向下，从而求得 k 的取值范围 19（ 2012杭州）如图，是数轴的一部分，其单位长度为 a，已知 ABC 中， AB=3a， BC=4a，AC=5a （ 1）用直尺和圆规作出 ABC（要求：使点 A， C 在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）； （ 2）记 ABC 的外接圆的面积为 S 圆 ， ABC 的面积为 S，试说明 考点 ： 作图 复杂作图；勾股定理；三角形的外接圆与外心。 分析： （ 1）在数轴上截 取 AC=5a，再以 A，
24、 C 为圆心 3a， 4a 为半径，画弧交点为 B； （ 2）利用 ABC 的外接圆的面积为 S 圆 ，根据直角三角形外接圆的性质得出 AC 为外接圆直径，求出 的比值即可 解答： 解：（ 1）如图所示： （ 2） ABC 的外接圆的面积为 S 圆 ， S 圆 =（ ） 2= ， ABC 的面积 S ABC= 3a4a=6a2， = = 点评： 此题主要考查了复杂作图以及直角三角形外接圆的性质，根据已知得出外接圆直径为AC 是解题关键 20（ 2012杭州）有一组互不全等的三角形， 它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为 5 和 7 （ 1）请写出其中一个三角形的第三边的长； （ 2
25、）设组中最多有 n 个三角形，求 n 的值； （ 3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率 考点 ： 一元一次不等式组的应用；三角形三边关系；概率公式。 分析： （ 1）设三角形的第三边 为 x，根据三角形的三边关系列出不等式组，再解不等式组即可； （ 2）求出 x 的所有整数值，即可求出 n 的值； （ 3）先求出该三角形周长为偶数的所有情况，再除以总的个数，即可求出答案 解答： 解：（ 1）设 三角形的第三边为 x， 每个三角形有两条边的长分别为 5 和 7， 7 5 x 5+7， 2 x 12， 其中一个三角形的第三边的长可以为 10 （ 2） 2 x 12，
26、它们的边长均为整数， x=3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 组中最多有 9 个三角形， n=9； （ 3） 当 x=4， 6， 8， 10 时，该三角形周长为偶数， 该三角形周长为偶数的概率是 点评： 此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是根据三角形的三边关系列出不等式组，在解题时 要注意 x 只能取整数 21（ 2012杭 州）如图，在梯形 ABCD 中， AD BC， AB=CD，分别以 AB， CD 为边向外侧作等边三角形 ABE 和等边三角形 DCF，连接 AF， DE （ 1）求证： AF=DE； （ 2）若 BAD=45， AB=a， ABE 和 DCF
27、的面积之和等于梯形 ABCD 的面积，求 BC的长 考点 ： 等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题 ： 探究型。 分析： （ 1）根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明 AED DFA 即可； （ 2）如图作 BH AD， CK AD，利用给出的条 件和梯形的面积公式即可求出 BC的长 解答： （ 1）证明：在梯形 ABCD 中， AD BC， AB=CD， BAD= CDA， 而在等边三角形 ABE 和等边三角形 DCF 中， AB=AE， DC=DF，且 BAE= CDF=60， AE=DF， EAD= FDA， AD=DA， AED
28、DFA（ SAS）， AF=DE； （ 2）解：如图作 BH AD， CK AD，则有 BC=HK， BAD=45， HAB= KDC=45， AB= BH= AH， 同理： CD= CK= KD， S 梯形 ABCD= ， AB=a， S 梯形 ABCD= = ， 而 S ABE=S DCF= a2， =2 a2， BC= a 点评： 本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式，属于中档题目 22（ 2012杭州）在平面直 角坐标系内，反比例函数和二次函数 y=k（ x2+x 1）的图象交于点 A（
29、1， k）和点 B（ 1， k） （ 1）当 k= 2 时，求反比例函数的解析式； （ 2）要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围； （ 3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值 考点 ： 二次函数综合题。 分析： （ 1）当 k= 2 时，即可求得点 A 的坐标，然后设反比例函数的解析式为： y= ，利用待定系数法即可求得答案； （ 2）由反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，可得 k 0，又由二次函数 y=k（ x2+x 1）的对称轴为 x= ，可得 x 时，才能
30、使得 y 随着 x 的增大而增大； （ 3）由 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形， A 点与 B 点关于原 点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得 OQ=OA=OB，又由 Q（ ， k）， A（ 1， k），即可得 = ，继而求得答案 解答： 解：（ 1）当 k= 2 时， A（ 1， 2）， A 在反比例函数图象上， 设反比例函数的解析式为： y= ， 代入 A（ 1， 2）得： 2= ， 解得： m= 2， 反比例函数的解析式为： y= ； （ 2） 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大， k 0， 二次函数 y=k（ x2+x 1） =k（ x
31、+ ） 2 k，的对称轴为：直线 x= ， 要使二次函 数 y=k（ x2+x 1）满足上述条件，在 k 0 的情况下， x 必须在对称轴的左边， 即 x 时，才能使得 y 随着 x 的增大而增大， 综上所述， k 0 且 x ； （ 3）由（ 2）可得： Q（ ， k）， ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形， A 点与 B 点关于原点对称，（如图是其中的一种情况） 原点 O 平分 AB， OQ=OA=OB， 作 AD OC， QC OC， OQ= = ， OA= = ， = ， 解得： k= 点评： 此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识此 题综合性较强，难
32、度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应 用 23（ 2012杭州）如图， AE 切 O 于点 E， AT 交 O 于点 M， N，线段 OE 交 AT 于点 C，OB AT 于点 B，已知 EAT=30， AE=3 ， MN=2 （ 1）求 COB 的度数； （ 2）求 O 的半径 R； （ 3）点 F 在 O 上（ 是劣弧），且 EF=5，把 OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点 E， F 重合在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在 O 上的三角形吗？请在图中画出这个 三角形，并求出这个三角形与 OBC 的周长之比
33、考点 ： 切线的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。 专题 ： 计算题。 分析： （ 1）由 AE 与圆 O 相切，根据切线的性质得到 AE 与 CE 垂直，又 OB 与 AT 垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形 AEC 与三角形 OBC 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与 A 相等，由 A 的度数即可求出所求角的度数； （ 2）在直角三角形 AEC 中，由 AE 及 tanA 的值，利用锐角三角函数定义求出 CE 的长，再由 OB 垂直于 MN，由垂径定理得到
34、 B 为 MN 的中点，根据 MN 的长求出 MB的长，在直角三角形 OBM 中，由半径 OM=R，及 MB 的长，利用勾股定理表示出OB 的长，在直角三角形 OBC 中，由表示出 OB 及 cos30的值，利用锐角三角函数定义表示出 OC，用 OE OC=EC 列出关于 R 的方程，求出方程的解得到半径 R 的值； （ 3）把 OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点 E， F 重合在EF 的同一侧，这样的三角形共有 6 个，如图所示，每小图 2 个，顶点在圆上的三角形，延长 EO 与圆交于点 D，连接 DF，由第二问求出半径，的长直径 ED 的长，根据ED 为直径，利用直
35、径所对的圆周角为直角，得到三角形 EFD 为直角三角形，由 FDE为 30，利用锐角三角函数定义求出 DF 的长，表示出三角形 EFD 的周长，再由第二问求出的三角形 OBC 的三边表示出三角形 BOC 的周长，即可求出两三角形的周长之比 解答： 解：（ 1） AE 切 O 于点 E， AE CE，又 OB AT， AEC= CBO=90， 又 BCO= ACE， AEC OBC，又 A=30， COB= A=30； （ 2） AE=3 ， A=30， 在 Rt AEC 中， tanA=tan30= ，即 EC=AEtan30=3， 来源 :Z&xx&k.Com OB MN， B 为 MN 的
36、中点，又 MN=2 ， MB= MN= ， 连接 OM，在 MOB 中， OM=R， MB= ， OB= = ， 在 COB 中， BOC=30， cos BOC=cos30= = ， BO= OC， OC= OB= ， 又 OC+EC=OM=R， R= +3， 整理得： R2+18R 115=0，即（ R+23）（ R 5） =0， 解得： R= 23（舍去）或 R=5， 则 R=5； （ 3）在 EF 同一侧， COB 经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有 6 个， 如图，每小图 2 个，顶点在圆上的三角形，如图所示： 延长 EO 交圆 O 于点 D，连接 DF，如图所示， EF=5，直径 ED=10，可得出 FDE=30， FD=5 ， 则 C EFD=5+10+5 =15+5 ， 由（ 2）可得 C COB=3+ ， C EFD： C COB=（ 15+5 ）：（ 3+ ） =5： 1 点评： 此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含 30直角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键
