1、 数学(理科)试题 第卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选题中,只有一项是符合题目要求的 . ( 1)设 i 是虚数单位,复数iai+21为纯虚数,则实数 a 为 (A)2 (B) -2 (C) 21 (D)21( 2)双曲线 8222= yx 的实轴长是 (A)2 (B) 22 (C) 4 (D) 24 ( 3)设 )(xf 是定义在 R 上的奇函数,当 0x 时, xxxf =22)( ,则 =)1(f (A)-3 (B)-1 (C) 1 (D)3 ( 4)设变量 x,y 满足 |x|+|y|1,则 x+2y 的最大
2、值和最小值分别为 (A) 1,-1 (B) 2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1 ( 5)在极坐标系中,点 )3,2(到圆 cos2= 的圆心的距离为 (A) 2 (B) 942+ (C) 912+ (D)3 ( 6 )一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(A)48 (B) 17832+ (C) 17848+ (D)80 ( 7)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 (A) 所有不能被 2 整除的整数都是偶数 (B) 所有不能被 2 整除的整数都不是偶数 (C) 存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 (D) 存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 ( 8)设集合
3、A=1,2,3,4,5,6,B=4,5,6,7,8,则满足 AS 且 BS I 的集合 S 的个数是 (A)57 (B) 56 (C) 49 (D)8 ( 9)已知函数 )2sin()( += xxf ,其中 为实数,若 |)6(|)(fxf 对 Rx 恒成立,且)()2( ff ,则 )(xf 的单调递增区间是 (A) )(6,3Zkkk + (B) )(2, Zkkk + (C) )(32,6Zkkk + (D) )(,2Zkkk ( 10)函数nmxaxxf )1()( = 在区间 0,1上的图像如图所示,则 m,n 的值可能是(A) m=1,n=1 (B) m=1,n=2 (C) m=
4、2,n=1 (D) m=3,n=1 第卷(非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。 ( 11)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 . ( 12)设2121221021)1( xaxaxaax += L ,则 =+1110aa . ( 13)已知向量 a,b 满足 (a+2b)(a-b)=-6 ,且 |a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为 . ( 14)已知 ABC 的一个内角为 120,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ABC的面积为 . ( 15)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是
5、整数,就称点 (x,y)为整点。下列命题中正确的是 .(写出所有正确的编号) 。 存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点 直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。 ( 16) (本小题满分 12 分) 设21)(axexfx+= ,其中 a 为正实数 . ()当34=a 时,求
6、)(xf 的极值点; ()若 )(xf 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围 ( 17) (本小题满分 12 分) 如图, ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直,点 O 在线段 AD 上, OA=1,OD=2, OAB, OAC, ODE, ODF 都是正三角形 . ()证明直线 BC EF; ()求棱锥 F-OBED 的体积 . ( 18) (本小题满分 13 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数的乘积记作nT ,再令nnTa lg= ,n1. ()求数列 na 的通项公式; ()设1tan
7、tan+=nnnaab ,求数列 nb 的前 n 项和nS . ( 19) (本小题满分 12 分) ()设 x 1,y 1,证明 xyyxxyyx +111; ()设 1 ,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小。 ( 21) (本小题满分 13 分) 设 0 ,点 A 的坐标为( 1,1) ,点 B 在抛物线2xy = 上运动,点 Q 满足 QABQ = ,经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P 满足 MPQM = ,求点 P 的轨迹方程。数学(理科)试题参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算 . 每小题 5 分,满分
8、50 分 . ( 1) A ( 2) C ( 3) A ( 4) B ( 5) D ( 6) C ( 7) D ( 8) B ( 9) C ( 10) B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算 . 每小题 5 分,满分 25 分 . ( 11) 15 ( 12) 0 ( 13)3( 14) 315 ( 15) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ( 16)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调性之间的关系。求解一元二次不等式等基本知识,考查运算求解能力,综合分析和解决问题的能力。 解:对 )(xf 求导得222)1(21)(a
9、xaxaxexfx+= ()当34=a 时,若 0)( = xf ,则 03842=+ xx ,解得21,2321= xx 结合,可知 x )21,( 21)23,21( 23),23( + )(xf + 0 _ 0 + )(xf 极大值 极小值 所以,231=x 是极小值点,212=x 是极大值点。 ()若 )(xf 为 R 上的单调函数,则 )(xf 在 R 上不变号,结合与条件 a0,知 0122+ axax 在 R 上恒成立,因此 0)1(4442= aaaa ,由此并结合 a0,知 10 时,交换前两人的派出顺序可减少均值。 ()也可将()中所求的 EX 改写为211)1(23 qqq ,若交换后两人的派出顺序,则变为111)1(23 qqq 。由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当12qq ,两边同除以 )1( + ,得 012 = yx 故所求点 P 的轨迹方程为 12 = xy 。