1、 2011 年莆田中考数学试题 一、 精心选 一选 ：本 大题 共 8 小题， 每每 小题 4 分， 共 32 分。 1. 2011 的相反 数是 （ ） A 2011 B 1 2011 C 2011 D 1 20112. 下列运 算哪 种， 正确 的是（ ） A 22 xx = B 33 6 () xx = C 82 4 xx x = D 2 xx x += 3. 已知点 P （ 1 aa ， ）在平 面直 角坐标 系的 第一 象限 内， 则 a 的 取值 范围 在数 轴上 可表示 为（ ） 4. 在 平行 四边 形、 等边 三 角形、 菱形 、等 腰梯 形中 既是轴 对称 图形 又是 中心
2、 对称图 形的 是（ ） A 平行四 边形 B 等边三 角形 C 菱形 D 等腰梯 形 5. 抛 物线 2 6 yx = 可 以看作是 由抛物 线 2 65 yx = + 按下 列何种变 换 得到（ ） A 向上平 移 5 个单位 B 向下平 移 5 个单位 C 向左平 移 5 个单位 D 向右平 移 5 个单位 6. 如图所 示的 是某 几何 体的三视 图， 则该 几何 体的 形状是 （ ） A 长方体 B 三棱柱 C 圆锥 D 正方体 7. 等腰三 角形 的两 条边 长分别 为 3,6，那 么它 的周 长为（ ） A 15 B 12 C 12 或 15 D 不能确 定 8. 如图， 在矩
3、形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上， 沿 CE 折叠矩 形 ABCD ，使点 B 落在 AD 边上的 点 F 处，若 AB=4 ，BC=5 ，则 tan AFE 的 值为（ ） A 4 3B 3 5C 3 4D 4 5二、 细心填 一填 ：本 大题 共 8 小题， 每小 题 4 分，共 32 分） 9. 一天有 86400 秒，用 科学记数 法表 示为_ 秒； 10 数 据1 2 12 x ， ， ， 的平均 数是 1 ，则这组 数据 的中 位数 是_ 。 11. 1 O 和 2 O 的半径 分别 为 3 和 4 ，若 1 O 和 2 O 相外切， 则圆 心距 12 OO =_cm 。
4、12. 若一 个正 多边 形的 一个外角 等于 40 ，则 这个 多边形 是_ 边形 。 13. 在围棋盒中有 6 颗黑色棋子和 a 颗 白色棋子，随机地取出一颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是 3 5 ，则 a=_。 14. 如图 ， 线段 AB 、DC 分 别表示 甲、 乙两 座楼 房的 高，AB BC ，DC BC ， 两建筑物 间距 离 BC=30 米， 若甲建 筑物 高 AB=28 米， 在点 A 测得 D 点的 仰角 =45 ，则 乙建筑物 高 DC=_ 米。 15. 如图 ，一 束光 线从 点 A （3, 3 ）出 发， 经过 y 轴上的点 C 反射后 经过 点 B （1, 0），
5、 则光线 从 A 到 B 点经过 的路线长 是_ 。 16. 已知 函数 2 () 1 fx x = + ，其 中 () fa 表示 当 xa = 时对 应的 函数 值， 如 222 ( 1 )1 ( 2) 1 ( )1 12 f f fa a = += += + ， ， 则 (1) (2) (3). (100) ff f f =_ 。 三耐 心填 一填 ：本 大题 共 9 小题 ，共 86 分，解 答时应写 出必 要的 文字 说明 、 证明过 程或 演算 步骤 。 17. （本 小题 满分 8 分） 计算： 0 ( 3) 3 2 2 8 + + 18 （本小 题满 分 8 分） 化简求 值：
6、 2 4 36 2 a a a + ，其 中 5 a = 。 19. (本小题 满分 8 分) 如图 在ABC 中D 是 AB 的中点 E 是 CD 的中点 过点 C 作 CF AB 交 AE 的延长线 于点 F连 接 BF 。 （1 ）(4 分)求证：DB=CF ； （2 ）(4 分)如果 AC=BC 试判断 四边彤 BDCF 的 形状 并证明你 的 结论。 20 ( 本 小题 满分 8 分) “国际无烟日”来临之际 小敏同学就一批公众对 在餐厅吸烟所持的三种态 度( 彻底禁烟、建立吸烟室 、其他) 进行了 调查 并 把调 查结 果绘制 成如 图 1 、2 的 统计 图请 根据 下面 图中
7、的信 息回答 下列 问题 ： （1 ）(2 分)被调查 者中 ，不吸烟 者中 赞成 彻底 禁烟 的人数 有_ 人： （2 ）(2 分) 本 次抽 样凋查的样本 容量 为_ （3 ）(2 分) 被 调查 者 中希望建 立吸 烟室 的人 数有_ ； （4 ）(2 分)某市现 有人 口约 300 万人， 根据 图中的信息估 计赞 成在 餐厅 沏底 禁烟的 人 数 约有_ 万人 21. (本小题 满分 8 分) 如图 ，在 Rt ABC 中， C=90 ，O 、D 分别为 AB 、BC 上的点 经过 A 、D 两点 的O 分别 交 AB 、AC 于点 E 、F ，且 D 为 EF 的中 点 （1 ）(
8、4 分)求证：BC 与O 相切 ； （2 ）(4 分) 当 AD= 23 ；CAD=30 时 求 AD 的长， 22 ( 本小 题满 分 10 分) 如 图， 将 矩形 OABC 放在直角坐 际系 中，O 为 坐标原 点点 A 在 x 轴正 半轴上 点 E 是 边 AB 上的个动 点( 不与 点 A 、N 重 合) ，过点 E 的反 比例 函 数 ( 0) k yx x = 的图象 与边 BC 交 于点 F 。 （1 ） (4 分) 若OAE 、 OCF 的而积 分别 为 12 SS 、 且 12 =2 SS + ，汆 k 的值： （2 ）(6 分) 若 OA=2 0C=4 问当 点 E 运动
9、 到什 么位 置时 四边 形 OAEF 的面积 最大 其最大值 为多 少? 23. (本小题 满分 I0 分) 某 高科 技公 司根 据市 场需求 ， 计划 生产 A、B 两种型号的 医疗 器械 ， 其部分 信息如下： 信息一 ：A 、B 两种 型号 的医疔器 械共 生产 80 台 信息二 ： 该公 司所 筹生 产 医疗器 械资金 不少于 1800 万元 ， 但不超 过 1810 万元 且把所 筹资 金全 部 用于生产此 两种 医疗器 械 信息三 ：A 、B 两种 医疗 器 械的生 产成 本和 售价 如下 表： 根据上 述信息 解答 下列 问题： （1）（ 6 分） 该公司 对此 两种医 疗器
10、械有 哪- 几种 生 产方案 ？哪种生 产方 案 能 获得最 大利 润？ （2）（ 4 分 ）根据市 场 调查，- 每台 A 型 医疗 器械 的 售价将 会 提高 a 万元（ 0 a ） 每台 A 型医疗 器械 的售价不 会改 变 该 公 司应 该如何 生产 可以 获得 最大 利润？ ( 注： 利润=售价 成本) 24 ( 本小 题满 分 12 分) 已知抛 物线 2 y ax bx c =+ 的对 称轴 为直线 2 x = ，且 与 x 轴 交于 A 、 B 两 点 与 y 轴交于 点 C其 中 AI(1 ， 0) ， C(0 ， 3 ) （1）（ 3 分 ）求抛物 线的 解析式 ； （2
11、）若点 P 在抛物 线上 运动 （ 点 P 异于点 A ） （4 分 ）如 图 l当PBC 面积 与ABC 面积 相等时 求 点 P 的坐标 ； 型号 A B 成本（ 万元/ 台） 20 25 售价（ 万元/ 台） 24 30 （5 分 ）如 图 2 当 PCB= BCA 时，求 直线 CP 的 解析式 。 25.(本小题 满分 14 分) 已知菱 形 ABCD 的边 长为 1ADC=60 ， 等边AEF 两边分 别交 边 DC 、CB 于点 E 、F 。 （1）（ 4 分） 特殊 发现 ：如图 1 ，若 点 E 、F 分别 是边 DC 、CB 的中点 求 证：菱形 ABCD 对角 线 AC、
12、BD 交点 O 即 为等边 AEF 的外心 ； （2 ）若点 E 、F 始终 分别 在边 DC 、CB 上移动 记 等边 AEF 的外 心为 点 P （4 分 ）猜 想验 证：如 图 2 猜 想AEF 的外心 P 落 在哪 一直线 上， 并 加以证 明； （6 分 ）拓展运 用： 如图 3 ，当 AEF 面积最 小时， 过点 P 任作一 直线 分别交 边 DA 于点 M ， 交边 DC 的延 长 线于点 N ，试判断 11 DM DN + 是否 为 定值 若是 请 求出 该定 值；若 不是 请 说明 理由 。 2011 年莆田市初 中毕业、升学考试 试卷 数学参考答案及评 分标准 一、精 心选
13、 一选 1 C 2 D 3 A 4 C 5 B 6 ，B 7 A 8 C 二、耐 心填填 9 4 8.64 10 I0 1 1I 7 12 ，9 13 4 14 ，58 15 ，5 16 5151 三，耐心填 一填 17解 ：原式=4 18. 原式= 28 a + ，当 5 a = 时，原 式=18 19. （1）证明 略 （2 ）四边 形 BDCF 是矩 形。 证明 略。 20. （1）证明 ：连 接 OD ，则 OD=OA ， OAD= ODA D 为 EF 的中 点 OAD= CAD ODA= CAD OD AC 又C=90 ， ODC=90， 即 BC OD BC 与O 相切。 （2
14、）连 接 DE ，则 ADE=90 OAD= ODA= CAD=30 ， AOD=120 在 Rt ADE 中， 易求 AE=4 ， O 的半 径 r=2 AD 的长 120 2 4 180 3 l = = 。 22. 解： （ 1 ） 点 E 、F 在函数 ( 0) k yx x = 的图象 上， 设 11 1 ( )( 0) k Ex x x ， ， 22 2 ( )( 0) k Fx x x ， 11 1 1 22 kk Sx x = ， 22 2 1 22 kk Sx x = 12 =2 SS + ， 2 22 kk += ， 2 k = 。 （2 ） 四边 形 OABC 为矩 形，O
15、A=2 ，OC=4 ， 设 ( 2) 2 k E ， ， (4 ) 4 k F ， BE= 4 2 k ，BF= 2 4 k 2 11 (4 )(2 ) 4 2 2 4 16 BEF kk S kk = = + 1 4 2 42 OCF kk S = ， 2 4 =8 OABC S = 矩形 22 11 = 84 4 16 2 16 2 BEF OCF OABC OAEF kk S S S S kk k = += + 矩形 四边形 （） = 2 1 ( 4) 5 16 k + 当 4 k = 时， 5 OAEF S = 四边形 ，AE=2. 当点 E 运动 到 AB 的中 点时，四边 形 OA
16、EF 的面积 最大 ，最大 值是 5. 23.解： （ 1 ）设 该公 司生 产 A 钟中 医疗 器械 x 台，则 生产 B 钟中医 疗器 械（80 x ）台，依 题意 得 20 25(80 ) 1800 20 25(80 ) 1810 xx xx + + 解得38 40 x ， 取整数 得 38 39 40 x = ， 该公 司有 3 钟生 产方 案： 方案一 ：生 产 A 钟器械 38 台，B 钟器 械 42 台。 方案二 ：生 产 A 钟器械 39 台，B 钟器 械 41 台。 方案一 ：生 产 A 钟器械 40 台，B 钟器 械 40 台。 公司获 得利 润： (24 20) (30
17、25)(80 ) 400 W x xx = + = + 当 38 x = 时，W 有最 大值 。 当生 产 A 钟器械 38 台，B 钟器械 42 台时获 得最 大利润。 （2 ）依 题意 得， (4 ) 5(80 ) ( 1) 400 W ax x a x =+ =+ 当 10 a ，即 1 a 时， 生产 A 钟器 械 40 台，B 钟器械 40 台，获 得最大 利润 。 当 10 a= ，即 1 a = 时， （ 1 ）中 三种 方案利润 都为 400 万元； 当 10 a ，即 1 a 时， 生产 A 钟器 械 38 台，B 钟器械 42 台，获 得最大 利润 。 24. 解： （ 1
18、 ）由题意 ，得 0 3 2 2 abc c b a += = = ，解得 1 4 3 a b c = = = 抛物 线的 解析 式为 2 43 yx x = + 。 （2 ） 令 2 4 30 xx + = ，解得 12 13 xx = = ， B （3, 0） 当点 P 在 x 轴上方 时， 如图 1 ， 过点 A 作直线 BC 的平 行线 交抛物 线于 点 P ， 易求直 线 BC 的解析 式为 3 yx = ， 设直 线 AP 的解 析式 为 y xn = + ， 直 线 AP 过点 A （1,0 ） ，代入求 得 1 n = 。 直 线 AP 的解析 式为 1 yx = 解方程 组
19、2 1 43 yx yx x = = + ，得 12 12 12 01 xx yy = = = = ， 点 1 (2 1) P ， 当点 P 在 x 轴下方 时， 如图 1 设直线 1 AP 交 y 轴于点 (0 1) E ， ， 把直 线 BC 向下 平移 2 个单 位，交 抛物 线于 点 23 PP 、 ， 得直线 23 PP 的解 析式 为 5 yx = ， 解方程 组 2 5 43 yx yx x = = + ，得 12 12 3 17 3 17 22 7 17 7 17 22 xx yy + = = + = = ， 23 3 17 7 17 3 17 7 17 ( )( ) 22 2
20、2 PP + + ， 综上所 述， 点 P 的坐标 为： 1 (2 1) P ， ， 23 3 17 7 17 3 17 7 17 ( )( ) 22 22 PP + + ， ， (3 0) (0 3) BC ， OB=OC，OCB= OBC=45 设直 线 CP 的解析 式为 3 y kx = 如图 2，延长 CP 交 x 轴于 点 Q ， 设OCA= ， 则ACB=45 PCB= BCA PCB=45 OQC= OBC- PCB=45- （45 ）= OCA= OQC 又AOC= COQ=90 Rt AOC Rt COQ OA OC OC OQ = ， 13 3 OQ = ，OQ=9 ，
21、(9 0) Q ， 直 线 CP 过点 (9 0) Q ， ，9 30 k= 1 3 k = 直 线 CP 的解析 式为 1 3 3 yx = 。 其它方 法略 。 25 解： （ 1 ）证明 ：如 图 I ，分别 连接 OE 、0F 四 边形 ABCD 是菱形 ACBD ，BD 平分 ADC AO=DC=BC COD=COB= AOD=90 ADO= 1 2 ADC= 1 2 60=30 又E 、F 分别 为 DC 、CB 中点 OE= 1 2 CD，OF= 1 2 BC，AO= 1 2 AD 0E=OF=OA 点 O 即为AEF 的外 心 。 （2）猜 想 ：外心 P 一定落在 直线 DB
22、 上。 证明 ：如 图 2 ， 分别 连接 PE 、PA ，过点 P 分别 作 PI CD 于 I ，P J AD 于 J PIE= PJD=90 ， ADC=60 IPJ=360- PIE- PJD- JDI=120 点 P 是等 边AEF 的外心， EPA=120 ，PE=PA ， IPJ= EPA ，IPE= JPA PIE PJA ， PI=PJ 点 P 在ADC 的平分 线 上，即 点 P 落在直 线 DB 上。 11 DM DN + 为定 值 2. 当 AE DC 时 AEF 面积 最小， 此时 点 E 、F 分别 为 DC 、CB 中点 连接 BD 、AC 交于点 P ，由 （1 ） 可得 点 P 即为AEF 的 外心 解法一 ：如 图 3设 MN 交 BC 于点 G 设 DM=x ，DN=y(x 0 y O) ， 则 CN= 1 y BC DA GBP MDP BG=DM=x 1 CG x = BC DA ，GBP NDM CN CG DN DM = ， 11 yx yx = 2 x y xy += 11 2 xy += ，即 11 2 DM DN += 其它解 法略 。
